第二章 疲劳的基本概念
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24n曲线应变寿命曲线疲劳类型高周疲劳低周疲劳定义破坏循环数大于10疲劳破坏循环数小于10应力低于弹性极限高于弹性极限塑性变形无明显的宏观塑性变形有明显的宏观塑性变形应力应变关系线性关系非线性关系设计参量应力应变针对应力水平或疲劳循环数的不同疲劳分为高周疲劳与低周疲劳或称为应力疲劳与应变疲劳
第二章 疲劳的基本概念
Δσ
σ m：平均载荷
σ a：交变载荷幅值
σa σ max
σm σ min
∆σ : 交变载荷范围（变程）
∆σ = 2σ a
σm
=
σ max
+ σ min
2
σa
=
σ max
− σ min
2
R = 1− A 1+ A
A= σa σm
R = σ min σ max
A = 1− R 1+ R
载荷可变性系数
应力比（反映载荷 的性质）
Basquin公式：
σ a = σ ′f (2N )b
lg N = a + b ⋅ lgσ max
Weibull公式：
= N a(σ a − A)b
lg N = a + b ⋅ lg(σ a − A)
lg N = a + b ⋅ lg(σ max − A′)
注意：S-N曲 线拟合公式中 的拟合参数不 具有通用性， 即每一个公式 必须使用相对 应的公式拟合 获得。
2.5 循环应力应变曲线
应力控制加载 循环硬化应变的应变响应 循环软化应变的应变响应
应变控制加载
循环硬化的应力响应 循环软化的应力响应
（a）稳定滞后回线
1
∆ε= ∆σ + 2( ∆σ )nf
E
2K '
（b）循环应力-应变曲线 K’是循环强度系数， nf是循环应变硬化指数
材料
K’/MPa
nf
2024-T4
448
0.09
6061-T651
296
0.10
7075-T6
517
0.10
2.6 等寿命曲线
对某一种材料，在一定的应力比下，利用一组试样进行疲劳试验，可以获得 一条S－N曲线，当改变应力比R时，材料的S－N曲线也发生变化。
如给出若干个应力比的S－N曲线值，即可得到该材料对应于不同应力比R的S －N曲线族。
2.3 S-N曲线
疲劳寿命是疲劳失效时所经受的应力或应变的循环次数，一般用N表示。试样的 疲劳寿命取决于材料的力学性能和所施加的应力水平。
一般来说，材料的强度极限越高，外加的应力水平越低，试样的疲劳寿命就越长； 反之疲劳寿命越短。
表示这种外加应力水平和标准试样疲劳寿命之间关系的曲线称为材料S-N曲线。
c是疲劳延性指数，表示在双对数坐标中该曲线的斜率。一般c的值在-0.5～-0.7之间，工程 中常取c＝-0.6进行估算分析。
应变疲劳极限或应变持久极限
许多真正的机器零件是在常幅总应变幅下工作的，疲劳试验也常在控制 总应变幅的条件下进行。总应变幅由塑性应变幅εap和弹性应变幅εae组成，如 下图所示。弹性应变幅由虎克定律与应力幅相联系，即εae＝σa/E。
在工程应用中，由于无限次循环是不现实的，传统的方法 是规定一个足够大的有限循环的有限循环数Nc，在一定的循环 特征下，材料承受Nc次应力循环而不发生破坏的最大应力作为 材料在该循环特征下的持久极限。
为了与前面所说的持久极限加以区别，有时也称为“条件 持久极限”或“使用持久极限”。 Nc一般取107左右。
疲劳强度是指材料或构件在交变载荷下的强度。 在一定的循环特征下，材料可以承受无限次应力循环而不发生破坏的最大应力称为这一 循环特征下的“持久极限”或“疲劳极限”，用σc表示，它是材料抗疲劳力的重要特性。
R＝－1时，持久极限的数值最小。如果不加说明的话，所 谓材料的的持久极限就是指R＝－1时的最大应力。这时最大应 力值就是应力幅的值，用σ－1表示。
下图就表示2024-T3铝合金的S-N曲线族。
在上图中，给定N值，就可以获得一系列 σ ma值x ，根据应力比R和对应的
值，可以计算得到 σ m和 σ 。以 min σ与m σ为min 纵坐标， 为σ m横坐标，可以绘出等寿 命疲劳曲线。曲线AB表示最大应力 σ，ma曲x 线A’B’表示 σ。min
2.1 交变载荷 2.2 疲劳强度和疲劳极限 2.3 S-N曲线 2.4 ε-N曲线（应变－寿命曲线） 2.5 循环应力应变曲线 2.6 等寿命曲线
2.1 交变载荷
交变载荷－－随时间变化的载荷 载荷谱－－交变载荷变化的历程，是一个统计值
交变载荷特征量：
J : 周期
σ max : 最大载荷
σ min : 最小载荷
ε at
= ε ae + ε ap
=σf
E
(2N f )b + ε f (2N f )c
ε'f εat
σ'f E
εat εae εap
εae
σ'f = E（2N
）b
（弹性段）
2NT
εap ε'（f 2N ）c
（塑性段）
2NT
下面介绍两种在设计阶段获得ε-N曲线的可以接受的近似方法估算方法： 1.曼森通用斜率法 曼森根据多种金属材料（钢、不锈钢、钛合金、铝合金等）的试验结果，认 为塑性线可用一条斜率为-0.6的直线近似表达，弹性线可用一条斜率为-0.12的直 线近似表达，即用一种“通用的斜率”来近似确定应变寿命曲线。
σ −1
1 −
σm σb
2
σ a + σ m = 1 σ −1 σ s
= σ a
σ
−1
1−
σ
σ −1 ：为对称循环载荷下的材料疲劳极限
σ s ：为材料的拉伸屈服极限
材料：LC4板材，t=2.5mm，σb =549MPa；应力集中系数：Kt=1； 试验条件：轴向加载，σm =7，70，140，210 MPa；频率： f =110~130Hz
塑性应变幅εap 与破坏循环数Nf 关系的曼森-柯芬方程如下：
εap = ε f (2N f )c
εf是疲劳延性系数，由曼森-柯芬曲线外推到第一个半循环（2Nf＝1）的塑性应变幅；εf与 拉伸试验的断裂真应变εc多少有一定关系，人们为了寻求εf 与 εc的关系而做了大量研究，结 果指出 εf在0.35 εc -1.0 εc 之间变化；一般得到疲劳延性系数 的可靠方法是直接试验求曼森-柯 芬曲线。
2.4 ε-N曲线（应变－寿命曲线）
针对应力水平或疲劳循环数的不同，疲劳分为高周疲劳与低周疲劳，或称为 应力疲劳与应变疲劳。
一般在材料进入塑性之后，应力变化较小，而应变变化较大，这种情况下控 制应变更为合理，所以，计算寿命常采用联系应变与疲劳寿命的ε-N曲线。
疲劳类型 定义
应力 塑性变形 应力－应 变关系 设计参量
∆ε = 2ε = 3.5 σ b N −0.12 + D0.6 N −0.6
E
D = ln 1
1−ψ
ψ——断面收缩率= ψ
F0 − Ff ×100% F0
F0 ——试件的初始横截面积 Ff ——试件断裂时颈缩处的横截面积
2.曼森四点关联法 基本思路：弹性线与塑性线相加得到总应变范围与循环寿命的曲线。
S-N曲线
y = 955.11x-0.1447
R2 = 0.9206 350
试验 乘幂 (试验) 300
250
S
200
150
100 1.0E+03
1.0E+04
1.0E+05 N
1.0E+06
1.0E+07
指数函数公式：
N ⋅ eασ = C
lg N= a + bσ
幂函数公式：
σ
α max
N
=
C
1
2
3
S-N曲线最常用应力控制加载试验来测定，
另一种方法是应变控制加载试验来测定。
0 ε
1
2 3
123
σ
σm
0 ε
max，MPa σ
max，MPa σ
1200 1000
800
R=0.5 R=0.1 R=-1
600
400
200
0 1.0E+04
1.0E+05 N，cycle 1.0E+06
1.0E+07
N = f (材料性能,σ )
曲线(a)有一条水平渐近线，它趋于一个极 限值——疲劳极限 σ－1 ，如钢材料。
曲线(b) 没有水平渐近线，随着到破坏循环 数的增加，所能承受的应力幅将不断降低，降低 的速率也不断减小，与(a)不同的是没有明显的 持久极限。铝合金材料的S-N曲线常常是这种形 式的。
σ
=1
300 700
σ a = 274.2MPa
σm
=
σ max
+ σ min
2
σa
=
σ max
− σ min
2
σ max = σ m + σ a = 274.2 + 60 = 334.2MPa
曼森建议的这四点的经验数据是：
在弹性线上
P1 :
N= 1/ 4
∆ε =
2ε =
2.5
σf E
P2 :
= N 105
∆=ε
0.9
σb
E
在塑性线上
P3 :
N = 10
∆ε p =
2ε p =
1 D3/4 4
P4 :
N= 104
∆ε =p
0.0132
−
∆ε
* e
1.91
∆εe*是弹性线上的一点，对应于N＝的1的04 值∆。ε
例题：拉杆的截面积为0.003m2，在N＝106，R＝-1时，σ−1 = 300MPa 材料的拉伸强度极限 σb = 700MPa 求平均拉力P＝180KN时，保证N＝106时破坏的最大拉应力。
P
P
解：运用Goodman公式
σ a + σ m = 得1
σ −1 σ b
σa
180 ×10−3 + 0.003
高周疲劳 破坏循环数大于104～105的
疲劳 低于弹性极限 无明显的宏观塑性变形
线性关系
应力
低周疲劳 破坏循环数小于104～105的疲
劳 高于弹性极限 有明显的宏观塑性变形 非线性关系
应变
曼森（Manson）和柯芬（Coffin）首先根据低循环疲劳试验数据，把塑性应变幅与到断裂的 循环数联系起来，用应变幅表示疲劳寿命数据。
图中OB直线上的各点纵坐标值等于平均应力 σ。m
• 用来描述上面的曲线的公式：
• （1）Goodman直线方程
σ σ a + σ σ −1
= 1 m
= σ a
σ
−1
1−
σm σb
b
• （2）Gerber抛物线方程 • （3）Soderberg直线方程
σa σ −1
+
(σ m σb
)2
= 1 = σ a
5个特征参数中只要 任意的2个量，就可以描 述交变载荷，即其他的任 意3个量。
设计：用σmax，σmin ，直观； 试验：用σm，σa ，便于加载； 分析：用σa，R，突出主要控制参量, 便于分类讨论。
0<R<1
R=0
-1<R<0
R=-1，对称循环 -∞<R<-1
1<R< +∞
R=∞
2.2 疲劳强度和疲劳极限
30CrMnSiNi2A（L向）结构钢棒材缺
口试样（Kt＝3）S-N曲线
400
380
360
340
320
300
280
260
LC4CS（L向）板材不同Kt下的 S-N曲线（ σm＝206MPa）
240
220
200 1.0E+04
Kt=1 Kt=2 Kt=4
1.0E+05
N，cycle
1.0E+06
1.0E+07
第二章 疲劳的基本概念
Δσ
σ m：平均载荷
σ a：交变载荷幅值
σa σ max
σm σ min
∆σ : 交变载荷范围（变程）
∆σ = 2σ a
σm
=
σ max
+ σ min
2
σa
=
σ max
− σ min
2
R = 1− A 1+ A
A= σa σm
R = σ min σ max
A = 1− R 1+ R
载荷可变性系数
应力比（反映载荷 的性质）
Basquin公式：
σ a = σ ′f (2N )b
lg N = a + b ⋅ lgσ max
Weibull公式：
= N a(σ a − A)b
lg N = a + b ⋅ lg(σ a − A)
lg N = a + b ⋅ lg(σ max − A′)
注意：S-N曲 线拟合公式中 的拟合参数不 具有通用性， 即每一个公式 必须使用相对 应的公式拟合 获得。
2.5 循环应力应变曲线
应力控制加载 循环硬化应变的应变响应 循环软化应变的应变响应
应变控制加载
循环硬化的应力响应 循环软化的应力响应
（a）稳定滞后回线
1
∆ε= ∆σ + 2( ∆σ )nf
E
2K '
（b）循环应力-应变曲线 K’是循环强度系数， nf是循环应变硬化指数
材料
K’/MPa
nf
2024-T4
448
0.09
6061-T651
296
0.10
7075-T6
517
0.10
2.6 等寿命曲线
对某一种材料，在一定的应力比下，利用一组试样进行疲劳试验，可以获得 一条S－N曲线，当改变应力比R时，材料的S－N曲线也发生变化。
如给出若干个应力比的S－N曲线值，即可得到该材料对应于不同应力比R的S －N曲线族。
2.3 S-N曲线
疲劳寿命是疲劳失效时所经受的应力或应变的循环次数，一般用N表示。试样的 疲劳寿命取决于材料的力学性能和所施加的应力水平。
一般来说，材料的强度极限越高，外加的应力水平越低，试样的疲劳寿命就越长； 反之疲劳寿命越短。
表示这种外加应力水平和标准试样疲劳寿命之间关系的曲线称为材料S-N曲线。
c是疲劳延性指数，表示在双对数坐标中该曲线的斜率。一般c的值在-0.5～-0.7之间，工程 中常取c＝-0.6进行估算分析。
应变疲劳极限或应变持久极限
许多真正的机器零件是在常幅总应变幅下工作的，疲劳试验也常在控制 总应变幅的条件下进行。总应变幅由塑性应变幅εap和弹性应变幅εae组成，如 下图所示。弹性应变幅由虎克定律与应力幅相联系，即εae＝σa/E。
在工程应用中，由于无限次循环是不现实的，传统的方法 是规定一个足够大的有限循环的有限循环数Nc，在一定的循环 特征下，材料承受Nc次应力循环而不发生破坏的最大应力作为 材料在该循环特征下的持久极限。
为了与前面所说的持久极限加以区别，有时也称为“条件 持久极限”或“使用持久极限”。 Nc一般取107左右。
疲劳强度是指材料或构件在交变载荷下的强度。 在一定的循环特征下，材料可以承受无限次应力循环而不发生破坏的最大应力称为这一 循环特征下的“持久极限”或“疲劳极限”，用σc表示，它是材料抗疲劳力的重要特性。
R＝－1时，持久极限的数值最小。如果不加说明的话，所 谓材料的的持久极限就是指R＝－1时的最大应力。这时最大应 力值就是应力幅的值，用σ－1表示。
下图就表示2024-T3铝合金的S-N曲线族。
在上图中，给定N值，就可以获得一系列 σ ma值x ，根据应力比R和对应的
值，可以计算得到 σ m和 σ 。以 min σ与m σ为min 纵坐标， 为σ m横坐标，可以绘出等寿 命疲劳曲线。曲线AB表示最大应力 σ，ma曲x 线A’B’表示 σ。min
2.1 交变载荷 2.2 疲劳强度和疲劳极限 2.3 S-N曲线 2.4 ε-N曲线（应变－寿命曲线） 2.5 循环应力应变曲线 2.6 等寿命曲线
2.1 交变载荷
交变载荷－－随时间变化的载荷 载荷谱－－交变载荷变化的历程，是一个统计值
交变载荷特征量：
J : 周期
σ max : 最大载荷
σ min : 最小载荷
ε at
= ε ae + ε ap
=σf
E
(2N f )b + ε f (2N f )c
ε'f εat
σ'f E
εat εae εap
εae
σ'f = E（2N
）b
（弹性段）
2NT
εap ε'（f 2N ）c
（塑性段）
2NT
下面介绍两种在设计阶段获得ε-N曲线的可以接受的近似方法估算方法： 1.曼森通用斜率法 曼森根据多种金属材料（钢、不锈钢、钛合金、铝合金等）的试验结果，认 为塑性线可用一条斜率为-0.6的直线近似表达，弹性线可用一条斜率为-0.12的直 线近似表达，即用一种“通用的斜率”来近似确定应变寿命曲线。
σ −1
1 −
σm σb
2
σ a + σ m = 1 σ −1 σ s
= σ a
σ
−1
1−
σ
σ −1 ：为对称循环载荷下的材料疲劳极限
σ s ：为材料的拉伸屈服极限
材料：LC4板材，t=2.5mm，σb =549MPa；应力集中系数：Kt=1； 试验条件：轴向加载，σm =7，70，140，210 MPa；频率： f =110~130Hz
塑性应变幅εap 与破坏循环数Nf 关系的曼森-柯芬方程如下：
εap = ε f (2N f )c
εf是疲劳延性系数，由曼森-柯芬曲线外推到第一个半循环（2Nf＝1）的塑性应变幅；εf与 拉伸试验的断裂真应变εc多少有一定关系，人们为了寻求εf 与 εc的关系而做了大量研究，结 果指出 εf在0.35 εc -1.0 εc 之间变化；一般得到疲劳延性系数 的可靠方法是直接试验求曼森-柯 芬曲线。
2.4 ε-N曲线（应变－寿命曲线）
针对应力水平或疲劳循环数的不同，疲劳分为高周疲劳与低周疲劳，或称为 应力疲劳与应变疲劳。
一般在材料进入塑性之后，应力变化较小，而应变变化较大，这种情况下控 制应变更为合理，所以，计算寿命常采用联系应变与疲劳寿命的ε-N曲线。
疲劳类型 定义
应力 塑性变形 应力－应 变关系 设计参量
∆ε = 2ε = 3.5 σ b N −0.12 + D0.6 N −0.6
E
D = ln 1
1−ψ
ψ——断面收缩率= ψ
F0 − Ff ×100% F0
F0 ——试件的初始横截面积 Ff ——试件断裂时颈缩处的横截面积
2.曼森四点关联法 基本思路：弹性线与塑性线相加得到总应变范围与循环寿命的曲线。
S-N曲线
y = 955.11x-0.1447
R2 = 0.9206 350
试验 乘幂 (试验) 300
250
S
200
150
100 1.0E+03
1.0E+04
1.0E+05 N
1.0E+06
1.0E+07
指数函数公式：
N ⋅ eασ = C
lg N= a + bσ
幂函数公式：
σ
α max
N
=
C
1
2
3
S-N曲线最常用应力控制加载试验来测定，
另一种方法是应变控制加载试验来测定。
0 ε
1
2 3
123
σ
σm
0 ε
max，MPa σ
max，MPa σ
1200 1000
800
R=0.5 R=0.1 R=-1
600
400
200
0 1.0E+04
1.0E+05 N，cycle 1.0E+06
1.0E+07
N = f (材料性能,σ )
曲线(a)有一条水平渐近线，它趋于一个极 限值——疲劳极限 σ－1 ，如钢材料。
曲线(b) 没有水平渐近线，随着到破坏循环 数的增加，所能承受的应力幅将不断降低，降低 的速率也不断减小，与(a)不同的是没有明显的 持久极限。铝合金材料的S-N曲线常常是这种形 式的。
σ
=1
300 700
σ a = 274.2MPa
σm
=
σ max
+ σ min
2
σa
=
σ max
− σ min
2
σ max = σ m + σ a = 274.2 + 60 = 334.2MPa
曼森建议的这四点的经验数据是：
在弹性线上
P1 :
N= 1/ 4
∆ε =
2ε =
2.5
σf E
P2 :
= N 105
∆=ε
0.9
σb
E
在塑性线上
P3 :
N = 10
∆ε p =
2ε p =
1 D3/4 4
P4 :
N= 104
∆ε =p
0.0132
−
∆ε
* e
1.91
∆εe*是弹性线上的一点，对应于N＝的1的04 值∆。ε
例题：拉杆的截面积为0.003m2，在N＝106，R＝-1时，σ−1 = 300MPa 材料的拉伸强度极限 σb = 700MPa 求平均拉力P＝180KN时，保证N＝106时破坏的最大拉应力。
P
P
解：运用Goodman公式
σ a + σ m = 得1
σ −1 σ b
σa
180 ×10−3 + 0.003
高周疲劳 破坏循环数大于104～105的
疲劳 低于弹性极限 无明显的宏观塑性变形
线性关系
应力
低周疲劳 破坏循环数小于104～105的疲
劳 高于弹性极限 有明显的宏观塑性变形 非线性关系
应变
曼森（Manson）和柯芬（Coffin）首先根据低循环疲劳试验数据，把塑性应变幅与到断裂的 循环数联系起来，用应变幅表示疲劳寿命数据。
图中OB直线上的各点纵坐标值等于平均应力 σ。m
• 用来描述上面的曲线的公式：
• （1）Goodman直线方程
σ σ a + σ σ −1
= 1 m
= σ a
σ
−1
1−
σm σb
b
• （2）Gerber抛物线方程 • （3）Soderberg直线方程
σa σ −1
+
(σ m σb
)2
= 1 = σ a
5个特征参数中只要 任意的2个量，就可以描 述交变载荷，即其他的任 意3个量。
设计：用σmax，σmin ，直观； 试验：用σm，σa ，便于加载； 分析：用σa，R，突出主要控制参量, 便于分类讨论。
0<R<1
R=0
-1<R<0
R=-1，对称循环 -∞<R<-1
1<R< +∞
R=∞
2.2 疲劳强度和疲劳极限
30CrMnSiNi2A（L向）结构钢棒材缺
口试样（Kt＝3）S-N曲线
400
380
360
340
320
300
280
260
LC4CS（L向）板材不同Kt下的 S-N曲线（ σm＝206MPa）
240
220
200 1.0E+04
Kt=1 Kt=2 Kt=4
1.0E+05
N，cycle
1.0E+06
1.0E+07