高中数学人教B版 必修第二册 用样本估计总体 课件1
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2.(1)用样本中 [0.40,0.60)和[内0.的60比,0.例80估) 计产 值增长率不低于40%的企业比例,[0.20,内0)的比例估计
产值负增长的企业比例; (2)根据公式求平均数.
【解析】1.选B.观察频率分布直方图可知众数为 10 15
=12.5,设中位数为x,
2
则0.06×5+ (x 1×0)0.1=0.5,解得x=12
2.选A.从表中一周的利润可得一天的平均利润为
=0.21.又五月份共有31天, 所以五月份的总利润约是0.21×31=6.51(万元). x＝0.20＋0.17＋0.23＋0.21＋0.23＋0.18＋0.25
7
【内化·悟】 用样本的数字特征来描述总体的数字特征时,通常从哪两个方面分 析?
提示:(1)分析数据的集中趋势或取值的平均水平,如平均数、众数、中位数、百分位数; (2)分析数据的离散程度或围绕平均数波动的大小,如极差、方差和标准差.标准差、方 差越大,数据离散程度越大,越不稳定;标准差、方差越小,数据的离散程度越小,越稳定.
x乙
s甲2＜s乙2
=(10+10+14+26+27+30+44+46+46+47)÷10
=30,
故乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,
甲种树苗比乙种树苗长得整齐.
类型二 用样本的分布估计总体的分布
【典例】1.如图是一容量为100的样本的
重量的频率分布直方图,则由图可估计样
本的众数与中位数分别为 ( )
2.样本数字特征所反映的样本的特征 一般地,平均数反映的是样本个体的平均水平,众数和中位数则反 映样本中个体的“重心”,而标准差则反映了样本的波动程度、离散 程度,即均衡性、稳定性、差异性等.因此,我们可以根据问题的需 要选择用样本的不同数字特征来分析问题.
林管部门在每年3月12日植树节前,为保证树苗的质量,
11,12,9,10,11,10,那么频率为0.2的范围是( )
A.5.5～7.5
B.7.5～9.5
Байду номын сангаас
C.9.5～11.5 D.11.5～13.5
【解析】选D.共20个数据,频率为0.2,在此范围内的数 据有4个,只有在11.5～13.5范围内有4个数据:13,12, 12,12.
【解析】选B.样本数据落在[15,20]内的频数为100×[15×(0.04+0.1)]=30.
日期 12日 13日 14日 15日 16日 17日 18日
当日利 润 0.20 0.17 0.23 0.21 0.23 0.18 0.25
(万元)
根据上表你估计该超市今年五月份的总利润是( )
A.6.51万元
B.6.4万元
C.1.47万元
D.5.88万元
3.为比较甲、乙两地某月14时的气温情况,随机选取该月 中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:℃)制成如图所 示的茎叶图.考虑以下结论:
【素养·探】 在与用样本的分布估计总体的分布的问题中,经常利用核心素养中的数据分析,通过研 究样本的频数、频率分布,估计总体的频数、频率分布,培养学生用样本估计总体的统 计思想. 在本例1的条件下,求平均重量.
【解析】平均重量为7.5×5×0.06+12.5×5 ×0.1+17.5× (1 5 0.06 5 0.1) =12.
【类题·通】 1.用样本的数字特征估计总体的数字特征的可行性 (1)如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得到的信息会 有偏差,这些偏差是由样本的随机性引起的.
(2)虽然样本的数字特征并不是总体真正的数字特征,而是总体的一个估计,但这种估 计是合理的,特别是当样本容量很大时,样本的数字特征稳定于总体的数字特征.
5.1.4 用样本估计总体
（新教材）【人教B版】必修二
1.用样本估计总体 (1)前提 样本的容量恰当,抽样方法合理.
(2)必要性 ①在容许一定误差存在的前提下,可以用样本估计 总体,这样能节省人力和物力. ②有时候总体的数字特征不可能获得,只能用样本 估计总体.
(3)误差 估计一般是有误差的.但是,大数定律可以保证,当 样本的容量越来越大时,估计的误差很小的可能性 将越来越大.
100
14+0.70×7)=0.30,
s2=
1 100
5 i1
ni (yi
y[()-2 0.410)2×2+(-0.20)2×
100
24+02×53+0.202×14+0.402×7]
=0.029 6,所以s= 0.02=9 60.02× ≈07.417,
所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.
2.(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企
业中产值增长率不低于40%的企业频率为14 7=0.21.
产值负增长的企业频率为 2=0.02.
100
100
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不 低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.
(2) y (1-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×
【类题·通】 1.总体的分布分两种情况 (1)当总体中的个体取值很少时,用茎叶图估计总体的分布;
(2)当总体中的个体取值较多时,将样本数据恰当分组,用各组的频率分布描述总体的 分布,方法是用频率分布表或频率分布直方图.
2.利用频率分布直方图求数字特征 (1)在频率分布直方图中,众数是最高的矩形的底边的中点. (2)在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等.
类型一 用样本的数字特征估计总体的数字特征 【典例】1.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图 (如图所示),则可估计该商店每天的顾客人数的中位数、众数、极差分别是 ()
A.46,45,56 C.47,45,56
B.46,45,53 D.45,47,53
2.下表是某超市5月份一周的利润情况记录:
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温; ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温; ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准 差;
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标 准差.
其中根据茎叶图能得到的正确的统计结论的编号 为( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
14
[0.60, 0.80)
7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、 产值负增长的企业比例. (2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同 一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01) 附: 74 ≈8.602.
【思维·引】1.众数是最高的矩形的底边的中点,中位 数左边和右边的直方图的面积相等,都是0.5.
()
(3)一般地,样本容量越大,用样本去估计总体就越准确. ( )
提示:(1)√.在抽样过程中,抽取的样本是具有随机性的,因此样本的 数字特征也有随机性. (2)×.一般地,样本平均数与总体的平均数的大小关系是不确定的. (3)√.大数定律保证,样本容量越大,用样本去估计总体就越准确.
2.已知样本10,8,10,8,6,13,11,10,12,7,9,8,12,9,
(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之 和.
【习练·破】 已知某人工养殖观赏鱼池塘中养殖着大量的红鲫鱼与 中国金鱼.为了估计池塘中这两种鱼的数量,养殖人员 从水库中捕出了红鲫鱼与中国金鱼各1 000条,给每条 鱼作上不影响其存活的记号,然后放回池塘,经过一定
时间,再每次从池塘中随机捕出1 000条鱼,分类记录下其中有记号的鱼的数目,随即将 它们放回池塘中.这样的记录作了10次,将记录获取的数据作成如下所示的茎叶图.
都会对树苗进行检测,现从甲乙两种树苗中抽测了10株
树苗的高度,其茎叶图如图,下列描述正确的是
()
A.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,且甲种树苗比乙种树苗长得整齐. B.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,但乙种树苗比甲种树苗长得整齐.
C.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,且乙种树苗比甲种树苗长得整齐. D.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,但甲种树苗比乙种树苗长得整齐.
【思考】 用样本估计总体出现误差的原因有哪些? 提示:样本抽取的随机性;样本抽取的方法不合适,导致代 表性差;样本容量偏少等.
2.用样本的数字特征来估计总体的数字特征 (1)一般来说,在估计总体的数字特征时,只需直接算出样 本对应的数字特征即可. (2)样本是用分层抽样得到的,由每一层的数字特征估计总 体的数字特征.以分两层抽样的情况为例.
3.用样本的分布来估计总体的分布
如果总体在每一个分组的频率记为π1,π2,…,πn,样
本在每一组对应的频率记为p1,p2,…,pn,一般来说,
1
n
n i1
(i
pi )2
不等于零.当样本的容量越来越大时,上
式很小的可能性将越来越大.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)样本的数字特征有随机性. ( ) (2)只要样本抽取合理,样本平均数与总体平均数相等.
A.13,12
B.12.5,12
C.12.5,11
D.12,11
2.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了 100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增 长率y的频数分布表.
y [-0.20,0) [0,0.20)
企业数
2
24
[0.20, 0.40)
53
[0.40, 0.60)
【解析】选D.由茎叶图中的数据,我们可得甲、乙两种树苗抽取的 样本高度分别为: 甲:19,20,21,23,25,29,31,32,33,37 乙:10,10,14,26,27,30,44,46,46,47 由已知易得: x甲=(19+20+21+23+25+29+31+32+33+37)÷10=27,
根据茎叶图计算有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数,并估计池塘中的红鲫鱼与 中国金鱼的数量.
【解析】由茎叶图可求出10次记录下的有记号的红鲫
鱼与中国金鱼数目的平均数均为20,故认为池塘中的红
鲫鱼与中国金鱼的数目相同,设池塘中两种鱼的总数是 x估,计则池有塘1 中4000的0＝红2鲫0x鱼00与，中即国x=2金0鱼004的01数0量00均=5为0 20500,00所0以 条,.可
【思维·引】1.弄清茎叶图中数据的个数和从小到大的排 列顺序,确定中位数、众数、极差. 2.先计算一天的平均利润的估计值,再估算五月份的总利 润;
【解析】1.选A.由题意知各数为12,15,20,22,23,23, 31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50, 50,51,51,54,57,59,61,67,68,中位数是46,众数是 45,最大数为68,最小数为12,极差为68-12=56.
产值负增长的企业比例; (2)根据公式求平均数.
【解析】1.选B.观察频率分布直方图可知众数为 10 15
=12.5,设中位数为x,
2
则0.06×5+ (x 1×0)0.1=0.5,解得x=12
2.选A.从表中一周的利润可得一天的平均利润为
=0.21.又五月份共有31天, 所以五月份的总利润约是0.21×31=6.51(万元). x＝0.20＋0.17＋0.23＋0.21＋0.23＋0.18＋0.25
7
【内化·悟】 用样本的数字特征来描述总体的数字特征时,通常从哪两个方面分 析?
提示:(1)分析数据的集中趋势或取值的平均水平,如平均数、众数、中位数、百分位数; (2)分析数据的离散程度或围绕平均数波动的大小,如极差、方差和标准差.标准差、方 差越大,数据离散程度越大,越不稳定;标准差、方差越小,数据的离散程度越小,越稳定.
x乙
s甲2＜s乙2
=(10+10+14+26+27+30+44+46+46+47)÷10
=30,
故乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,
甲种树苗比乙种树苗长得整齐.
类型二 用样本的分布估计总体的分布
【典例】1.如图是一容量为100的样本的
重量的频率分布直方图,则由图可估计样
本的众数与中位数分别为 ( )
2.样本数字特征所反映的样本的特征 一般地,平均数反映的是样本个体的平均水平,众数和中位数则反 映样本中个体的“重心”,而标准差则反映了样本的波动程度、离散 程度,即均衡性、稳定性、差异性等.因此,我们可以根据问题的需 要选择用样本的不同数字特征来分析问题.
林管部门在每年3月12日植树节前,为保证树苗的质量,
11,12,9,10,11,10,那么频率为0.2的范围是( )
A.5.5～7.5
B.7.5～9.5
Байду номын сангаас
C.9.5～11.5 D.11.5～13.5
【解析】选D.共20个数据,频率为0.2,在此范围内的数 据有4个,只有在11.5～13.5范围内有4个数据:13,12, 12,12.
【解析】选B.样本数据落在[15,20]内的频数为100×[15×(0.04+0.1)]=30.
日期 12日 13日 14日 15日 16日 17日 18日
当日利 润 0.20 0.17 0.23 0.21 0.23 0.18 0.25
(万元)
根据上表你估计该超市今年五月份的总利润是( )
A.6.51万元
B.6.4万元
C.1.47万元
D.5.88万元
3.为比较甲、乙两地某月14时的气温情况,随机选取该月 中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:℃)制成如图所 示的茎叶图.考虑以下结论:
【素养·探】 在与用样本的分布估计总体的分布的问题中,经常利用核心素养中的数据分析,通过研 究样本的频数、频率分布,估计总体的频数、频率分布,培养学生用样本估计总体的统 计思想. 在本例1的条件下,求平均重量.
【解析】平均重量为7.5×5×0.06+12.5×5 ×0.1+17.5× (1 5 0.06 5 0.1) =12.
【类题·通】 1.用样本的数字特征估计总体的数字特征的可行性 (1)如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得到的信息会 有偏差,这些偏差是由样本的随机性引起的.
(2)虽然样本的数字特征并不是总体真正的数字特征,而是总体的一个估计,但这种估 计是合理的,特别是当样本容量很大时,样本的数字特征稳定于总体的数字特征.
5.1.4 用样本估计总体
（新教材）【人教B版】必修二
1.用样本估计总体 (1)前提 样本的容量恰当,抽样方法合理.
(2)必要性 ①在容许一定误差存在的前提下,可以用样本估计 总体,这样能节省人力和物力. ②有时候总体的数字特征不可能获得,只能用样本 估计总体.
(3)误差 估计一般是有误差的.但是,大数定律可以保证,当 样本的容量越来越大时,估计的误差很小的可能性 将越来越大.
100
14+0.70×7)=0.30,
s2=
1 100
5 i1
ni (yi
y[()-2 0.410)2×2+(-0.20)2×
100
24+02×53+0.202×14+0.402×7]
=0.029 6,所以s= 0.02=9 60.02× ≈07.417,
所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.
2.(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企
业中产值增长率不低于40%的企业频率为14 7=0.21.
产值负增长的企业频率为 2=0.02.
100
100
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不 低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.
(2) y (1-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×
【类题·通】 1.总体的分布分两种情况 (1)当总体中的个体取值很少时,用茎叶图估计总体的分布;
(2)当总体中的个体取值较多时,将样本数据恰当分组,用各组的频率分布描述总体的 分布,方法是用频率分布表或频率分布直方图.
2.利用频率分布直方图求数字特征 (1)在频率分布直方图中,众数是最高的矩形的底边的中点. (2)在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等.
类型一 用样本的数字特征估计总体的数字特征 【典例】1.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图 (如图所示),则可估计该商店每天的顾客人数的中位数、众数、极差分别是 ()
A.46,45,56 C.47,45,56
B.46,45,53 D.45,47,53
2.下表是某超市5月份一周的利润情况记录:
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温; ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温; ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准 差;
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标 准差.
其中根据茎叶图能得到的正确的统计结论的编号 为( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
14
[0.60, 0.80)
7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、 产值负增长的企业比例. (2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同 一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01) 附: 74 ≈8.602.
【思维·引】1.众数是最高的矩形的底边的中点,中位 数左边和右边的直方图的面积相等,都是0.5.
()
(3)一般地,样本容量越大,用样本去估计总体就越准确. ( )
提示:(1)√.在抽样过程中,抽取的样本是具有随机性的,因此样本的 数字特征也有随机性. (2)×.一般地,样本平均数与总体的平均数的大小关系是不确定的. (3)√.大数定律保证,样本容量越大,用样本去估计总体就越准确.
2.已知样本10,8,10,8,6,13,11,10,12,7,9,8,12,9,
(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之 和.
【习练·破】 已知某人工养殖观赏鱼池塘中养殖着大量的红鲫鱼与 中国金鱼.为了估计池塘中这两种鱼的数量,养殖人员 从水库中捕出了红鲫鱼与中国金鱼各1 000条,给每条 鱼作上不影响其存活的记号,然后放回池塘,经过一定
时间,再每次从池塘中随机捕出1 000条鱼,分类记录下其中有记号的鱼的数目,随即将 它们放回池塘中.这样的记录作了10次,将记录获取的数据作成如下所示的茎叶图.
都会对树苗进行检测,现从甲乙两种树苗中抽测了10株
树苗的高度,其茎叶图如图,下列描述正确的是
()
A.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,且甲种树苗比乙种树苗长得整齐. B.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,但乙种树苗比甲种树苗长得整齐.
C.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,且乙种树苗比甲种树苗长得整齐. D.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,但甲种树苗比乙种树苗长得整齐.
【思考】 用样本估计总体出现误差的原因有哪些? 提示:样本抽取的随机性;样本抽取的方法不合适,导致代 表性差;样本容量偏少等.
2.用样本的数字特征来估计总体的数字特征 (1)一般来说,在估计总体的数字特征时,只需直接算出样 本对应的数字特征即可. (2)样本是用分层抽样得到的,由每一层的数字特征估计总 体的数字特征.以分两层抽样的情况为例.
3.用样本的分布来估计总体的分布
如果总体在每一个分组的频率记为π1,π2,…,πn,样
本在每一组对应的频率记为p1,p2,…,pn,一般来说,
1
n
n i1
(i
pi )2
不等于零.当样本的容量越来越大时,上
式很小的可能性将越来越大.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)样本的数字特征有随机性. ( ) (2)只要样本抽取合理,样本平均数与总体平均数相等.
A.13,12
B.12.5,12
C.12.5,11
D.12,11
2.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了 100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增 长率y的频数分布表.
y [-0.20,0) [0,0.20)
企业数
2
24
[0.20, 0.40)
53
[0.40, 0.60)
【解析】选D.由茎叶图中的数据,我们可得甲、乙两种树苗抽取的 样本高度分别为: 甲:19,20,21,23,25,29,31,32,33,37 乙:10,10,14,26,27,30,44,46,46,47 由已知易得: x甲=(19+20+21+23+25+29+31+32+33+37)÷10=27,
根据茎叶图计算有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数,并估计池塘中的红鲫鱼与 中国金鱼的数量.
【解析】由茎叶图可求出10次记录下的有记号的红鲫
鱼与中国金鱼数目的平均数均为20,故认为池塘中的红
鲫鱼与中国金鱼的数目相同,设池塘中两种鱼的总数是 x估,计则池有塘1 中4000的0＝红2鲫0x鱼00与，中即国x=2金0鱼004的01数0量00均=5为0 20500,00所0以 条,.可
【思维·引】1.弄清茎叶图中数据的个数和从小到大的排 列顺序,确定中位数、众数、极差. 2.先计算一天的平均利润的估计值,再估算五月份的总利 润;
【解析】1.选A.由题意知各数为12,15,20,22,23,23, 31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50, 50,51,51,54,57,59,61,67,68,中位数是46,众数是 45,最大数为68,最小数为12,极差为68-12=56.