江西省高安中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学(理)试题含答案

江西省高安中学2017-2018学年下学期期末考试
高一年级数学（理科）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合},06
2|
{Z x x x
x A ∈≥--=,则集合A 中元素个数为（ ） 3.A 4.B
5.C
6.D
2.设)1,1(-∈a ，)4,2(∈b ，那么b a -2的取值范围是（ ）
)2,4.(-A )0,6.(-B )6,0.(C )4,2.(-D
3.设角α的终边过点)1,3(-P 则ααcos sin -的值是（ ）
213.
+A 2
1
3.+-B 13.+C 13.--D
4.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1211953=+++a a a a ，则13S 等于（ ）
39.A 54.B 56.C
42.D
5.在ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ab c b a -=+222，则角C 为（ ） 6
.
π
A 3
.
π
B
6
5.
π
C
32.
πD
6.已知等比数列}{n a 满足4
1
1=
a ，)1(4453-=a a a ，则=2a （ ） 2.A 1.B 21.
C 8
1.D 7.已知向量a 与b 满足),1(n a =，),1(n b -=，且b b a ⊥-)2(，则=||a （ ）
2.A 1.B 2.C 4.D
8.如图，在ABC ∆中，DB AD =，CE AE =，CD 与BE 交于点F , 设a AB =，b AC =，b y a x AF +=，则),(y x 为（ ）
)31,31.(A )21
,21.(B )32,31.(C )3
1,32.(D
9.已知函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示,若将其纵坐标不变，横坐标变为原的两倍，得到的新函数)(x g 的解析式为( )
)32sin(2.π
+=x y A )2sin(2.π+=x y B
)321sin(2.π+=x y C )2
21sin(2.π
+=x y D
10.已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，满足6213S a a =+，给出下列结论(1)07=a ；（2）013=S ；(3)7S 最小；(4)85S S =. 其中正确结论的个数是（ ）
1.A
2.B
3.C
4.D
11.在关于x 的不等式0)1(2
<++-a x a x 的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是
( )
A .)4,3(
B .)4,3()1,2( --
C .]4,3(
D .]4,3()1,2[ --
12.在ABC ∆中，C B A sin 22tan
=+，若1=AB ，则BC AC +2
1
的最大值为( ) 321.
A 2
3
.B 317.C 215.D 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.已知53)2
sin(
=
+απ
，)0,2
(π
α-∈，则=+)3sin(απ_________． 14.已知数列}{n a 满足32
21+=+n n a a ，且11=a ，0>n a ，则=n a __________.
15.给出下列命题：
（1）存在实数x ，使2
3
cos sin =
+x x ； （2）若α、β都是第一象限角，且βα>，则βαcos cos <； （3）函数)2
3
2sin(π+
=x y 是偶函数； （4）函数x y 2sin =的图像向左平移
4π个单位，得到函数)4
2sin(π
+=x y 的图像； （5）若1cos cos =βα，则0sin sin =βα.
其中所有正确命题的序号是__________.
16.已知O 是坐标原点，动点M 在圆C ：4)4(2
2
=+-y x 上，对该坐标平面的点N 和P ，
3
π
-
23
π6
π
2
2
-
若02=+=+MP MC OM ON ，则||NP 的取值范围是____________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17（10分）已知1||=a ，a 与b 的夹角为 120，若8)4(=+⋅. (1) 求||； （2）求|2|+.
18（12分）已知函数x x x x x f 2
2
sin cos sin 2cos )(-+=；
(1)求)(x f 在]2
,0[π
上的最大值及最小值；
(2)若253)(=αf ，)2
,8(π
πα∈，求α2sin 的值.
19（12分）已知}{n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且1a ， 2a ，5a 成等比数列． (1)求数列}{n a 的通项； (2)若132
1-=+n a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n S .
20（12分）已知ABC ∆的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量),(b a p =，
)cos ,(cos A B =,)2,2(--=a b .
(1)若b q p 2=⋅，求
c
b
的值；
(2)若n p ⊥，边长2=c ，3
π
=∠C ，求ABC ∆的面积．
21（12分）如图，ABC ∆中，3
π
=
∠B ，8=AB ，点D 在BC 边上，且2=CD ，
7
1cos =
∠ADC . (1) 求BAD ∠sin ； (2) 求BD 、AC 的长
22（12分）已知数列}
{n a 、
}{n b 的前n 项和分别为n
S 、
n T ，11=a ，且
))(1()1(221++∈+=+-N n n n S n nS n n ，各项均为正数的数列}{n b 满足
)(622
+∈-+=N n b b T n n n ，.
(1)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； (2)令n
n
n n n a b b a c +=
，数列}{n c 的前n 项和为n Q ，若对任意正整数n ，都有],[2b a n Q n ∈-，求a b -的最小值．
A
B
C
D
江西省高安中学2017-2018学年下学期期末考试 高一年级数学（理科）试卷答案
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.
13.
5
4
14.23-n 15.(3)(5) 16.]11,1[ 三、解答题(本大题共6小题,共70分).
18.解：（1）由8||120cos ||||44)4(22
=+=+⋅=+⋅
4||=⇒；
（2）57|2|==
+
19.解：（1）)4
2sin(22sin 2cos )(π
+=+=x x x x f
当8π
=
x 时，最大值为2；当2π
=x 时，最小值为1-.
（2）由已知253)42sin(2)(=+=πααf ，且)2,8(π
πα∈ 5
4
)42cos(-=+⇒πα
10
2
7)54(225322)442sin(2sin =-⋅-⋅=-+
=⇒ππ
αα. 20.解：
（1）由题设知公差d ，d ≠0，由11=a ，且1a ， 2a ，5a 成等比数列，则)41(1)1(2d d +⋅=+，
解得：d=2或d=0（舍去），，故{a n }的通项12-=n a n ；
(2)
1
3-=n n b
n
S n n n --=-++-+-=∴+2
3313.....1313121，
20.证明 ∵
b
A b
B a q p 2cos cos =+=⋅ ，b B A B A sin 2sin cos cos sin =+∴
B C sin 2sin =∴,故
2
1s i n s i n ==C B c b (2)解 由p ⊥n 得p ·n ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0， ∴a ＋b ＝ab .
又c ＝2，∠C ＝π3，∴4＝a 2＋b 2－2ab cos π
3，即有
4＝(a ＋b )2－3ab .
∴(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4(ab ＝－1舍去)． 因此S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×3
2
＝ 3.
21.解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝43
7.
所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )
＝sin ∠ADC cos ∠B －cos ∠ADC sin ∠B ＝437×12－17×32＝33
14.
(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD
sin ∠ADB ＝8×
33
1443
7＝3.
在△ABC 中，由余弦定理得
AC 2＝AB 2＋BC 2－2A B ·BC ·cos ∠B ＝82＋52－2×8×5×1
2
＝49.
所以AC ＝7.
22.（1）由2nS n ＋1－2（n ＋1）S n ＝n （n ＋1），得S n ＋1n ＋1－S n n ＝12，所以数列⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫S n n 是首项为1，公
差为1
2
的等差数列，
因此S n n ＝S 1＋（n －1）×12＝12n ＋12，即S n ＝n （n ＋1）2
.
于是a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝（n ＋1）（n ＋2）2－n （n ＋1）
2＝n ＋1，
所以a n ＝n.
因为)(622+∈-+=N n b b T n n n ,
)(6221-2
1-1-+∈-+=≥N n b b T n n n n 时，当 0
)1)((11=--+--n n n n b b b b ，
}
{n b 是
各项均为正数的数列
所以数列{b n }为等差数列且公差＝1，
3)(62111211=⇒∈-+==+b N n b b b n 时，当
则b n ＝b 1＋（n －1）×1＝n ＋2.
（2）由（1）知c n ＝b n a n ＋a n b n ＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2（1n －1n ＋2
），
所以Q n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2n ＋2（1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1
n ＋2）＝2n
＋2（1＋12－1n ＋1－1n ＋2）＝3－2（1n ＋1＋1
n ＋2
）＋2n ，
则Q n －2n ＝3－2（1n ＋1＋1n ＋2）.
设A n ＝Q n －2n ＝3－2（1n ＋1＋1
n ＋2）.
因为A n ＋1－A n ＝3－2（1n ＋2＋1n ＋3）－[3－2（1n ＋1＋1n ＋2）]＝2（1n ＋1－1
n ＋3
）＝4
（n ＋1）（n ＋3）
>0，
所以数列{A n }为递增数列，则（A n ）min ＝A 1＝4
3.
又因为A n ＝3－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<3，所以43≤A n <3. 因为对任意正整数n ，Q n －2n ∈[a ，b]，所以a ≤43，b ≥3，则（b －a ）min ＝3－43＝5
3.。