第六章流动问题(求解不可压流场的CELS算法)

第六章 流动问题———求解不可压流场的CELS算法
即：
u u u u u * Au u A u A u A u A u (b ) p i EE i 2 E i 1 W i2 WW i 2
其中，
p P (a ) a u u u W i 1 E AP aP c P P (aP )i 1 aP
(a ) ui 1 (a ) ui 2 (a ) v i 1 (b )i 1 0
c E i 1 c W i 1 c N i 1 c
把以上(i-1), (i)和(i+1)三个点的连续方程代入v速度的 动量方程
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p p p p p ap p a u a u a u a u b p i EE i 1 E i W i 1 WW i 2
u W u W u P W P P
p WW i 1 P P i 1
p p b b u * c u i 1 (b ) b c P P aP (aP )i 1
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联立同一J角标上所有节点的只含有u速度的离散方程， 即可得到该直线上所有节点的u速度值。然后利用节点 压力的u速度表达式，可得到该直线上所有节点的压力。 同时利用连续方程就可以得到该直线上所有节点的v速 度值。 从而实现流场的求解，这种求解方法就称之为 耦合方程的直线解法 Coupled Equation Line Solver ------CELS
u u u u au u a u a u c (p p ) b P i E i 1 W i 1 i i 1
v v v aP v i aE v i 1 a W v i 1 c v p i b v
同时，
c c c ac u a u a v b 0 E i W i 1 N i
连续方程
c c c ac u a u a v a E i,j W i 1,j N i,j S v i,j1 0
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由于采用了松弛，因此在上述方程中，中心节点系数和 相邻节点系数之间满足下列关系式
1 u a (1 ) anP E
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p p p p p ap p a u a u a u a u b p i EE i 1 E i W i 1 WW i 2
ap ppi
其中，
v ap c P
np i 2

i 1
p ap u b np np
ap ppi
其中，
v ap c P
np i 2

i 1
p ap u b np np
ap EE
c (a v E )i 1 aE c (a N )i 1
c a v W aP ac N
c c (a ) a v v W i 1 E ap a a E E P c c (a N )i 1 aN
Ea(kcal/mol)
氢气的氧化反应机理
No. reaction B[cm,mol,s]
Ea(kcal/mol)
Formation and consumption of HO2
氢气的氧化反应机理
No. reaction B[cm,mol,s]
Ea(kcal/mol)
Formation and consumption of HO2
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u方程
u u u u u u au u a u a u a u a u c (p p ) B P i,j E i 1,j W i 1,j N i,j1 S i,j1 i,j i 1,j
v方程
v v v v v aP vi,j aE vi 1,j aW vi 1,j aN vi,j1 aS vi,j1 c v (pi,j pi,j1 ) B v
* u * bu Bu au u a N i,j1 Sui,j1 v * v * b v B v aN vi,j1 aS vi,j1 *表示同一层次 计算中，该变量 * b c ac v S i,j1 的最新值
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(a ) a a (a )
p W v W
c E i 1 c N i 1
ap WW
c (a p W )i 1 aW c (a N )i 1
c c c (b ) (b ) b v v v v i 1 i 1 bp a E a a b W P c c c (a N )i 1 (a N )i 1 aN
观察连续方程，其相当于把v速度用u速度表示出来了。 进一步，期望把v方程转化为只包含u速度和压力的方程 。显然连续方程的这种特征为这种转化提供了可能。 为此，写出(i-1)(i+1)点的连续方程，如下：
c c c ac u a u a v b 0 E i W i 1 N i
c c c (ac ) u (a ) u (a ) v (b )i 1 0 E i 1 i 1 W i 1 i N i 1 i 1
在获得(i)节点压力用u速度的表达式
ap ppi
np i 2

i 1
p ap u b np np
当然，也可以获得(i+1)节点压力用u速度的表达式
(ap p )i 1 p i 1
np i 1

i 2
p (anp )i 1 unp (bp )i 1
把由u速度表达的(i)(i+1)节点的压力表达式代入(i)节点 u速度方程中，即可得到只包含待求u速度的离散方程
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(5)研究表明，CELS算法的鲁棒性要优于SIMPLE或 SIMPLEC或SIMPLER算法。可以在较宽的松弛范围 内获得收敛解，特别是在几乎不松弛的条件下也能取 得收敛解。
氢气的氧化反应机理
No. reaction H2-O2 Chain reaction B[cm,mol,s]
氢气的氧化反应机理
No. reaction B[cm,mol,s]
Ea(kcal/mol)
Formation and consumption of H2O2
氢气的氧化反应机理
HO2 H2
+O2
H +O2 H2O+H
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把描写不可压流动的动量方程和连续方程离散之后，如 果把包括速度和压力的代数方程完全联立起来直接求解 ，这时就不必采用诸如SIMPLE这样的算法。但直接联 立求截需要有巨大的计算机内存。 人们为了利用其不需要速度和压力解耦和修正的优点， 提出了如下的求解思路： 如果不在整个求解区域上，而是在某个局部区域上把 u, v, p(以二维问题为例)联立起来直接求解，然后用跌代的 办法从一个局部区域推进到另一个局部区域，直到扫描 完整个区域算完成一个层次的计算。
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求解关键：
可见实施CELS的关键在于：(1)如何得出第一条网格 线上仅包含u(或v)的方程？(2)该方程具有什么特点， 采用什么 方法求解。下边逐个说明这两个问题。 为方便给出离散方程，作如下约定：u, v, p各自所在 位置的量一律用P表示，而其各自的邻点用N, E, W, S表示。于是对于主节点编号为(i,j)的控制容积，可 以有以下三个离散方程。
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显然，这种求解方法所要求的计算机内存比上述完全联 立直接求解要小得多，同时由不需要提出进行压力和速 度依次求解的解耦和修正算法，因此，可望得到比压力 修正算法更快的收敛速度。 这种求解流场的方法称之为局部耦合法。 在此，我们给大家介绍由加拿大学者提出的“耦合方程 的直线解法” 耦合方程的直线解法 Coupled Equation Line Solver ------CELS
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说明
(1)每一条线上每个节点得到的只包含u速度的方程所 组成的代数方程的系数组成了一个五对角阵。即把一 条线上原本的三点格式变成了现在的五点格式，使其 方程和直接求解过程都烦琐了很多，这就是同一条网 格线上u, v, p联立求解所付出的代价。
(2)对于左右两侧的第一个内节点，其左端或右端只有 一个邻点，而且是已知的，应放入源项。关于这两点 的方程需要单独处理。
ap EE
c (a v E )i 1 aE c (a N )i 1
c a v W aP ac N
c c (a ) a v v W i 1 E ap a a E E P c c (a N )i 1 aN
(a ) a a (a )
p W v W
c E i 1 c N i 1
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(3)对速度u其相邻点压力均出现在所求解的方程，而 且联立求解，而v速度方程中，只有Pi,j, 而Pi,j+1则取为 上次迭代值而进入方程的源项，这在一定程度上削弱 了压力和v速度之间的耦合关系，从而会减慢收敛速度。 为此，人们提出了在完成j方向扫描之后，对压力进行 一次块修正。 (4)以上都是先求解u ，去j方向为联立直接求解的子区 域，为加快迭代速度，这种求解可以在交替方向进行。
u P
1 v a (1 ) anP E
v P
同时，
1 0 B au u nP i,j E
u
1 v 0 B anP v i,j E
v
0表示上一层次 计算中，该变量 的值
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为了导出j这条线上的u方程，把上述三个方程中位于(j-1) 和(j+1)两条线上的量并入源项，为书写简洁，略去下角标 j，则有：
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在此，重点在于介绍这种求解方法的原理，因此，以直 角坐标中第一类边界条件的二维流场为例来开展讨论。
首先将动量方程和连续方程在下边的网格上进行离散
J+1 J J-1 i-1,j
i,j i,j i,j i-1,j
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A
u EE
p (a u EE )i 1 c (a P P )i 1 p a cu WW aP P
P p a (a u u u EE E )i 1 AE aE c P P aP (a P )i 1
Au WW

a (a ) A a c (a ) a
网格的说明：离开主节点的速度节点与该主节点具有 相同的编号。即主节点控制容积北、东界面上的速度 节点与此主节点具有同样的编号。
J+1 J J-1 i-1,j
i,j i,j i,j i-1,j
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求解思路：
在具有同样j编号的直线上联立直接求解，即直接联立 求解的局部区域取为平行于x坐标轴的网格线。 求解方法： 对于具有同样j编号，如j=J的u, v方程及连续方程，设 法通过数次变量的替代，使得u方程(或v方程)仅包含u 变量(或v变量)，然后求解这一条线上的u方程组，得到 该直线上的所有ui,J。在通过代入，获得vi,J Pi,J，从而完 成J这条线的求解。然后向J+1推进，直到扫描完整个计 算区域。
ap WW
c (a p W )i 1 aW c (a N )i 1
c c c (b ) (b ) b v v v v i 1 i 1 bp a E a a b W P c c c (a N )i 1 (a N )i 1 aN
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