中考数学高频考点突破 —— 圆的计算和证明

中考数学高频考点突破——圆的计算和证明
1.如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
(1) 判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．
(2) 过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，
求BE的长．
2.如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，连接CO，过B作BD∥OC交⊙O于D，连接AD交OC于G，延长AB，CD交于点E．
(1) 求证：CD是⊙O的切线．
(2) 若BE=4，DE=8，求CD的长．
3.如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，
过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=4√3，BE=2．求证：
(1) 四边形FADC是菱形；
(2) FC是⊙O的切线．
4.如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，
与AC交于点E，连接AD．
(1) 求证：AD平分∠BAC；
(2) 若∠BAC=60∘，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
5.在△ABC中，∠C=90∘，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．
(1) 如图①，连接AD，若∠CAD=25∘，求∠B的大小；
⏜的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．
(2) 如图②，若点F为AD
6.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
(1) 求证：AE=AB；
(2) 若AB=10，BC=6，求CD的长．
7.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠P=44∘．
(1) 如图1，若点C为优弧AB上一点，求∠ACB的度数．
(2) 如图2，在（1）的条件下，若点D为劣弧AC上一点，求∠PAD+∠C的度数．
8.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠DCA=∠B．
(1) 求证：CD是⊙O的切线．
(2) 若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形．
9.如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥
AP，垂足为N．
(1) 求证：OM=AN；
(2) 若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．
10.在△ABD中，∠C=90∘，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点
D，分别交AB，AC于点E，F．
(1) 如图1，连接AD，若∠CAD=25∘，求∠B的大小；
⏜的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．
(2) 如图2，若点F为AD
11.如图①，在平行四边形OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，
与OC相交于点D．
(1) 求∠OAB的度数；
(2) 如图②，点E在⊙O上，连接CE与⊙O交于点F，若EF=AB，求∠COE
的度数．
12.如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=8，BC=6．以BC为直径的⊙O交AC于
D，E是AB的中点，连接ED并延长交BC的延长线于点F．
(1) 求证：DE是⊙O的切线；
(2) 求DB的长．
13.已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，连接AD，BC，已知AE=AD，
∠BAD=34∘．
(1) 如图①，连接CO，求∠ADC和∠OCD的大小；
(2) 如图②，过点D作⊙O的切线与CB的延长线交于点F，连接BD，求∠BDF
的大小．
14.如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，D
⏜的中点，连接OF并延长交直线CD于点E，连接BD，BF．为切点，点F是AD
(1) 求证：BD∥OE；
(2) 若OE=3√10，tanC=3
，求⊙O的半径．
4
15.如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延
长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A．
(1) 求证：∠ABG=2∠C；
(2) 若GF=3√3，GB=6，求⊙O的半径．
16.如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O．点D在⊙O上，BD平分∠ABC
交AC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F．
(1) 求证：FD是⊙O的切线；
，求DE的长．
(2) 若BD=8，sin∠DBF=3
5
⏜的中点，连接AE交BC 17.如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是BD
于点F，∠ACB=2∠EAB．
(1) 求证：AC是⊙O的切线；
(2) 若cosC=3
，AC=8，求BF的长．
4
18.如图，AB为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，点D是AC中点．
(1) 求证：DE⊥BC；
，求⊙O的半径．
(2) 如果DE=2，tanC=1
2
19.如图，AD是⊙O的直径，P是⊙O外一点，连接PO交⊙O于点C，PB，PD
分别切⊙O于点B，D，连接AB，AC．
(1) 求证：AB∥OP；
(2) 连接PA，若PA=2√2，tan∠BAD=2，求PC长．
20.已知，如图，在△ABC中，D是AB边上一点，⊙O过D，B，C三点，直线AC是
⊙O的切线，OD∥AC．
(1) 求∠ACD的度数；
(2) 如果∠ACB=75∘，⊙O的半径为2，求BD的长．
答案1. 【答案】
(1) 如图，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴∠ADO+∠ODB=90∘，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠CBD，
又∵∠CDA=∠CBD，
∴∠ADO+∠CDA=90∘，
即∠ODC=90∘，
∴OD⊥CD，
∴CD与⊙O相切．
(2) ∵BE是⊙O的切线，
∴∠ODC=∠EBC=90∘，
又∵∠C=∠C，
∴△ODC∽△EBC，
∴OD
EB =CD
CB
，
∵AC=2，⊙O的半径为3，
∴CB=AC+AB=2+3×2=8，OD=3，OC=OA+AC=3+2=5，∴CD=√OC2−OD2=√52−32=4，
∴3
EB =4
8
．
解得BE=6．
2. 【答案】
(1) 如图，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，
∴∠CAB=90∘=∠ADB，
∵OD=OB，
∴∠DBO=∠BDO，
∴CO∥BD，
∴∠AOC=∠COD，
∵AO=OD，CO=CO，
∴△AOC≌△DOC(SAS)，
∴∠CAO=∠CDO=90∘，
∴OD⊥CD，且OD是半径，
∴CD是⊙O的切线．
(2) 设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，
在Rt△ODE中，
∵OD2+DE2=OE2，
∴r2+82=(r+4)2，解得r=6，
∴OB=6，
∵CO∥BD，
∴DE
CD =BE
OB
，
∴CD=12．
3. 【答案】
(1) 如图1，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE=1
2CD=1
2
×4√3=2√3，
设OC=x，
∵BE=2，
∴OE=x−2，
在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，
∴x2=(x−2)2+(2√3)2，
解得：x=4，
∴OA=OC=4，OE=2，
∴AE=6，
在Rt△AED中，AD=√AE2+DE2=4√3，
∴AD=CD，
∵AF是⊙O切线，
∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AF∥CD，
∵CF∥AD，
∴四边形FADC是平行四边形，
∵AD=CD，
∴平行四边形FADC是菱形．
(2) 如图2，连接OF，AC，
∵四边形FADC是菱形，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA，
∵AO=CO，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠FAC+∠OAC=∠FCA+∠OCA，
即∠OCF=∠OAF=90∘，
∴OC⊥FC，
∵点C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切线．
4. 【答案】
(1) 如图，连接OD．
∵BC是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥BC．
又AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠ADO=∠CAD．
又OD=OA，
∴∠ADO=∠OAD，
∴∠CAD=∠OAD，即AD平分∠BAC．
(2) 如图，连接OE，ED．
∵∠BAC=60∘，OE=OA，∴△OAE为等边三角形，∴∠AOE=60∘，
∴∠ADE=30∘．
又∠OAD=1
2∠BAC=30∘，
∴∠ADE=∠OAD，∴ED∥AO，
∴S△AED=S△OED，
∴阴影部分的面积为S
扇形ODE =60×π×4
360
=2
3
π．
5. 【答案】
(1) 连接OD，
∵OA为半径的圆与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90∘，
∵在△ABC中，∠C=90∘，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ADO=25∘，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=25∘，
∴∠BOD=2∠OAD=50∘，
∴∠B=90∘−∠BOD=40∘．
(2) 连接OF，OD，
由（1）得：OD∥AC，
∴∠AFO=∠FOD，
∵OA=OF，点F为AD
⏜的中点，∴∠A=∠AFO，∠AOF=∠FOD，
∴∠A=∠AFO=∠AOF=60∘，
∴∠B=90∘−∠A=30∘，
∵OA=OD=2，
∴OB=2OD=4，
∴AB=OA+OB=6．
6. 【答案】
(1) 连AC，OC，
∵CD⊥AE，
∴∠CDE=90∘，
又∵CD为⊙O的切线，
∴∠OCD=90∘=∠CDE，
∴CO∥AE，
∵O为AB中点，
∴CO为△BAE中位线，CO=1
2AE，
在Rt△ABC中，CO为斜边中线，
∴CO=1
2AB，
∴AE=AB．
(2) ∵AB=10，BC=6，
∴CE=CB=6，AE=AB=10，在Rt△ABC中，AC=8，
S△ACE=1
2⋅AC⋅CE=1
2
⋅8⋅6=24，
又∵S△ACE=1
2⋅CD⋅AE=1
2
⋅CD⋅10，
∴CD=24
5
．
7. 【答案】
(1) 连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=90∘，∠OBP=90∘，
∴∠AOB=360∘−∠OAP−∠OBP−∠P
=360∘−90∘−90∘−44∘
=136∘,
∴∠ACB=1
2∠AOB=68∘．
(2) 连接AB，
∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA=PB，
∵∠P=44∘，
∴∠PAB=∠PBA=1
2(180∘−44∘)=68∘，
∵∠DAB+∠C=190∘，
∴∠PAD+∠C=∠PAB+∠DAB+∠C=180∘+68∘=248∘．8. 【答案】
(1) 连接OC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90∘，
∵OC=OB，
∴∠B=∠BCO，
∵∠DCA=∠B，
∴∠BCO=∠DCA，
∴∠BCO+∠ACO=∠DCA+∠ACO，
∴∠ACB=∠DCO=90∘，即OC⊥CD，
∵OC过O，
∴CD是⊙O的切线．
(2) ∵DE⊥AB，
∴∠FEA=90∘，
∴∠A+∠EFA=90∘，
同理∠A+∠B=90∘，
∴∠B=∠EFA，
∵∠DCA=∠B，∠DFC=∠EFA，
∴∠DCF=∠DFC，
∴DC=DF，
即△DCF是等腰三角形．
9. 【答案】
(1) 如图连接OA，则OA⊥AP，
∵MN⊥AP，
∴MN∥OA，
∵OM∥AP，
∴四边形ANMO是矩形，
OM=AN．
(2) 连接OB，则OB⊥BP，
∴∠OBM=∠MNP=90∘，
∵OA=MN，OA=OB，OM∥AP，
∴OB=MN，∠OMB=∠NPM，
∴△OBM≌△MNP，
∴OM=MP，
设OM=x，则NP=9−x，
在Rt△MNP中，有x2=32+(9−x)2，
∴x=5，即OM=5．
10. 【答案】
(1) 如图，连接OD．
∵BC与⊙O相切，
∴∠ODC=90∘．
∵∠C=90∘，
∴OD∥AC，
∴∠ADO=∠CAD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠OAD．
∵∠CAD=25∘，
∴∠CAB=∠CAD+∠OAD=50∘，
∴∠B=90∘−∠CAB=40∘．
(2) 连接OD，OF．
⏜的中点，
∵F为AD
∴∠AOF=∠FOD．
∵OD∥AC，
∴∠AFO=∠FOD，
∴∠AFO=∠AOF．
∵OA=OF，
∴∠AFO=∠OAF，
∴△AFO为等边三角形，
∴∠CAB=60∘，
∴∠B=30∘．
∵OD=2，
∴OB=2OD=4，
∴AB=OA+OB=6．
11. 【答案】
(1) 如图①，连接OB．
∵BC是圆的切线，
∴OB⊥BC．
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC．
∴OB⊥OA．
∴△AOB是等腰直角三角形．
∴∠OAB=45∘．
(2) 如图②，过点O作OH⊥EC于点H，设EH=t．
∵OH⊥EC，
∴EF=2HE=2t，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=CO=EF=2t，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴OA=√2t，则HO=√OE2−EH2=√2t2−t2=t，
∵OC=2OH，
∴∠OCE=30∘，
∴∠COE=180∘−45∘−30∘=105∘．
12. 【答案】
(1) 连接BD，DO．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘．
∴∠CDB=90∘，
又∵E为AB的中点，
∴DE=EB=EA，
∴∠EDB=∠EBD．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∵∠ABC=90∘，
∴∠EDB+∠OBD=90∘．即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
(2) 在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，
∴AC=√AB2+BC2=√82+62=10，
∵S△ABC=1
2AB⋅BC=1
2
AC⋅BD，
∴BD=AB⋅BC
AC =24
5
．
13. 【答案】
(1) 连接OD．
∵AE=AD，∠BAD=34∘，
∴∠ADC=∠AED=1
2(180∘−34∘)=73∘，
∵OA=OD=OC，
∴∠ADO=∠A=34∘，
∴∠OCD=∠ODC=∠ADC−∠ADO=73∘−34∘=39∘．
(2) 连接OD．
∵DF是⊙O的切线，
∴∠ODF=90∘，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴∠ADO=∠BDF，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠BDF=∠BAD=34∘．
14. 【答案】
(1) 在⊙O中，
∵OB=OF，
∴∠1=∠3．
∵点F是AD
⏜的中点，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∴BD∥OE．
(2) 连接OD．
∵直线CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD．
∵tanC=OD
CD =3
4
，
∴可设OD=3k，CD=4k，k>0．∴OC=5k，BO=3k，
∴BC=2k．
∵BD∥OE，
∴BC
BO =CD
DE
，即2k
3k
=4k
DE
，
∴DE=6k．
∵OE2=OD2+DE2，
∴(3√10)2=(3k)2+(6k)2，
∴k=√2．
∴⊙O的半径为3√2．15. 【答案】
(1) 连接OE，
∵EG是⊙O的切线，
∴OE⊥EG，
∵BF⊥GE，
∴OE∥AB，
∴∠A=∠OEC，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠C，
∴∠A=∠C，
∵∠ABG=∠A+∠C，
∴∠ABG=2∠C．
(2) ∵BF⊥GE，
∴∠BFG=90∘，
∵GF=3√3，GB=6，
∴BF=√BG2−GF2=3，∵BF∥OE，
∴△BGF∽△OGE，
∴BF
OE =BG
OG
，
∴3
OE =6
6+OE
，
∴OE=6，
∴⊙O的半径为6．
16. 【答案】
(1) 连接OD，如图1．
∵OB=OD，
∴∠1=∠2．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∵DF⊥BF，
∴∠F=90∘．
∴∠3＋∠BDF=90∘．
∴∠2＋∠BDF=90∘，即∠ODF=90∘．
∴OD⊥DF．
∴FD是⊙O的切线．
(2) 连接AD，如图2．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘．
∵∠1=∠3，sin∠3=sin∠DBF=3
5
，
∴sin∠1=3
5
．
∴在Rt△ABD中，sin∠1=AD
AB =3
5
．
设AD=3x，则AB=5x，BD=√AB2−AD2=√(5x)2−(3x)2=4x．
∴tan∠1=AD
BD =3
4
．
∵BD=8，
∴AD=8×3
4=6．
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠1．
∵在Rt△AED中，tan∠4=DE
AD
，
∴DE=AD⋅tan∠4=AD⋅tan∠1=6×3
4=9
2
．
17. 【答案】
(1) 连接 AD ，如图，
∵E 是 BD
⏜ 的中点， ∴DE
⏜=BE ⏜， ∴∠EAB =∠EAD ，
∵∠ACB =2∠EAB ，
∴∠ACB =∠DAB ，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB =90∘，
∴∠DAC +∠ACB =90∘，
∴∠DAC +∠DAB =90∘，即 ∠BAC =90∘，
∴AC ⊥AB ，
∵OA 为 ⊙O 的半径，
∴AC 是 ⊙O 的切线．
(2) 如图，过点 F 作 FH ⊥AB 于 H ， ∵cosC =AC BC =CD AC =34，AC =8，
∴BC =32
3，CD =6，
∴BD =BC −CD =14
3，
∵∠EAB =∠EAD ，FD ⊥AD ，FH ⊥AB ，
∴FD =FH ， 设 FB =x ，则 DF =FH =143
−x ，
∵FH ∥AC ，
∴∠HFB =∠C ，
在 Rt △BFH 中， ∵cos∠BFH =cosC =34=FH BF ，
∴143−x x =34，解得 x =83，即 BF 的长为 8
3．
18. 【答案】
(1) 连接 OD ，
因为 DE 为 ⊙O 的切线，
所以 DE ⊥OD ，
因为 AO =OB ，D 是 AC 的中点，
所以 OD ∥BC ，
所以 DE ⊥BC ．
(2) 连接 DB ，
因为 AB 为 ⊙O 的直径，
所以 ∠ADB =90∘，
所以 DB ⊥AC ，
所以 ∠CDB =90∘，
因为 D 为 AC 中点，
所以 AB =BC ，
在 Rt △DEC 中，∠DEC =90∘，DE =2，tanC =12，
所以 EC =DE tanC =4， 所以 DC =√DE 2+EC 2=2√5．
在Rt△DCB中，∠BDC=90∘，
所以BD=DC⋅tanC=√5，
所以BC=√BD2+DC2=√20+5=5，
所以AB=BC=5，
所以⊙O的半径为2.5．
19. 【答案】
(1) ∵PB，PD分别切⊙O于点B，D，
∴PB=PD．
可得，点C为弧BD中点，
∴∠BAC=∠COD．
∴AB∥OP．
(2) 由（1）∠BAD=∠POD，
∵PD切⊙O于点D，
∴PD⊥OD．
∴tan∠POD=PD
OD =2．
∵AD=2OD，
∴AD=PD．
在Rt△PDA中，∠PDA=90∘，PA=2√2，
∴AD=PD=2，
∴OC=OD=1．
在Rt△PDO中，∠PDO=90∘，PD=2，OD=1，∴PO=√5．
∴PC=PO−CO=√5−1．
20. 【答案】
(1) ∵直线AC是⊙O的切线，
∴∠OCA=90∘．
∵OD∥AC，
∴∠DOC+∠OCA=180∘，
∴∠DOC=90∘．
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=45∘，
∵∠ACD=∠ACO−∠OCD=45∘．
(2) ∵OD=OC=2，∠DOC=90∘，
可求CD=2√2．
∵∠ACB=75∘，∠ACD=45∘，
∴∠BCD=30∘，
作DE⊥BC于点E．
∴∠DEC=90∘．
∴DE=DC⋅sin30∘=√2，
∵∠B=45∘，
∴DB=2．。