双曲线的综合问题-高中数学复习

9
2
是双曲线 － y 2＝1上的任意一点，则｜ AP ｜＝
9
（ −
10
（
9
min＝
2

5）2 ＋
9
−
− 1＝
10 2
9
− 10 + 24 ＝
（ − 5）2 ＋ 2 ＝
10
（ 2
9
− 9） + 24 ＝
9
3
9
2
） ＋ ，所以当 x ＝ 时，｜ AP ｜取得最小值，｜ AP ｜
2
2
2
3
=
3
100
300
x ，由൞
3
3
＝ ，
3
1，
可得
.
目录
PART
2
微专题 12
“三案”破解圆锥曲线中的离心率问题
目录
高中总复习·数学
离心率是圆锥曲线的一个重要元素，它的变化直接导致曲线形状
甚至是类型的变化，求圆锥曲线的离心率或范围问题是近几年高考的
热点，这类问题所涉及的知识点较多、综合性强，解法灵活，内涵丰
1
2
2
2
2
2
2
2
2
所以 b ＜ c ，即 b ＜ c ， a － c ＜ c ， a ＜2 c ，所以 e ＞ ，
2
即e＞
（
2
，又因为0＜ e ＜1，所以椭圆离心率的取值范围为
2
2
，1）.故选A.
2
目录
高中总复习·数学
）
目录
高中总复习·数学
解析：如图，以接报中心为原点 O ，正东、正北
方向分别为 x 轴， y 轴的正方向，建立平面直角坐标
系.设 A ， B ， C 分别是正西、正东、正北观测点，则
A （－1 020，0）， B （1 020，0）， C （0，
1 020）.设 P （ x ， y ）为巨响发生点.由已知｜ PA ｜＝｜ PC ｜，故 P
＝±2时，方程有唯一实根，符合题意；当4－ k 2≠0，即 k ≠±2
时，若方程有唯一实根，则Δ＝4 k 2（ k －1）2＋4（4－ k 2）·
（k
2－2 k ＋5）＝0，解得 k ＝ 5 .故满足与 C 有且只有一个公共点的
2
直线 l 共有4条.
目录
高中总复习·数学
2
（2）过点 P （4，2）作一条直线，与双曲线 C ： － y 2＝1相交于
由双曲线的定义可得｜ PM ｜＝｜ PC ｜＋2 a ＝｜PC ｜＋6，｜
｜｜2
(| ｜+6）2
PQ ｜≤｜ PC ｜＋1，所以
≥
＝（｜ PC ｜＋1）
｜｜
｜｜+1
＋
25
｜｜+1
＋10≥2 (|｜ + 1）·
25
｜｜+1
＋10＝20，当且
｜｜2
仅当｜ PC ｜＝4时，等号成立，故
距离发现一点 P 满足｜ PA ｜－｜ PB ｜＝20千米，可知 P 在以点 A ， B
为焦点的双曲线上.以 O 点为坐标原点，正东方向为 x 轴正半轴方向，
正北方向为 y 轴正半轴方向，建立平面直角坐标系，点 P 在基地 O 点
北偏东60°处，则 P 点的坐标为
15 2
5 6
，
2
2
.
⁠
目录
高中总复习·数学
富，具有极好的素养评价功能.
目录
高中总复习·数学
一、以代数方案破解离心率问题
【例1】
2
2
（1）已知椭圆 2 ＋ 2 ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点为 F


1， F 2，以｜ F 1 F 2｜为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的
取值范围为（
）
目录
高中总复习·数学
解析：因为以｜ F 1 F 2｜为直径的圆与椭圆有四个交点，
2
A ， B 两点，若 P 为线段 AB 的中点，则｜ AB ｜＝（
）
目录
高中总复习·数学
解析： （2）法一 由题意可知，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB
的斜率为 k ，则直线 AB 的方程为 y ＝ k （ x －4）＋2.由
＝（ − 4） + 2，
2） x 2＋8 k （2 k
消去
y
（ 3 － x 0，－ y 0）
3
3
2
2
2
＝ 0 ＋ 0 －3＜0，即3 0 －1＜0，解得－ ＜ y 0＜ .
3
3
目录
高中总复习·数学
2
2
（2）（2024·嘉兴模拟）已知点 M （－5，0），点 P 在曲线 － ＝
9
16
1（ x ＞0）上运动，点 Q 在曲线（ x －5）2＋ y 2＝1上运动，则
双曲线的综合问题
目录
C O N T E N T S
1
2
3
考点 分类突破
微专题 12
课时 跟踪检测
课堂演练
考点 分类突破
精选考点 典例研析 技法重悟通
PART
1
目录
高中总复习·数学
直线与双曲线的位置关系
【例1】
2

（1）（2024·长春质检）已知双曲线 C ： x 2－ ＝1，过点
4
P （1，1）作直线 l ，使 l 与 C 有且只有一个公共点，则满足上述条件


5，
0），一条渐近线方程为2 x － y ＝0.
（1）求双曲线 C 的标准方程；
解：由焦点可知 c ＝ 5 ，

又一条渐近线方程为2 x － y ＝0，所以 ＝2，

由 c 2＝ a 2＋ b 2可得5＝ a 2＋4 a 2，解得 a 2＝1， b 2＝4，
2

故双曲线 C 的标准方程为 x 2－ ＝1.
线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点；⑤若 a ＝0且 b ＝0，
直线为双曲线的渐近线，与双曲线相离，没有公共点；
（2）对于双曲线中的弦长和中点弦等问题，可以类比椭圆的处理思
路，借助方程思想，将问题进行化归转化.
目录
高中总复习·数学
2
2
已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1（ a ＞0， b ＞0）的一个焦点为（
6
＝ .
2
2
目录
高中总复习·数学
双曲线模型的实际应用
【例3】 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：
正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间
比其他两观测点晚4 s.已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m.则该
巨响发生在接报中心的（声音的传播速度为340 m/s）（
6
2
.
⁠
解析：因为双曲线 C 的离心率为
10

10
，所以 ＝
，①.因为双曲线上
3

3
同侧顶点到焦点的距离即双曲线上的点到焦点的最小距离，所以 c －
a ＝ 10 －3，②.由①②可得 c ＝ 10 ， a ＝3，所以 b 2＝ c 2－ a 2＝1，
目录
高中总复习·数学
2
所以双曲线 C 的方程为 － y 2＝1.设 P （ x ， y ）（ x ≤－3或 x ≥3）
的最小值是20.
｜｜
目录
高中总复习·数学
解题技法
与双曲线有关最值（范围）问题的解题方法
（1）几何法：若题目中的待求量有明显的几何特征，则考虑利用双
曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端
位置后数形结合求解；
（2）代数法：①构建函数法：若题目中的条件和结论能体现一种明
确的函数关系，则可先引入变量构建以待求量为因变量的函
在接报中心的北偏西45°方向，距中心680 10 m处.
目录
高中总复习·数学
解题技法
利用双曲线解决实际问题的基本步骤
（1）建立适当的坐标系；
（2）求出双曲线的标准方程；
（3）根据双曲线方程及定义解决实来自应用问题（注意实际意义）.目录
高中总复习·数学
某团队在基地 O 点西侧、东侧20千米处分别设有 A ， B 两站点，测量
1 −2
＝ − 2，
由ቐ 2
2
− 2 = 1，
消去 y ，整理得 x 2－8 x ＋10＝0，所以 x 1＋ x 2＝8， x
2 · （ ＋ ）2 − 4 ＝4 3 .
x
＝10，所以｜
AB
｜＝
1
+

1
2
1 2
1 2
目录
高中总复习·数学
解题技法
直线与双曲线位置关系问题的解题策略
的直线 l 共有（
）
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条
目录
高中总复习·数学
解析：当直线 l 斜率不存在时，直线方程为 x ＝1，显然与
双曲线只有一个公共点（1，0）；当直线 l 斜率存在时，设直线
l 方程为 y －1＝ k （ x －1），与双曲线方程联立，消 y 得（4－ k
2） x 2＋2 k （ k －1） x －（ k 2－2 k ＋5）＝0，当4－ k 2＝0，即 k
2
2
解析：设双曲线的标准方程为 2 － 2 ＝1（ a ＞0， b ＞0），则 a ＝


2
2


10， c ＝20，∴ b 2＝ c 2－ a 2＝300，∴双曲线的标准方程为
－
100
300
＝1.由题意可得直线 OP ： y ＝
15 2
＝
，
15 2
5 6
2
∴P
，
൞
2
2
5 6
＝
，
2
2
2
−
4
目录
高中总复习·数学
3π
（2）已知倾斜角为 的直线 l 与双曲线 C 交于 A ， B 两点，且线段 AB
4
中点的纵坐标为4，求直线 l 的方程.
解：设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），线段 AB 中点的坐
标为（ x 0，4），
2
1
2
则 1 －
4
①
＝1，
2

22 － 2 ＝1，
2
（1）已知 M （ x 0， y 0）是双曲线 C ： － y 2＝1上的一
2
点， F 1， F 2是 C 的两个焦点，若 1 ·2 ＜0，则 y 0的取值范围
−
3
3
，
3
3
是
；
02
解析：因为 F 1（－ 3 ，0）， F 2（ 3 ，0）， － 02 ＝
⁠
2
1，所以 1 ·2 ＝（－ 3 － x 0，－ y 0）·
在 AC 的垂直平分线 PO 上， PO 的方程为 y ＝－ x ，又 B 点比 A 点晚4 s
听到爆炸声，故｜ PB ｜－｜ PA ｜＝340×4＝1 360，可知 P 点在以 A ，
2
2
B 为焦点的双曲线 2 － 2 ＝1（ a ＞0， b ＞0）上，依题意得 a ＝680，


目录
高中总复习·数学
c ＝1 020，∴ b 2＝ c 2－ a 2＝1 0202－6802＝5×3402，
2
2
故双曲线方程为 2 －
＝1，将 y ＝－ x 代入上式，得 x ＝
680
5×3402
±680 5 ，∵｜ PB ｜＞｜ PA ｜，∴ x ＝－680 5 ， y ＝680 5 ，
即 P （－680 5 ，680 5 ）， 故｜ PO ｜＝680 10 .故巨响发生
4
②
2
2


②－①得 22 － 12 ＝ 2 － 1 ，
4
4
目录
高中总复习·数学
40
3π
即 k ＝ ＝ x 0，又 k ＝tan ＝－1，
4
4
所以 x 0＝－1，
所以直线 l 的方程为 y －4＝－（ x ＋1），
即 x ＋ y －3＝0.
目录
高中总复习·数学
双曲线中的最值（范围）问题
【例2】
＝10，所以｜ AB ｜
2
1−2
＝ 1 + 2 · （1 ＋2 ）2 − 41 2 ＝4 3 .故选D.
目录
高中总复习·数学
2
12

2
法二 设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），则 － 12 ＝1①， － 22 ＝
2
2
1
1②，由①－②得 （ x 1－ x 2）（ x 1＋ x 2）－（ y 1－ y 2）（ y 1＋ y 2）
2
＝0.因为 P （4，2）为线段 AB 的中点，所以 x 1＋ x 2＝8， y 1＋ y 2＝4，
所以4（ x 1－ x 2）－4（ y 1－ y 2）＝0，即 x 1－ x 2＝ y 1－ y 2，易知 x 1≠
1 −2
x 2，所以直线 AB 的斜率 k ＝
＝1，则直线 AB 的方程为 y ＝ x －2.
｜｜2
的最小值是
｜｜
20 .
⁠
2
2
解析：如图，在双曲线 － ＝1中， a ＝3， b ＝4， c ＝
9
16
2 ＋2 ＝5，圆（ x －5）2＋ y 2＝1的圆心
2
为 C （5，0），半径 r ＝1.所以双曲线 －
9
2
＝1的左、右焦点分别为 M ， C .
16
目录
高中总复习·数学
数，再求这个函数的最值；②构建不等式法：利用已知或隐含
的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.
目录
高中总复习·数学
2
2
10
已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1（ a ＞0， b ＞0）的离心率为
，双曲线


3
上的点到焦点的最小距离为 10 －3，则双曲线上的点到点 A （5，
0）的最小距离为
（1）直线与双曲线位置关系的判断方法：将直线方程与双曲线方程联立
消去一个未知数，得到一个一元二次方程，以 ax 2＋ bx ＋ c ＝0为
例：①若 a ≠0且Δ＞0，直线与双曲线相交，有两个公共点；②若 a
≠0且Δ＝0，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；③若 a ≠0
且Δ＜0，直线与双曲线相离，没有公共点；④若 a ＝0且 b ≠0，直
，整理得（1－2
k
ቐ 2
− 2 = 1，
2
－1） x －32 k 2＋32 k －10＝0.设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），
8（2−1）
因为 P （4，2）为线段 AB 的中点，所以 x 1＋ x 2＝－
2
1−2
−32 2 +32−10
＝8，解得 k ＝1，所以 x 1 x 2＝