2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)不等式的解法(一)

6.4 不等式的解法(一)
巩固·夯实基础
一、自主梳理
1.关于x 的一元一次不等式ax>b 的解集是a>0时,x>a b ;a<0时,x<a
b .关于x 的不等式ax>b 的解集是R,则实数a 、b 满足的条件是a=0,b<0.
2.一元二次不等式ax 2+bx+c<0(a ≠0)的解集的确定受a 的符号,b 2-4ac 的符号的影响,结合图象,数形结合!
3.分式不等式的解法
(1)如能判断分母的符号,可直接去分母,转化为整式不等式;
(2))()(x g x f ≥0⇒⎩
⎨⎧≠≥•;0)(,0)()(x g x g x f (3)用穿根法.
4.简单的高次不等式解法——穿根法.
穿根法操作过程
(1)把不等式变形为一边是一次因式的积,另一边是0的形式;
(2)各因式中x 的系数全部变为1,约去偶次因式;
(3)把各个根从小到大依次排好,从右上方向左下方穿根;
(4)严格检查因式的根(特别是约去的偶次因式的根)是否在解集内.
二、点击双基
1.(理)关于x 的不等式ax 2+bx-2>0的解集是(-∞,-21)∪(3
1,+∞),则ab 等于…( ) A.-24 B.24 C.14 D.-14
解析：-21,3
1是方程ax 2+bx-2=0的两根. 答案：B
(文)不等式(x 2-2)log 2x>0的解集是( )
A.(0,1)∪(2,+∞)
B.(-2,1)∪(2,+∞)
C.(2,+∞)
D.(-2,2)
解析:原不等式等价于⎩⎨⎧>>-0log ,022
2x x 或⎩⎨⎧<<-,0log ,0222x x 答案：A
2.(经典回放)若不等式|ax+2|＜6的解集为(-1,2)，则实数a 等于( )
A.8
B.2
C.-4
D.-8
解析:由|ax+2|＜6得-6＜ax+2＜6,
即-8＜ax ＜4.∵不等式|ax+2|＜6的解集为(-1,2),易检验a=-4.
答案:C
3.(经典回放)已知函数f(x)是R 上的增函数，A （0，-1）、B （3，1）是其图象上的两点，那么|f(x+1)|＜1的解集是( )
A.（1，4）
B.（-1，2）
C.（-∞,1]∪［4,+∞)
D.(-∞,-1］∪［2,+∞)
解析:由题意知f(0)=-1,f(3)=1.
又|f(x+1)|＜1⇔-1＜f(x+1)＜1，
即f(0)＜f(x+1)＜f(3),
又f(x)为R 上的增函数，
∴0＜x+1＜3.∴-1＜x ＜2.
答案:B
4.
不等式1
)3)(2)(1(+---x x x x ≤0的解集是__________________________________. 解析：穿根法.
答案：(-1,1)∪［2,3］
5.(2006湖北八校联考) (理)已知x 1·x 2·x 3·…·x 2 006=1,且x 1,x 2,…,x 2 006都是正数,则(1+x 1)(1+x 2)…(1+x 2 006)的最小值是_________________________________.
解析:由题意得(1+x 1)(1+x 2)...(1+x 2 006)≥21x .22x .. (22006x)
=22 006·200621x x x ⋅⋅⋅
=22 006.
答案:22 006
(文)已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-0
86,03422x x x x 的解集是不等式2x 2-9x+a<0的解集的子集,则实数a 的取值范围是____________________________________.
解析:解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-0
86,03422x x x x 得2<x<3. 令f(x)=2x 2-9x+a,只需满足
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤+-<⇒⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≤≤>-=∆<<9108810271808188810)3(0)2(0881442a a a a a a f f a a ⇒a ≤9. 答案:a ≤9
诱思·实例点拨
【例1】 如果关于x 的不等式ax 2+bx+c<0的解集是{x|x<m 或x>n}(m<n<0),求关于x 的不等式cx 2+bx+a>0的解集.
解:由已知m 、n 是ax 2+bx+c=0的两根,且m<n<0,则cx 2+bx+a=0中易知a<0,c<0,则方程可变为c(x 1)2+b(x
1)+a=0,
∴cx 2+bx+a=0的两根为m 1、n 1,且m 1>n
1. ∴所求解集为{x|n 1<x<m 1}. 链接·拓展
在本题的条件下,求不等式ax 2-bx+c<0的解集.
解:令f(x)=ax 2+bx+c,
则f(-x)=ax 2-bx+c.
由已知f(x)的图象为
又∵f(-x)与f(x)图象关于y 轴对称, ∴f(-x)<0的解集为{x|x<-n 或x>-m}.
【例2】 解关于x 的不等式
1
-x x <1-a. 解:原不等式等价于1
)1(---x a ax <0⇔［ax-(a-1)］(x-1)<0.(*) (1)当a>0时,(*)等价于(x-1)(x-a a 1-)<0, ∵a a 1-=1-a
1<1, ∴不等式的解集是a a 1-<x<1. (2)当a=0时,(*)等价于x-1<0,不等式的解是x<1.
(3)当a<0时,(*)等价于(x-1)(x-
a a 1-)>0, ∵a a 1-=1-a
1>1, ∴不等式的解是x<1或x>a
a 1-. 综上知,当a<0时,不等式的解集为(-∞,1)∪(
a a 1-,+∞); 当a=0时,不等式的解集为(-∞,1);
当a>0时,不等式的解集为(a
a 1-,1). 【例3】 若不等式2x-1>m(x 2-1)对满足|m|≤2的所有m 都成立,求x 的取值范围.
剖析:对于m ∈［-2,2］,不等式2x-1>m(x 2-1)恒成立,把m 视为主元,利用函数的观点来解决. 解:原不等式化为(x 2-1)m-(2x-1)<0.
令f(m)=(x 2-1)m-(2x-1)(-2≤m ≤2),
则⎪⎩⎪⎨⎧<---=<----=-.
0)12()1(2)2(,0)12()1(2)2(22x x f x x f 解得271+-<x<2
31+. 链接·聚焦
1.本题若变式:不等式2x-1>m(x 2-1)对一切-2≤x ≤2都成立,求m 的取值范围.
2.本题若把m 分离出来再求m 的范围能行吗?。