黑龙江省大庆市铁人中学2016届高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

2015-2016学年黑龙江省大庆市铁人中学高三（上）期末数学试卷
（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x2＞1}，则A∩B=（）
A．{x|0≤x≤1} B．{x|x＞0或x＜﹣1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|0＜x≤2}
2．若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）
A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．6
3．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为（）
A．B．C．D．
4．已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）
A．21 B．42 C．63 D．84
5．设函数f（x）=，则满足f（x）≤3的x的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[﹣1，3]C．[0，3]D．[1，+∞）
6．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）
A．B．C．6 D．7
7．过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）
A．2B．8 C．4D．10
8．当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）
A．7 B．42 C．210 D．840
9．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为（）
A．16πB． C．πD．32π
10．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8
11．已知集合，N={（x，y）|y=kx+b}，若∃k∈R，使得M∩N=∅成立，则实数b的取值范围是（）
A．[﹣3，3]B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
12．设f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），e为自然对数的底数．若f′（x）lnx＞．则（）
A．f（2）＜f（e）ln2，2f（e）＞f（e2）B．f（2）＜f（e）ln2，2f（e）＜f（e2）
C．f（2）＞f（e）ln2，2f（e）＜f（e2）D．f（2）＞f（e）ln2，2f（e）＞f（e2）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量=（2，﹣3），=（x，6），且∥，则|+|的值为．
14．若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为．
15．已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则其离心率为．
16．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和
为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．
18．如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；
（2）求BD，AC的长．
19．已知数列{a n}是首项为a1=，公比q=的等比数列，设b n+2=3log a n（n∈N*），数列{c n}满足c n=a n•b n
（1）求证：{b n}是等差数列；
（2）求数列{c n}的前n项和S n．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
（Ⅰ）证明：BE⊥DC；
（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．
21．已知椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），且经过点
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，问在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
22．已知函数．
（1）若函数f（x）在区间上存在极值点，求实数a的取值范围；
（2）知果当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（3）求证：，这里n∈N*，（n+1）!=1×2×3×…×（n+1），e为自然对数的底数．
2015-2016学年黑龙江省大庆市铁人中学高三（上）期末
数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．若集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x2＞1}，则A∩B=（）
A．{x|0≤x≤1} B．{x|x＞0或x＜﹣1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|0＜x≤2}
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】求出集合B中不等式的解集，找出A与B的公共部分即可确定出交集．
【解答】解：∵x2＞1
解得：x＞1或x＜﹣1，
∴B={x|x＞1或x＜﹣1}，
∵A={x|0≤x≤2}，
∴A∩B={x|1＜x≤2}．
故选：C
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练交集的定义是解本题的关键．
2．若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）
A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．6
【考点】复数的基本概念．
【专题】计算题．
【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成最简形式，根据复数是一个纯虚数，得到复数的实部等于0，而虚部不为0，得到结果．
【解答】解：若复数为虚数单位）
==，
∵复数是一个纯虚数，
∴a﹣6=0，
∴a=6经验证成立，
故选D．
【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数的除法运算，考查复数是一个纯虚数，要求实部为零，而虚部不为0，本题是一个基础题．
3．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．
【解答】解：所有的选法共有3×3=9种，
而他们选择相同颜色运动服的选法共有3×1=3种，
故他们选择相同颜色运动服的概率为P==，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．
4．已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）
A．21 B．42 C．63 D．84
【考点】等比数列的通项公式．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．
【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，
∴，
∴q4+q2+1=7，
∴q4+q2﹣6=0，
∴q2=2，
∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．
故选：B
【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．
5．设函数f（x）=，则满足f（x）≤3的x的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[﹣1，3]C．[0，3]D．[1，+∞）
【考点】分段函数的应用．
【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】由分段函数可得或，分别应用指数函数、对数函数的单调性，即可解出不等式，注意最后求并集．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴或，
∴或
∴0≤x≤1或x＞1，
则x的取值范围是[0，+∞）．
故选A．
【点评】本题考查分段函数及应用，考查指数不等式、对数不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．
6．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）
A ．
B ．
C ．6
D ．7
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图， 正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，
故几何体的体积为：V 正方体﹣2V 棱锥侧=．
故选：A ．
【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状．
7．过三点A （1，3），B （4，2），C （1，﹣7）的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN|=（ ）
A ．2
B ．8
C ．4
D ．10
【考点】两点间的距离公式．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D ，E ，F ，令x=0，即可得出结论．
【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，
∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，
∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，
令x=0，可得y2+4y﹣20=0，
∴y=﹣2±2，
∴|MN|=4．
故选：C．
【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．
8．当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）
A．7 B．42 C．210 D．840
【考点】循环结构．
【专题】计算题；算法和程序框图．
【分析】算法的功能是求S=7×6×…×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，
当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5，
∴跳出循环的k值为4，
∴输出S=7×6×5=210．
故选：C．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．
9．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为（）
A．16πB． C．πD．32π
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】根据棱柱的体积公式求得棱柱的侧棱长，再利用三棱柱的底面是直角三角形可得外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，从而求得外接球的半径R，代入球的表面积公式计算．
【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，设侧棱长为a，
又三棱柱的底面为直角三角形，BC=1，∠BAC=30°，
∴AC=，AB=2，
∴三棱柱的体积V=××a=3，
∴H=2，
△ABC的外接圆半径为AB=1，
三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，如图：
∴外接球的半径R=2，
∴外接球的表面积S=4π×22=16π．
故选：A．
【点评】本题考查了求三棱柱的外接球的表面积，利用三棱柱的结构特征求得外接球的半径是关键．
10．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】奇偶函数图象的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．
【解答】解：函数，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图
当1＜x≤4时，y1＜0
而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，
在和上是减函数；
在和上是增函数．
∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H
相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D
且：x A+x H=x B+x G═x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8
故选D
【点评】发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．
11．已知集合，N={（x，y）|y=kx+b}，若∃k∈R，使得M∩N=∅成立，则实数b的取值范围是（）
A．[﹣3，3]B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；转化法；集合．
【分析】集合M椭圆+=1上的点组成的集合，集合N={（x，y）|y=kx+b}表示过（0，b）点斜率存在的直线上的点组成的集合，则满足条件的实数b应满足（0，b）点在椭圆外，结合椭圆的性质可得答案．
【解答】解：集合，表示椭圆+=1上的点组成的集合，
集合N={（x，y）|y=kx+b}表示过（0，b）点斜率存在的直线上的点组成的集合，
若∃k∈R，使得M∩N=∅成立，
则（0，b）点在椭圆+=1外，即＞1，
解得b＜﹣2或b＞2，
故b∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是交集及其运算，椭圆的性质，其中将已知转化为（0，b）点在椭圆外，是解答的关键．
12．设f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），e为自然对数的底数．若f′（x）lnx＞．则（）
A．f（2）＜f（e）ln2，2f（e）＞f（e2）B．f（2）＜f（e）ln2，2f（e）＜f（e2）
C．f（2）＞f（e）ln2，2f（e）＜f（e2）D．f（2）＞f（e）ln2，2f（e）＞f（e2）
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】先定义新函数F（x）=，对F（x）求导找出单调区间，再判断F（2），F（e），F（e2）的大小．
【解答】解：由题意得：x∈（0，+∞），
令函数F（x）=，
∴F′（x）=
又f′（x）lnx＞，
∴F′（x）＞0，
∴函数F（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴F（e）＞F（2），即：，∴f（2）＜f（e）ln2，
F（e）＜F（e2），即：，∴2f（2）＜f（e2）；
故答案为：B．
【点评】本题考察了通过求导的方式求函数的单调区间，在单调区间上判断函数值的大小，本题的关键是引进新函数F（x）．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量=（2，﹣3），=（x，6），且∥，则|+|的值为．
【考点】向量的模；平行向量与共线向量．
【专题】计算题．
【分析】利用向量的平行，求出x，然后求出两个向量的和，即可求解模．
【解答】解：向量=（2，﹣3），=（x，6），且∥，所以x=﹣4，
所以+=（﹣2，﹣3），|+|=，
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查向量的平行与向量的模的求法，考查计算能力．
14．若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为．
【考点】基本不等式．
【专题】不等式．
【分析】由z=y﹣x便得到y=x+z，该式可表示在y轴上的截距为z且平行于y=x的直线，这样根据已知条件即可画出原不等式表示的平面区域，从而确定出直线kx﹣y+2=0的方程，从而求出k．
【解答】解：z=y﹣x表示在y轴上截距为z且平行于y=x的直线；
z取最小值﹣4时，得到直线y=x﹣4；
画出直线x+y﹣2=0和y=x﹣4如下图：
由题意知，直线z=y﹣x经过原不等式所表示的平面区域的最右端（4，0）点；
从而可知原不等式表示的平面区域如上图阴影部分所示；
∴直线kx﹣y+2=0表示在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为2的直线；
∴y=0时，x==4；
∴．
故答案为：．
【点评】考查不等式表示一个平面区域，并根据不等式可找出它表示的平面区域，知道z=y ﹣x可以看成在y轴上截距为z且平行于直线y=x的直线系．
15．已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则其离心率为．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由双曲线的一条渐近线方程为y=2x，知b=2a，由此能求出该双曲线的离心率．
【解答】解：∵双曲线的一条渐近线方程为y=2x，
∴=2，即b=2a，
∴c=，
∴e===．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
16．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为
．
【考点】数列的求和．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】等差数列{a n}中，由a5=5，S5=15，解得a1=1，d=1，故==，
由此利用裂项求和法能够求了数列的前100项和．
【解答】解：等差数列{a n}中，
∵a5=5，S5=15，
∴，
解得a1=1，d=1，
∴a n=1+（n﹣1）=n，
∴==，
∴数列的前100项和S100=（1﹣）+（）+（）+…+（）
=1﹣=．
故答案为：．
【点评】本题考查数列的前100项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的求法，注意裂项求和法的合理运用．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据条件分别求出命题p，q的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可．【解答】解：若方程x2+mx+1=0有两不等的负根，
则，
解得m＞2
即命题p：m＞2，…
若方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，
则△=16（m﹣2）2﹣16=16（m2﹣4m+3）＜0
解得：1＜m＜3．即命题q：1＜m＜3．…
由题意知，命题p、q应一真一假，
即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真．…
∴或，
解得：m≥3或1＜m≤2．…
【点评】本题主要考查复合命题真假之间的关系以及应用，根据条件求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．
18．如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；
（2）求BD，AC的长．
【考点】余弦定理的应用．
【专题】解三角形．
【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，
∴sin∠ADC====，
则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．
（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，
在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，
即AC=7．
【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．
19．已知数列{a n}是首项为a1=，公比q=的等比数列，设b n+2=3log a n（n∈N*），数列{c n}满足c n=a n•b n
（1）求证：{b n}是等差数列；
（2）求数列{c n}的前n项和S n．
【考点】等差关系的确定；数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（1）由题意知，，
所以数列{b n}是首项b1=1，公差d=3的等差数列．
（2）由题设条件知，
，运用错位相减法可求出数列{c n}的前n项和S n．
【解答】解：（1）由题意知，
∵
∴
∴数列{b n}是首项b1=1，公差d=3的等差数列
（2）由（1）知，
∴
∴
，
于是
两式相减得
=
．
∴
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意错位相减法的应用，仔细解答．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
（Ⅰ）证明：BE⊥DC；
（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．
【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．
【分析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，
根据•=0，可得BE⊥DC；
（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．
【解答】证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E 为棱PC 的中点．
∴B （1，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），E （1，1，1）
∴
=（0，1，1），=（2，0，0）
∵•=0， ∴BE ⊥DC ；
（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），
设平面PBD 的法向量=（x ，y ，z ），
由，得，
令y=1，则=（2，1，1），
则直线BE 与平面PBD 所成角θ满足：
sin θ===，
故直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为
．
（Ⅲ）∵=（1，2，0），
=（﹣2，﹣2，2），=（2，2，0），
由F 点在棱PC 上，设
=λ=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），
故=+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），
由BF ⊥AC ，得•=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，
解得λ=，
即=（﹣，，），
设平面FBA 的法向量为=（a ，b ，c ），
由，得
令c=1，则=（0，﹣3，1），
取平面ABP 的法向量=（0，1，0），
则二面角F ﹣AB ﹣P 的平面角α满足：
cos α===，
故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：
【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．
21．已知椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），且经过点
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，问在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），且
经过点．可得，解得即可；
（II）假设存在符合条件的点M（x0，y0），设直线l的方程为x=my﹣1，与椭圆的方程联立得到根与系数关系，利用平行四边形的对角线相互垂直的性质可得点M的坐标，代入椭圆方程若有解即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），
且经过点．
∴，解得，
∴椭圆C的方程为．
（Ⅱ）假设存在符合条件的点M（x0，y0），
设直线l的方程为x=my﹣1，
由得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，
△=36m2+36（3m2+4）＞0，
∴，
∴AB的中点为，
∵四边形AMBF2为平行四边形，∴AB与MF2的中点重合，即：
∴，
把点M坐标代入椭圆C的方程得：27m4﹣24m2﹣80=0
解得，
∴存在符合条件的直线l的方程为：．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、平行四边形的性质、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．
22．已知函数．
（1）若函数f（x）在区间上存在极值点，求实数a的取值范围；
（2）知果当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（3）求证：，这里n∈N*，（n+1）!=1×2×3×…×（n+1），e为自然对数的底数．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）先求出定义域，再对f（x）进行求导，利用导数研究函数f（x）的极值点问题，先求出极值点；
（2）已知条件当x≥1时，不等式恒成立，将问题转化为k≤，
利用了常数分离法，只要求出的最小值即可，可以令新的函数g（x），然后利用导数研究函数g（x）的最值问题，从而求出k的范围；
（3）利用（2）的恒成立式子，可有ln[k（k+1）]＞1﹣，利用此不等式对所要证明的不等式两边进行放缩，从而进行证明；
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）==﹣，
f′（x）＞0⇔lnx＜0⇔0＜x＜1，
f′（x）＜0⇔lnx＞0⇔x＞1，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，函数f（x）在x=1处取得唯一的极值，
由题意，a＞0，且a＜1＜a+，解得＜a＜1，
所以实数a的取值范围为＜a＜1；
（2）当x≥1时，f（x）≥⇔≥⇔k≤，
令g（x）=（x≥1），由题意，k≤g（x）在[1，+∞）上恒成立，
g′（x）==，
令h（x）=x﹣lnx（x≥1），则h′（x）=1﹣≥0，当且仅当x=1时取等号，
所以h（x）=x﹣lnx在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=1＞0，
因此g′（x）=＞0，g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）min=g（1）=2，
所以k≤2；
（3）由（2），当x≥1时，f（x）≥，即≥，
从而lnx≥1﹣＞1﹣，
令x=k（k+1），k∈N+，则有ln[k（k+1）]＞1﹣，
分别令k=1，2，3，…，n（n≥2）则有ln（1×2）＞1﹣，ln（2×3）＞1﹣，…，
ln[n（n﹣1）]＞1﹣，ln[n（n+1）]＞1﹣，
将这个不等式左右两端分别相加，则得，
ln[1×22×32×…×n2（n+1）]＞n﹣2[++…+]=n﹣2+，
故1×22×32×…×n2（n+1）＞，从而，
当n=1时，不等式显然成立；
所以∀n∈N+，；
【点评】此题难度比较大，考查了利用导数研究函数的单调性和最值问题，第三问难度最大，需要对不等式的两边进行放缩，巧妙利用第（2）问的条件得到一个不等式，利用这个不等式进行放缩证明，是我们常用的方法；。