埃尔米特插值例题详解

埃尔米特插值例题详解
这里以求解一元二次函数$y=x^2$在$x=1$附近的拉格朗日插值为例，来详细讲解埃尔米特插值的步骤。

**步骤一：**确定插值点$x_0,x_1,\cdots,x_n$，这里取
$x_0=1,x_1=1.1,x_2=1.2$
**步骤二：**求出插值点处的函数值，即
$y_0=f(x_0),y_1=f(x_1),\cdots,y_n=f(x_n)$，这里取
$y_0=1,y_1=1.21,y_2=1.44$
**步骤三：**求出埃尔米特矩阵$A=[a_{ij}]_{n+1}$，这里$A$是$(n+1)\times(n+1)$矩阵，其中$a_{ij}=(x_i-x_j)^2$，即
$$
A=\begin{bmatrix}
a_{00} & a_{01} & a_{02}\\
a_{10} & a_{11} & a_{12}\\
a_{20} & a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
0 & 0.01 & 0.04\\
0.01 & 0 & 0.01\\
0.04 & 0.01 & 0
\end{bmatrix}
$$
**步骤四：**求出埃尔米特矩阵的逆$A^{-1}=[a_{ij}^{-1}]_{n+1}$，这里$A^{-1}$是$(n+1)\times(n+1)$矩阵，其中
$a_{ij}^{-1}$是$A$的逆矩阵，即
$$
A^{-1}=\begin{bmatrix}
a_{00}^{-1} & a_{01}^{-1} & a_{02}^{-1}\\
a_{10}^{-1} & a_{11}^{-1} & a_{12}^{-1}\\
a_{20}^{-1} & a_{21}^{-1} & a_{22}^{-1}
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
25 & -25 & 10\\
-25 & 50 & -25\\
10 & -25 & 25
\end{bmatrix}
$$
**步骤五：**求出埃尔米特系数$b_i$，这里$b_i$是$(n+1)\times1$矩阵，其中$b_i=\sum_{j=0}^na_{ij}y_j$，即
$$
b=\begin{bmatrix}
b_0\\
b_1\\
b_2
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
0.01y_1+0.04y_2\\
0.01y_0+0.01y_2\\
0.04y_0+0.01y_1
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
0.054\\
0.011\\
0.045
\end{bmatrix} $$。