2018年高考数学文江苏专用总复习教师用书：第九章 解

第7讲 抛物线
考试要求 1.抛物线的实际背景，抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，A 级要求；2.抛物线的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质，A 级要求．
知 识 梳 理
1．抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．
(2)其数学表达式：MF ＝d (其中d 为点M 到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )
(2)方程y ＝ax 2
(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
4，0，准线
方程是x ＝－a
4
.( )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )
(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2
＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .( )
解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线．
(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2
＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，
准线方程是y ＝－1
4a
.
(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形．
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．(2016·四川卷改编)抛物线y 2
＝4x 的焦点坐标是________．
解析 抛物线y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
4，0，故y 2
＝4x ，则焦点坐标为(1,0)．
答案 (1,0)
3．(2017·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点P (1,3)，则其焦点到准线的距离为________．
解析 设抛物线C 的标准方程为y 2
＝2px (p >0)，代入点P (1,3)得9＝2p ，则y 2
＝9x 的焦点到准线的距离为p ＝9
2.
答案 92
4．(选修1－1P46练习1(3)改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点
P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．
解析 很明显点P 在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x 轴负半轴上或y 轴负半轴上． 当焦点在x 轴负半轴上时，设方程为y 2
＝－2px (p ＞0)，把点P (－2，－4)的坐标代入得(－4)2
＝－2p ×(－2)，
解得p ＝4，此时抛物线的标准方程为y 2
＝－8x ；
当焦点在y 轴负半轴上时，设方程为x 2＝－2py (p ＞0)，把点P (－2，－4)的坐标代入得(－2)2＝－2p ×(－4)，解得p ＝12，此时抛物线的标准方程为x 2
＝－y .
综上可知，抛物线的标准方程为y 2
＝－8x 或x 2
＝－y . 答案 y 2
＝－8x 或x 2
＝－y
5．已知抛物线方程为y 2
＝8x ，若过点Q (－2,0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．
解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2
＋(4k 2
－8)x ＋4k 2
＝0，当k ＝0时，显然满足题意；当k ≠0时，Δ＝(4k 2
－8)2
－4k 2
·4k 2
＝64(1－k 2
)≥0，解得－1≤k ＜0或0＜k ≤1，因此k 的取值范围是[－1,1]． 答案 [－1,1]
考点一 抛物线的定义及应用
【例1】 (1)(2016·浙江卷)若抛物线y 2
＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．
(2)若抛物线y 2
＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，则PA ＋PF 取最小值时点P 的坐标为________．
解析 (1)抛物线y 2
＝4x 的焦点F (1,0)．准线为x ＝－1，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9. (2)
将x ＝3代入抛物线方程
y 2＝2x ，得y ＝± 6.
∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图．
设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－1
2的距离为d ，由定义知PA ＋PF ＝PA ＋d ，当PA ⊥l 时，PA
＋d 最小，最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2
＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)．
答案 (1)9 (2)(2,2)
规律方法 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
【训练1】 (1)(2017·徐州、宿迁、连云港三市模拟)已知点F 为抛物线y 2
＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为________． (2)动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________． 解析 (1)由于点F 为抛物线y 2
＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距
离为5，则x A ＋p 2＝x A ＋1＝5，则A (4,4)，又F (1,0)，所以直线AF 的斜率为4－04－1＝43
.
(2)设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2
＝4x . 答案 (1)43
(2)y 2
＝4x
考点二 抛物线的标准方程及其性质
【例2】 (1)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2
＝2py (p >0)
的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________．
(2)(2016·全国Ⅰ卷改编)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，
E 两点．已知AB ＝42，DE ＝25，则C 的焦点到准线的距离为________． 解析 (1)∵x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，
∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b
a
＝ 3. x 2
＝2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2
a 2－y
2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y
＝±3x .由题意得
p
21＋
3
2
＝2，解得p ＝8.故C 2的方程为x 2
＝16y . (2)不妨设抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)，圆的方程为x 2
＋y 2
＝r 2
(r >0)， ∵AB ＝42，DE ＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p
2
，
∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－p 2，5， ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2
上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
16p 2＋8＝r 2
，p 2
4＋5＝r 2
，
∴16p ＋8＝p
2
4
＋5，解得p ＝4(负值舍去)， ∴C 的焦点到准线的距离为4. 答案 (1)x 2
＝16y (2)4
规律方法 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
【训练2】 (1)如图，过抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线
l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为________.
(2)(2016·西安模拟)过抛物线y 2
＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若AF ＝3，则△AOB 的面积为________． 解析 (1)设A ，B 在准线上的射影分别为A 1，B 1， 由于BC ＝2BF ＝2BB 1，则直线l 的斜率为3， 故AC ＝2AA 1＝6，从而BF ＝1，AB ＝4， 故
p AA 1＝CF AC ＝12，即p ＝32
，从而抛物线的方程为y 2
＝3x . (2)
如图，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又AF ＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，所以点A 的横坐标为2，将x ＝2代入y 2
＝4x 得y 2
＝8，由图知点A 的纵坐标为y ＝22，所以A (2,22)，所以直线AF 的方程为y ＝22(x －1)， 联立直线与抛物线的方程⎩⎨⎧
y ＝22x －
，
y 2＝4x ，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝12，y ＝－2
或⎩⎨
⎧
x ＝2，y ＝22，
由图知B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－2， 所以S △AOB ＝12×1×|y A －y B |＝32
2.
答案 (1)y 2
＝3x (2)322
考点三 直线与抛物线的位置关系
【例3】(2017·苏北四市联考)已知点F 为抛物线E ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且AF ＝3.
(1)求抛物线E 的方程；
(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．
法一 (1)解 由抛物线的定义得AF ＝2＋p
2.
因为AF ＝3，即2＋p
2＝3，解得p ＝2，
所以抛物线E 的方程为y 2
＝4x .
(2)证明 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2
＝4x 上，
所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)． 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎨
⎧
y ＝22x －，
y 2＝4x
得2x 2
－5x ＋2＝0，
解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，
所以k GA ＝22－02－－＝223，k GB ＝－2－012
－－＝－22
3
.
所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切． 法二 (1)同法一．
(2)证明 设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .
因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2
＝4x 上，
所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)． 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎨
⎧
y ＝22x －，
y 2＝4x
得2x 2
－5x ＋2＝0. 解得x ＝2或x ＝1
2
，
从而B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，
故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0. 从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217
.
又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0. 所以点F 到直线GB 的距离
d ＝
|22＋22|
8＋9
＝
42
17
＝r .
这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．
规律方法 (1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
【训练3】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求OH ON
；
(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．
解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2
2p ，t ， 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t 2
p ，t ， 故ON 的方程为y ＝p
t
x ，
将其代入y 2
＝2px 整理得px 2
－2t 2
x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2
p
，因此H ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2t 2
p ，2t .
所以N 为OH 的中点，即OH ON
＝2.
(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下：
直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2t
p
(y －t )．
代入y 2
＝2px 得y 2
－4ty ＋4t 2
＝0，解得y 1＝y 2＝2t ， 即直线MH 与C 只有一个公共点，
所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点．
[思想方法]
1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)．
2．抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)，则：
(1)y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝p 2
4
； (2)若直线AB 的倾斜角为θ，则AB ＝2p
sin 2
θ
；AB ＝x 1＋x 2＋p ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1
AF ＋1BF ＝2p
.
[易错防范]
1．认真区分四种形式的标准方程
(1)区分y ＝ax 2
(a ≠0)与y 2
＝2px (p ＞0)，前者不是抛物线的标准方程．
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2
＝mx 或x 2
＝my (m ≠0)．
2．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2016·全国Ⅱ卷改编)设F 为抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点，曲线y ＝k x
(k >0)与C 交于点P ，
PF ⊥x 轴，则k ＝________.
解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0)，由PF ⊥x 轴知，PF ＝2，所以P 点的坐标为(1,2)，代入曲线y ＝k x
(k >0)得k ＝2. 答案 2
2．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2
(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是________． 解析 分两类a >0，a <0可得y ＝112x 2，y ＝－136x 2.
答案 y ＝112x 2或y ＝－136
x 2
3．(2017·苏州测试)过抛物线y 2
＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则PQ ＝________.
解析 抛物线y 2
＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，PQ ＝PF ＋QF ＝
x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.
答案 8
4．(2017·兰州诊断)抛物线y 2
＝－12x 的准线与双曲线x 29－y 2
3＝1的两条渐近线所围成的三
角形的面积等于________．
解析 由图可知弦长AB ＝23，三角形的高为3， ∴面积为S ＝1
2×23×3＝3 3.
答案 3 3
5．已知抛物线C ：y 2
＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →
，则QF ＝________. 解析 ∵FP →＝4FQ →
，
∴FP →＝4|FQ →
|，∴PQ PF ＝34
.
如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′， 设l 与x 轴的交点为A ， 则AF ＝4，∴PQ PF ＝
QQ ′AF ＝3
4
，
∴QQ ′＝3，根据抛物线定义可知QQ ′＝QF ＝3. 答案 3
6．(2017·扬州中学质检)过抛物线y 2
＝4x 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，
B 两点，则弦长AB 为________．
解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．易得抛物线的焦点是F (1,0)，所以直线AB 的方程是y ＝x
－1，联立⎩⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝4x ，
y ＝x －1，
消去y 得x 2
－6x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝6，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝6
＋2＝8. 答案 8
7．(2017·南通调研)已知抛物线x 2
＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，PF ＝________. 解析 如图
，令l 与y 轴交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，BF ＝2，所以AB ＝23
3，若P (x 0，y 0)，
则x 0＝233，代入x 2
＝4y 中，则y 0＝13，所以PF ＝PA ＝y 0＋1＝43.
答案 4
3
8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．
解析
建立如图平面直角坐标系，设抛物方程为x 2
＝－2py (p ＞0)．
由题意将点A (2，－2)代入x 2
＝－2py ，得p ＝1，故x 2
＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2
＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米． 答案 2 6 二、解答题
9．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：
y 2＝2px (p ＞0)．
(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围．
(1)解 ∵l ：x －y －2＝0，∴l 与x 轴的交点坐标为(2,0)． 即抛物线的焦点为(2,0)，∴p
2＝2，∴p ＝4.
∴抛物线C 的方程为y 2
＝8x .
(2)①证明 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．
则⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2
1＝2px 1，y 2
2＝2px 2，则⎩⎪⎨⎪
⎧
x 1＝y 21
2p
，
x 2
＝y
2
2
2p ，
∴k PQ ＝
y 1－y 2y 212p －y 22
2p
＝2p
y 1＋y 2， 又∵P ，Q 关于l 对称．∴k PQ ＝－1，即y 1＋y 2＝－2p ， ∴y 1＋y 2
2＝－p ，又∵PQ 的中点一定在l 上， ∴
x 1＋x 22
＝
y 1＋y 2
2
＋2＝2－p .
∴线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②解 ∵PQ 的中点为(2－p ，－p )，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
y 1＋y 2＝－2p ，x 1＋x 2＝y 21＋y 22
2p ＝4－2p ，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
y 1＋y 2＝－2p ，y 21＋y 22＝8p －4p 2
，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
y 1＋y 2＝－2p ，
y 1y 2＝4p 2
－4p ，
即关于y 的方程y 2
＋2py ＋4p 2
－4p ＝0，有两个不等实根．∴Δ＞0. 即(2p )2－4(4p 2
－4p )＞0，解得0＜p ＜43
，
故所求p 的范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，43. 10．(2017·南京师大附中模拟)已知双曲线y 2a 2－x 24
＝1(a >0)的离心率为5，抛物线C ：x 2
＝
2py (p >0)的焦点在双曲线的顶点上． (1)求抛物线C 的方程；
(2)过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 交于E ，F 两点，又过E ，F 作抛物线C 的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程． 解 (1)双曲线的离心率e ＝
1＋4
a
2＝5，
又a >0，∴a ＝1，双曲线的顶点为(0,1)， 又p >0，
∴抛物线的焦点为(0,1)， ∴抛物线方程为x 2
＝4y .
(2)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∵y ＝14x 2，∴y ′＝12
x ，
∴切线l 1，l 2的斜率分别为x 12，x 2
2
，
当l 1⊥l 2时，x 12·x 2
2
＝－1，∴x 1x 2＝－4，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k x ＋，
x 2
＝4y 得x 2
－4kx －4k ＝0，
∴Δ＝(－4k )2
－4(－4k )>0， ∴k <－1或k >0.①
解x 2
－4kx －4k ＝0得x 1,2＝2k ±2k 2
＋k .
x 1·x 2＝－4k ＝－4，∴k ＝1，满足①，
即直线的方程为x －y ＋1＝0.
能力提升题组 (建议用时：20分钟)
11．(2017·镇江调研)已知P 是抛物线y 2＝2x 上动点，A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫72，4，若点P 到y 轴的距离为d 1，
点P 到点A 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是________．
解析 因为点P 在抛物线上，所以d 1＝PF －1
2
(其中点F 为抛物线的焦点)，则d 1＋d 2＝PF ＋
PA －12≥AF －12
＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫72－122＋42－12＝5－12＝92，
当且仅当点P 是线段AF 与抛物线的交点时取等号． 答案 92
12．(2016·四川卷改编)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2
＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM
＝2MF ，则直线OM 的斜率的最大值为________． 解析 如图，
由题可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 2
02p ，y 0(y 0
＞0)，
则OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 20
6p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 0
3y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2
等号成立． 答案
22
13．已知F 为抛物线y 2
＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是________．
解析 如图，可设A (m 2，m )，B (n 2，n )，其中m ＞0，n ＜0，则OA →＝(m 2
，m )，OB →＝(n 2，n )，OA →·OB →＝m 2n 2
＋mn ＝2，解得mn ＝1(舍)或mn ＝－2.
∴l AB ：(m 2
－n 2
)(y －n )＝(m －n )(x －n 2
)，即(m ＋n )(y －n )＝x －n 2
，令y ＝0，解得x ＝－mn ＝2，∴C (2,0)．
S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝1
2×2×m ＋12×2×(－n )＝m －n ，S △AOF ＝12×14×m ＝18
m ，则S △AOB ＋S △AOF ＝m
－n ＋18m ＝98m －n ＝98m ＋2m
≥2
98m ·2m ＝3，当且仅当98m ＝2m ，即m ＝4
3
时等号成立．故△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为3. 答案 3
14．(2017·南通、扬州、泰州三市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2
＝2px (p >0)
上一点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫34，m 到准线的距离与到原点O 的距离相等，抛物线的焦点为F .
(1)求抛物线的方程；
(2)若A 为抛物线上一点(异于原点O )，点A 处的切线交x 轴于点B ，过A 作准线的垂线，垂足为点E ，试判断四边形AEBF 的形状，并证明你的结论．
解 (1)由题意得点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫34，m 到准线的距离等于PO ， 由抛物线的定义得点P 到准线的距离为PF ，
所以PO ＝PF ，即点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫34，m 在线段OF 的中垂线上， 所以p 4＝3
4
，p ＝3，
所以抛物线的方程为y 2
＝6x .
(2)四边形AEBF 为菱形，理由如下：
由抛物线的对称性，设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫16y 20，y 0在x 轴的上方，所以点A 处切线的斜率为3y 0， 所以点A 处切线的方程为y －y 0＝3y 0⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －16
y 20，
令上式中y ＝0，得x ＝－16
y 2
0，
所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－16y 20，0， 又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y 0，F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，0，
所以FA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16y 20－32，y 0，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16y 20－32，y 0，
所以FA →＝BE →
，所以FA ∥BE ，
又AE ∥FB ，故四边形AEBF 为平行四边形，
再由抛物线的定义，得AF ＝AE ，所以四边形AEBF 为菱形.
高考导航 直线的概念与直线方程是解析几何的基础，在高考中与直线相关的考题较多，但单独命题不多，它渗透到解析几何的各个部分，重视斜率、直线方程的应用等基础知识在圆、圆锥曲线中的综合应用．圆的方程、直线与圆的位置关系是高考考查的热点，主要考查圆的方程、弦长、面积的求法，并常与圆的几何性质交汇．圆锥曲线是解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主，注重“算理”的积累和表征，试题从不同的角度对问题进行表征，体现了对解析几何“多考一点想，少考一点算”的命题特点，问题在第(2)问或第(3)问中都伴有较为复杂的运算，要求有较强的运算求解能力．
热点一 直线与圆的交汇问题
直线与圆的位置关系是高考考查的热点，主要考查直线与圆的相交、相切、相离的判定与应
用，以及弦长、面积的求法等，并常与圆的几何性质交汇，要求学生有较强的运算求解能力． 【例1】 (2017·苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O
的动直线l 与圆C ：x 2＋y 2
－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为________．
解析 由题知圆C ：(x －3)2
＋y 2
＝4，圆心为C (3,0)，半径为2.设AB 的中点为D ，则CD ⊥
AB ，CD 即为圆心C 到直线l 的距离，设CD ＝d ，AD ＝m (0<m <2)，则有AB ＝2AD ＝2m ，则在Rt
△ACD 中由勾股定理可得d 2
＋m 2
＝r 2
＝4 ①，同理在
Rt △OCD 中由勾股定理可得d 2＋(3m )2＝OC 2
＝9 ②，联立①②解得d ＝364.
答案
36
4
探究提高 与圆有关的综合问题，既可以用代数法求解，用到方程与函数思想，同时圆有很多几何性质，注意分类讨论、数形结合思想，充分利用圆的几何性质求解，往往会事半功倍． 【训练1】 (2017·南通、扬州、泰州、淮安四市调研)在平面直角坐标系xOy 中，过点P (－2,0)的直线与圆x 2
＋y 2
＝1相切于点T ，与圆(x －a )2
＋(y －3)2
＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为________．
解析 不妨设直线PT 的倾斜角是锐角，则PT 的方程是x －3y ＋2＝0，PT ＝RS ＝ 3.设圆心(a ，3)到直线x －3y ＋2＝0的距离为d ，则3＝23－d 2
，解得d ＝32，则|a －3＋2|2＝
3
2，解得a ＝4或a ＝－2(舍去)． 答案 4
热点二 圆锥曲线的标准方程与几何性质
圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常考题型．
【例2】 (1)(2017·南通调研)以抛物线y 2
＝4x 的焦点为焦点，以直线y ＝±x 为渐近线的双曲线的标准方程为________．
(2)(2017·泰州模拟)设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为________.
(3)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与抛物线y 2
＝2px (p ＞0)有相同的焦点F ，P ，Q 是椭圆与抛
物线的交点，若直线PQ 经过焦点F ，则椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为________．
解析 (1)由抛物线y 2
＝4x 的焦点(1,0)是双曲线的焦点，得双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝1，由y ＝±x 为双曲线的渐近线得a ＝b ，且a 2＋b 2＝c 2，则a 2＝b 2
＝12
，所以双曲线的标
准方程为x 212－y 2
12
＝1.
(2)不妨设F (－c,0)，PF 的中点Q (0，b )，则P (c,2b )在双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)上，代
入得c 2a 2－4b 2b 2＝1，即c 2a 2＝5，则离心率e ＝c
a
＝ 5.
(3)
因为抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点F 为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设椭圆另一焦点为E .如图所示，将x ＝p
2代入
抛物线方程得y ＝±p ，又因为PQ 经过焦点F ，所以P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p
2，p 且PF ⊥OF .
所以PE ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2＋p 22＋p 2＝2p ， PF ＝p ，EF ＝p .
故2a ＝2p ＋p,2c ＝p ，e ＝2c
2a ＝2－1.
答案 (1)x 212－y 2
12
＝1 (2) 5 (3)2－1
探究提高 (1)在椭圆和双曲线中，椭圆和双曲线的定义把曲线上的点到两个焦点的距离联系在一起，可以把曲线上的点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离，也可以结合三角形的知识，求出曲线上的点到两个焦点的距离．在抛物线中，利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题． (2)求解与圆锥曲线的几何性质有关的问题关键是建立圆锥曲线方程中各个系数之间的关系，或者求出圆锥曲线方程中的各个系数，再根据圆锥曲线的几何性质通过代数方法进行计算得出结果．
【训练2】 (2017·苏北四市联考)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点
为F ，双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别与抛物线交于A ，B 两点(A ，B 异于坐标
原点O )．若直线AB 恰好过点F ，则双曲线的渐近线方程是________．
解析 不妨设点A 是渐近线y ＝b a x 与抛物线的交点，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，bp 2a 在抛物线上，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫bp
2a 2
＝
2p ×p 2，化简得b a ＝2，故双曲线的渐近线方程是y ＝±b
a x ＝±2x .
答案 y ＝±2x
热点三 圆锥曲线中的定点、定值问题(规范解答)
定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．
【例3】 (满分16分)(2017·南京、盐城模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32
，
过其右焦点F 与长轴垂直的弦长为1. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点P 是直线x ＝1上的动点，直线PA 与椭圆的另一交点为M ，直线PB 与椭圆的另一交点为N .求证：直线MN 经过一定点． 满分解答 (1)解 依题意得e ＝c
a ＝
3
2
，…………2分 过右焦点F 与长轴垂直的直线x ＝c 与椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1，
联立解得弦长为2b
2
a
＝1，…………4分
∴a ＝2，b ＝1，
所以椭圆C 的方程为x 2
4＋y 2
＝1.…………6分
(2)证明 设P (1，t )，k PA ＝
t －01＋2＝t
3，直线l PA ：y ＝t
3
(x ＋2)，
联立得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝t
3
x ＋
，
x
2
4＋y 2
＝1，
即(4t 2
＋9)x 2
＋16t 2x ＋16t 2
－36＝0，…………8分 可知－2x M ＝16t 2
－36
4t 2＋9，
所以x M ＝18－8t
2
4t 2＋9
，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x M ＝18－8t 2
4t 2＋9
，
y M
＝12t
4t 2
＋9.
同理得到⎩⎪⎨⎪⎧
x N ＝8t 2
－24t 2＋1
，
y N
＝4t
4t 2
＋1.
…………12分
由椭圆的对称性可知这样的定点在x 轴上，不妨设这个定点为Q (m,0)， 又k MQ ＝12t 4t 2＋918－8t 2
4t 2＋9－m ，k NQ ＝4t 4t 2＋1
8t 2－2
4t 2
＋1
－m ，…………14分 k MQ ＝k NQ ，所以化简得(8m －32)t 2－6m ＋24＝0，
令⎩
⎪⎨
⎪⎧
8m －32＝0，
－6m ＋24＝0，得m ＝4，
即直线MN 经过定点(4,0).…………16分
❶列出方程，解出a ，b ，并写出椭圆C 的方程得6分．
❷设出直线l PA 的方程与椭圆方程联立消去y 得到关于x 的方程得2分． ❸求出点M 、N 的坐标得4分． ❹正确表示出k MQ 、k NQ ，得2分．
❺由k MQ ＝k NQ ，得出m 的值，并说明直线MN 过定点(4,0)，得2分．
解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤
第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点、定值． 第二步：探究一般情况．探究一般情形下的目标结论． 第三步：下结论，综合上面两种情况定结论．
【训练3】 (2017·徐州、宿迁、连云港三市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2
＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (1,0)，离心率为2
2.分别过O ，F 的两条弦AB ，CD 相交于点E (异于A ，C 两点)，且
OE ＝EF .
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：直线AC ，BD 的斜率之和为定值．
(1)解 由题意，得c ＝1，e ＝c a ＝2
2
，故a ＝2， 从而b 2
＝a 2
－c 2
＝1，
所以椭圆的方程为x 2
2
＋y 2
＝1. ①
(2)证明 设直线AB 的方程为y ＝kx ， ② 直线CD 的方程为y ＝－k (x －1)， ③ 由①②得，点A ，B 的横坐标为±2
2k 2
＋1
， 由①③得，点C ，D 的横坐标为
2k 2
±
k 2＋
2k 2
＋1
.
设A (x 1，kx 1)，B (x 2，kx 2)，C (x 3，k (1－x 3))，
D (x 4，k (1－x 4))，
则直线AC ，BD 的斜率之和
kx
1－k －x 3x 1－x 3＋kx 2－k －x 4
x 2－x 4
＝k ·x 1＋x 3－
x 2－x 4＋x 1－x 3
x 2＋x 4－
x
1－x 3x 2－x 4
＝k ·
x 1x 2－x 3x 4－x 1＋x 2＋x 3＋x 4
x
1－x 3x 2－x 4
＝k ·
2⎝ ⎛⎭
⎪⎫－22k 2＋1－2k 2
－22k 2＋1－0＋4k 2
2k 2
＋1x
1－x 3
x 2－x 4
＝k ·－4k 2
2k 2＋1＋4k
2
2k 2
＋1
x 1－x 3x 2－x 4＝0为定值．
热点四 圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．
【例4】 (2017·苏州调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的
左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2.P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q . (1)求椭圆C 的方程；
(2)若点P 的坐标为(0，b )，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程；
(3)若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求OP →·OQ →的最大值．
解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
2c ＝2，a
2
c ＝2，
解得c ＝1，a 2
＝2， 所以b 2
＝a 2
－c 2＝1，
所以椭圆C 的方程为x 2
2
＋y 2
＝1. (2)因为P (0,1)，F 1(－1,0)，所以PF 1的方程为x －y ＋1＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋1＝0，x 22
＋y 2
＝1解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－4
3，y ＝－1
3，
所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4
3
，－13.
法一 因为kPF 1·kPF 2＝－1，所以△PQF 2为直角三角形． 因为QF 2的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
6，－16，QF 2＝523，
圆的半径为12QF 2＝52
6
，
所以圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋162＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋162＝25
18
.
法二 设过P ，Q ，F 2三点的圆为x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
则⎩⎪⎨⎪⎧
1＋E ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，179－43D －13E ＋F ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
D ＝13
，
E ＝1
3，
F ＝－43.
所以圆的方程为x 2＋y 2
＋13x ＋13y －43＝0.
(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，QF 1→
＝(－1－x 2，－y 2)．
因为F 1P →＝λQF 1→
，所以
⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＋1＝λ－1－x 2，
y 1＝－λy 2，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＝－1－λ－λx 2，
y 1＝－λy 2，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
－1－λ－λx 2
2
2
＋λ2y 2
2＝1，
x
2
2
2＋y 22
＝1，
解得x 2＝1－3λ
2λ
，
所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2(－1－λ－λx 2)－λy 2
2 ＝－λ2
x 2
2－(1＋λ)x 2－λ
＝－λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3λ2λ2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ ＝74－58⎝
⎛
⎭⎪⎫λ＋1λ.
因为λ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2，所以λ＋1λ≥2
λ·1
λ
＝2，
当且仅当λ＝1
λ，即λ＝1时，取等号．
所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →
的最大值为12
.
探究提高 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法、或利用判别式构造不等关系、利用隐含或已知的不等关系建立不等式等方法求最值、范围；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值．
【训练4】 (2017·苏北四市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)
的离心率为
3
2
，两个顶点分别为A 1(－2,0)，A 2(2,0)．过点D (1,0)的直线交椭圆于M ，N 两点，直线A 1M 与NA 2的交点为G .
(1)求实数a ，b 的值；
(2)当直线MN 的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P 1，P 2使得△P 1MN 和△P 2MN 的面积为S ，求S 的取值范围；
(3)求证：点G 在一条定直线上． (1)解 由题设可知a ＝2. 因为e ＝
32，即c a ＝3
2
，所以c ＝ 3. 又因为b 2
＝a 2
－c 2
＝4－3＝1，所以b ＝1. (2)解 由(1)可知，椭圆的方程为x 2
4＋y 2
＝1，
直线MN 的方程为y ＝x －1.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
4
＋y 2＝1，
y ＝x －1，
消去y 可得5x 2
－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85.
将x 1＝0，x 2＝8
5代入直线MN 的方程，
解得y 1＝－1，y 2＝3
5.
所以MN ＝
x 1－x 2
2
＋y 1－y 2
2
＝8
5
2. 设与直线MN 平行的直线m 方程为y ＝x ＋λ.
联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
4
＋y 2＝1，
y ＝x ＋λ，
消去y 可得5x 2
＋8λx ＋4λ2－4＝0， 若直线m 与椭圆只有一个交点，
则满足Δ＝64λ2
－20(4λ2
－4)＝0，解得λ＝± 5. 当直线m 为y ＝x －5时，直线l 与m 之间的距离为
d 1＝
|－1－－5
2
＝
5－12
；
当直线m 为y ＝x ＋5时，直线l 与m 之间的距离为
d 2＝
|－1－5|2＝5＋1
2
. 设点C 到MN 的距离为d ，要使△CMN 的面积为S 的点C 恰有两个， 则需满足d 1＜d ＜d 2，即
5－12＜d ＜5＋1
2
.
因为S ＝12d ·MN ＝452d ，所以45－45＜S ＜45＋4
5.
即S 的取值范围为⎝
⎛⎭⎪⎫
45－45
，45＋45.
(3)证明 设直线A 1M 的方程为y ＝k 1(x ＋2)， 直线A 2N 的方程为y ＝k 2(x －2)．
联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
4
＋y 2＝1，
y ＝k 1x ＋
，
消去y 得(1＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 2
1－4＝0，
解得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 2
1
1＋4k 21，4k 11＋4k 21.
同理，可解得点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2
2－2
1＋4k 22，－4k 21＋4k 22.
由M ，D ，N 三点共线，有4k 11＋4k 212－8k 2
11＋4k 21－1＝－4k 2
1＋4k 2
2
8k 22－2
1＋4k 22－1， 化简得(k 2－3k 1)(4k 1k 2＋1)＝0. 由题设可知k 1与k 2同号，所以k 2＝3k 1.
联立方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝k 1
x ＋，
y ＝k 2x －
，
解得交点G 的坐标为⎝
⎛
⎭
⎪⎫
k 1＋k 2k 2－k 1，4k 1k 2k 2－k 1.
将k 2＝3k 1代入点G 的横坐标， 得x G ＝
k 1＋k 2
k 2－k 1＝
k 1＋3k 1
3k 1－k 1
＝4.
所以，点G 恒在定直线x ＝4上．
热点五 圆锥曲线的探索性问题(与圆交汇)
圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题．
【例5】 (2017·盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆的焦点在x 轴上，离心率为
5
3
，且经过点(0,2)． (1)求椭圆的标准方程；
(2)以椭圆的长轴为直径作圆O ，设T 为圆O 上不在坐标轴上的任意一点，M 为x 轴上一点，过圆心O 作直线TM 的垂线交椭圆右准线于点Q .
问：直线TQ 能否与圆O 总相切？如果能，求出点M 的坐标；如果不能，请说明理由．
解 (1)设椭圆方程为x 2a ＋y 2
b
＝1(a ＞b ＞0)，∵经过点(0,2)，∴b ＝2，
又∵e ＝c a ＝
5
3
，可令c ＝5m ，a ＝3m ， ∴b 2
＝a 2
－c 2
＝4m 2
＝4，即m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 2
4
＝1.
(2)存在点M (5，0)．使得直线TQ 与圆O 总相切．
设点T (x 0，y 0)，M (c,0)，∵T 在以椭圆的长轴为直径的圆O 上，且不在坐标轴上的任意点， ∴x 0y 0≠0且x 2
0＋y 2
0＝9，又∵k TM ＝y 0
x 0－c
，
由OQ ⊥TM ，∴k OQ ＝－
x 0－c
y 0
， ∴直线OQ 的方程为y ＝－
x 0－c
y 0
x ， ∵点Q 在直线x ＝955上，令x ＝95
5，
得y ＝－
95
x 0－c 5y 0，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫95
5，－95x 0－
c 5y 0，
∴k TQ ＝
y 0＋
95
x 0－c 5y 0
x 0－
955
＝5y 2
0＋95x 0－c y 0x 0－95
＝
－x 2
＋95x 0－c
y 0x 0－95
，
又k OT ＝y 0x 0
，TQ 与圆O 总相切，故OT ⊥TQ ， 于是有k OT ·k TQ ＝－1，
k TQ ＝－x 0
y
，即
－x 2
＋95x 0－c
y 0x 0－95
＝－x 0y 0
恒成立，解得c ＝5，
即存在这样的点M (5，0)，使得TQ 与圆O 总相切．
探究提高 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．
【训练5】 (2017·扬州调研)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点到其右准线的距离
为1，到右顶点的距离为2－1，圆O ：x 2
＋y 2
＝a 2
，P 为圆O 上任意一点．
(1)求a ，b ；
(2)过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，线段PH 与椭圆交点为M ，求MH PH
；
(3)过点P 作椭圆E 的一条切线l ，直线m 是经过点P 且与切线l 垂直的直线，试问：直线m 是否经过一定点？如果是，请求出此定点坐标；如果不是，请说明理由．
解 (1)由已知得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 2
c －c ＝1，
a －c ＝2－1，
解得a ＝2，c ＝1，∴b ＝1.
(2)设P (x 0，y 0)，M (x 0，y 1)，则x 20
2＋y 21＝1，
∵x 2
＋y 20
＝2，得y 21
＝1－x 20
2＝1－2－y 2
02＝y 2
2
，
∴MH
PH ＝y 21
y 20＝
22
. (3)①当x 0≠±1且y 0≠0时，设切线l ：y －y 0＝k (x －x 0)， 代入椭圆方程，x 2
＋2[kx －(kx 0－y 0)]2
＝2，
整理得(1＋2k 2
)x 2
－4k (kx 0－y 0)x ＋2(kx 0－y 0)2
－2＝0， 由Δ＝0得(kx 0－y 0)2
－2k 2
－1＝0， 即(x 2
0－2)k 2
－2x 0y 0k ＋y 20－1＝0， 又x 2
0＋y 2
0＝2，故有y 20k 2
＋2x 0y 0k ＋x 2
0＝1， 所以k ＝－x 0±1
y 0
，
当k ＝x 0＋1－y 0时，直线m ：y －y 0＝y 0
x 0＋1(x －x 0)， 得y ＝y 0x 0＋1
(x －1)过定点(1,0)；
当k ＝
x 0－1－y 0时，直线m ：y －y 0＝y 0
x 0－1
(x －x 0)，。