数学奥林匹克初中训练题(190)

38中等数学
缴t 奥I 逛酬錄龜（19〇)
中图分类号:G 424.79
文献标识码：A
文章编号：1005 - 6416(2021)03 - 0038 - 06
第一试
一
、
选择题（每小题7分，共42分）
1.在A 从C 中，1 i +丄•则Z ： 4
a b c )•
(A )必为锐角 （B )必为直角(C )必为钝角
（D )以上答案都不对
则Z Z 寧+ Z ：
= \S0° -Z B T C = 90°
^点X 在以为直径的圆上.
又/L QXP =1k -乙 TXQ - A T X P
= Z Q E T + Z P F T = k -Z A ,
于是，点;f 在厶/!/^的外接圆厂。

上.
过点X 作以为直径的圆的切线X K
故 Z KXP = Z P X F - Z KXF
=Z P T F - Z X E F = Z P T F - Z XQT =Z PQT - Z XQT = Z XQP.这表明，^也为圆厂。

的切线.因此，以为直径的圆与圆厂。

相切.四、设最小值为歛
下面证明A =3.(1)
若A ： = 1，考虑其中任意一种颜色S ，
记4为连出边的颜色中含有S 的点的集合.
一方面，由于每个点所对应的颜色集相 同，于是，M l = 2 023.
另一方面，由于公共点的任意两条边颜
色不同，M l 为偶数，矛盾.(2) 若A =2,设其中一个颜色集所对应 的点为A ，〇i 2，…，〜，另一个颜色集所对应的
2.记[*]表示不超过实数$的最大整 数.则方程[2*]+ [3*] = h - 6的所有实数解 的个数为（
）.(A)l (B )2 (C )3
(D )4
3•
在
中
，已知/lfi=ylC，Z 4=40。

，
P 为仙上一点，Z M C />=20。

•贝 l j |^ = (
).
点为卜，卜，…，h f d m .考虑ai、\两点间的 颜色7\则r 同时出现在两个颜色集中，记 为连出边的颜色为r 的点的集合，同（1)知 矛盾.
(3)给出A ； =3的构造•
记2 023个点为〇丨，a2，…，ai oil，，办2，*** >^i on >c-令a;a;(i#y)颜色为
尤 i+_/•( mod 1 011)，以 i
色为 y;+Amodl011>，a;C 颜色为 ％(n i o d l 011)»/ (i</)颜色为 2w(inodl()11)，
颜色为
Z 2i(mod 1 Oil)'
对于任意的a,(l 矣i矣1 011)，其所对颜 色集为
I ^1 fx 2
' ^Xl 0U iJ\ »^2 » "*' >7l Oil ! •
对于任意的6,(1名；<1 011)，其所对颜 色集为
U l ，:2，…，21 Oil，7l，；K2，…011 丨•
对于C ，其所对颜色集为 { ,x2
,xx 01I ,Z[ ,z2 » J Z1 o n l •
综上A =3.
(命题组提供
）
2021年第3期39
(A)及（B)在（C)f(D)^
4•已知实数《:、y满足x23+y2 = 1•记x4 +
砂+ /的最大值、最小值分别为.则
Smax + *^m i n -（)*
(A)~j(B)0 (C)l (D)|
5. 在 Rt A/lfiC 中，Z C = 90°，4C = 1，
fiC =在，£>为边/I S的中点，五为边5C上一
点.将A A M；沿抓翻折得到A/l'Z)£，使得
A I M与泌重叠部分的面积占△A M
面积的|.则6£的长为（).
(A)f
(D)|■或早
6. 已知关于％的方程
\f~x~~—'2x+1 —\[~x~—A%+4 +2 \J~x~—6x+9
=t +4
恰有两个实数解.则i的取值范围是（）.
(A)-3 <t<0(B)f>-3且 ¥-1
(C)t^ -1 (D)W〇且#-1
二、填空题（每小题7分，共28分）
1.若关于x的不等式组|U的
U>〇
所有整数解之和为12,则f的取值范围是
2.已知整数n >2 020,= 了2 020为完全
2 12U - n
平方数.则n的值为_
3.如图1，A仙C 的内切圆为©〇,过〇
作B C的平行线，分别
与仙d C交于点D、£.
若的三边5C、
的长分别为8、A
7、5，则£>£的长为______.
4.在直角坐标系中，4为抛物线在
第二象限上的点，过点〇作〇/?丄似，与抛
物线交于点fi，以为边构造矩形
40S C.如图2,当点4
的横坐标为-^■时，
经过点C的反比例函
数曲线的解析式为
.图2
第二试
一、（20分）求满足方程
x2 +y2 = 2(x y)+ xy
的所有正整数x、y.
二、（25分）如图3，
45为©0的直径，弦C£>
与仙交于点£，过点4
作圆的切线，与C D的
延长线交于点R若
C E ：
D
E ：D
F = 4： 3： 3,
/^=24，求弦/1(：的长及
sin 的值•
C
F
图3
三、（25分）已知直线；r = +3与戈
轴交于点C，与y轴交于点抛物线y =c w c2 +
+ c经过两点，且与％轴的第二个交
点为A.
(1)如图4，£为直
线5C右上方抛物线
上的一动点，当A f i五c
的面积最大时，求过点
£的切线/的方程和
A f i£C面积的最大值.
(2)在（1)的结论®4
下，过点£作y轴的平行线，与直线
fiC交于
40中等数学
点M，联结4M,为抛物线对称轴上的动点，
在抛物线上是否存在点P，使得以
为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直
接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由.
(3)如图5,点
#(1，〇)，将线段 0/V
绕点〇逆时针方向
旋转得到O N'，旋转
角为 a(0°<a<90°)，
求/Vf C+|~/V'fi 的最
小值.
参考答案
第一试
—、1. A.
图5
3 3
无整数解;
=> 1
2
(3)若 <y,则
y2.t+ 1 + 3i+ 1= S(t + r) -6
>\=> t-8 8=———r3 38 4
A
,5^13〇N=> t-
1\\*1>r~8
(4)若|■心<1，则
2t+ 1 + 3i+ 2 = 8(^ + r)—6
=> t= 3 -
, 3 — 7
=>t = l,r = —=>x=—.
4 4
由=冬 +」一=> 26c = a(6 + c)•
a b c
又 6 + e > a，贝!J26c > a2.
由（fc-c)2彡0 => 62.+ c2彡26c => b2 +c2 > a2
4必为锐角.
2. C.
当％为整数时，
2x -\-3x = Sx -6 => x =2.
当％不为整数时，设
尤+r(i 为整数，0 <r<l).
⑴若〇<厂<+，则
2t+3/ = 8(^ + r) —6
…=2-爭
#f<t=2-f<2
=> t无整数解；
(2)若士&<士，则
2 艺+ 3f + l = 8(尤+ r) —6
综上,符合条件的实数解有3个.
3. B.
如图6，作丄
fiC于点/)，则仙= CZ).
在A仙c外作
Z C A E=20°, W\
Z B A E=60°.
作（^丄狀于点
E，P F丄A E于点F.
易证△A C E笤A/ICZ).
于是，C E= C D=*B C.
由= /Msin Z
P F= C E,
故蔻=万.
4. D.
注意到，
(x -y)2 =x2 -2xy +y2^0
==>2 I a c y l^x2 + y2 = 1
A
图6
2021年第3期41
令S =尤4 +尤y + y4.贝|J
S=(^；2 +y2)2 -2x2y2+xy
=-2x2y2+ xy + 1
由函数增减性知：
当 = |时，S_ =|;
当 xy = -^■时，Sm i n =0•
因此，>S m a x + Sm i n = y.
5.C.
如图7,当之厦>90。

时，联结A4'，延长 虹(，与A4,交于点M
由勾股定理得
AB=J6,
AD = DB = ♦.图 7
2
由题意，知从>=小/)，4五=水五，则仙垂直平分
由4£>=乃5=氺!）
^ △4A4'为直角三角形
A4,丄
=> Z M E F = Z FA'B.
又由已知得=+S AAEB，于是，
DF = j A B= j D B
^ D F= F B.
则A水仰笤
=> E F=A'F.
故笤/\D F^
^A D=B E=^-.
若Z从>五<90。

时，如图8.
类似地，狀=狀'=仙•
m c e：=f•
故 B E= B C- C E=^~~^.
综上，抓=誓或^
6. B.
令 h = ^/x2 -2x + l - ^/x2 -4x +4- +
2 \/o c" —6x+ 9 -4，
Ji=t-
贝[]71 = |%-1 卜 |%一21 + 2丨尤+3卜4
l -2x9x <1 ；
-1，1<%<2;
3 -2%，2<尤 <3;
2x-9y x^3.
画函数图像
如图9.
要使原方程
恰有两个实数
解，则y i与y2的
图像恰有两个不 图9
同的交点.
观察图像，知f> -3且以-1.
__N1.2^t<3 —3 < —2.
解不等式组得
由已知得整数$=5,4,3或5,4，."，-2.
故2幻< 3或-3幻< -2.
2.2 070 或 2 100 或 2 110.
设=^2nQ2Q = m为完全平方数）
.
42中等数学
则m=n-2 020
2 120 -n
100
=> (m+ l)(2 120 -n)= 100
=> (m，r a)= (1，2 070)或（4,2 100)或
=-Zy" + 12y + 4 = 16-3(y-2)2^0 => (y-2)2^y<9
(9,2 110)=> -3<y-2<3
=> n =2 070 或 2 100 或 2 110.
由内心及平行线的性质得
B D= O D,
C E= O E.
由及等比性质得
B D_
C E_
D
E A D_B D_D E
_5_=T= l2",Afi = - 了=T
t D E D E
^ 1 —--=---
128
塌=2f
.51
4*r = 8^-
由题意得4(-士，+)•令則U2).
作^5丄x轴于点D丄x轴于点则仙=士，0£) = |，B E= f2,0£ = f.故 Rt A M Rt △
A D O D
^ O E= ~BE
=> t= 2.
于是，f i(2,4).
由似//价:及平移性质知
因此，所求曲线的解析式为;K .
第二试
一、原方程可变形为
X2 - (y + 2)x +y2-2y =0.
由 A= (y +2)2 -4(y2 -2y)
=> -1 <y<5.
又y为正整数,于是，
y = 1,2,3 ,4.
故方程的正整数解为
厂2’或厂4’或厂4，
[y =4[7=2ly =4.
二、联结设= y.
则 Z)F = Z)£；=3;c，£F=6;c.
由勾股定理及切割线定理得
A F2 =E F2 -A E2 =D F-C F
=> 36x2 -y2 =30%2
=> y2 =6x2.①
由相交弦定理得
A E-
B E=
C E-
D E
=> y(24-y) = 4x93x = \ 2x2
=> 24y - y2= I2x2.
结合式①解得y=8，x=¥.
因为是®〇的直径^是©〇的切线，所以，
Z E A F= 90°,Z A C D= Z D A F.
由£>为Rt A的斜边的中点
D A=D E= D F
=> Z D A F= Z F.
又 Z4CZ)= Z F,则
A C=A F= v^〇^=8V5 .
在Rt △以:F中，
sin Z_ A C F= sin F= = 5~ = ^'
三、（o由题意知
A(-2,0),5(0,3),C(4,0).
2021年第3期43
于是，抛物线的解析式为 3 2j.3y = ~Y x +^r x +3-过点e 作y 轴的平行线，与s c 交于点凡 + 31设五卜-2 . J
~J X +J %
则孖卜，■-|^+3).故
= ~E H -0C
4
x 4( 3 2 3
-T +?3 2
=~4x + 3尤.
又
从
而
，s,x + 3 + —x — 3
4
^BEC/
时，点 E (2,3).
设直线= h + 6.因为 Z//B C ，所以，
由点£(2,3)在直线Z上得6=|~.因此，直线/:y = - |戈+ | •⑵存在.3
易知M 2，f
，抛物线的对称轴为直线
X = 1.
设点 p (m ，r a )，(?（1，s).则 3 2^3 ^n = - —m + ~—m + 3.
8 4
(i)若A M 为平行四边形的边.
注意到，点4先向右平移4个单位，再向上平移|■个单位得到点M .
于是，点(?(P )应先向右平移4个单位， 再向上平移|■个单位得到P (<?).
从而，J 7i = 1 +4=5 或 m = l —4 = - 3.
叫5，_替)或
(i i )若A M 为平行四边形的对角线. 由中点坐标公式得-2 +2 = m + 1 => m = - I.
叫
综上，点p 的坐标为
(5，-*)或(-3，-替)或(—1，許 (3)如图10,在
y 轴上取一点M '，使得O M ，= 士，联结
在O f 上取一点M ，使得 ON' = ON.
由舰，=1，
0M'-0B = j x 3
=1，
o n ,2 = o m '-ob
ON' _ OB
又 Z BON' =Z M '0N '，于是， A M 'O N ’w A N ’O B
M'N' ON ， 1
BN' =~0B=J
■ y 7,'X \
a F
私c
f
°
N
V
图10
=> MfNf =j B N f
=> CN' + jB N ' = CN' + N'M' = CM '.
此时，CiV' +|~57V'最小，这是因为两点间线段最短，须C 、M '、；V'三点共线时.
故所求最小值为
CM'
42+
yi45
(陈迁湖北省黄冈市浠水县余堰中 学，438200 陈鸿飞湖北省黄冈市浠水县 思源学校，4382〇0)。