重庆市第八中学2018-2019学年七年级下学期4月月考数学试题(含解析)

重庆市第八中学2018-2019学年七年级下学期4月月考数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．适合下列条件的ABC 中，直角三角形的个数为（ ）
①::1:2:3A B C ∠∠∠=；②A B C ∠+∠=∠；③90A B ∠=︒-∠；④2A B C ∠=∠=∠． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．根据下图所示程序计算函数值，若输入的x 的值为
5
2
，则输出的函数值为（ ）
A ．
32
B ．
25
C ．
425
D ．
254
3．若()()2
210x x a x bx +-=+-，则b 的值为（ ） A ．3-
B ．3
C ．5-
D ．5
4．如图，每个圆的半径都是1cm ，则图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ）
A ．
1
4
π B ．12
π
C ．
13
π D ．π
5．计算()2005
22001840.25⨯⨯-的值等于（ ）
A ．1
B ．1-
C ．
14
D ．14
-
6．已知：（x+y ）2=12，（x ﹣y ）2=4，则x 2+3xy+y 2的值为（ ） A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
7．如图是用长度相等的火柴棒按一定规律构成的图形，依次规律第10个图形中火柴棒的根数是（ ）
A ．45
B ．55
C ．66
D ．78
8．三边长是三个连续正整数，且周长不超过20的三角形共有（ ） A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
9．有3张边长为a 的正方形纸片，4张边长分别为a 、b （b ＞a ）的矩形纸片，5张边长为b 的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 A ．a+b
B ．2a+b
C ．3a+b
D ．a+2b
10．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，CE=3BE ，CF=2AF ，四边形CEDF 的面积为17，则△ABC 的面积为（ ）
A ．22
B ．23
C ．24
D ．25
11．多项式225441225x xy y x -+++的最小值为（ ） A ．4
B ．5
C ．16
D ．25
12．如图，点D 为△ABC 边BC 的延长线上一点．∠ABC 的角平分线与∠ACD 的角平分线交于点M ，将△MBC 以直线BC 为对称轴翻折得到△NBC ，∠NBC 的角平分线与∠NCB 的角平分线交于点Q ，若∠A=48°，则∠BQC 的度数为（ ）
A ．138°
B ．114°
C ．102°
D ．100°
二、填空题
13．若210x y -=，则542x y -+=__________．
14．如图,△ABE 和△ACD 是△ABC 分别以AB 、AC 为对称轴翻折180°形成的,若
∠1:∠2:∠3=29:4:3,则∠α的度数为_______.
15．观察：()()2
111x x x -+=-，()()
2
3
111x x x x -++=-，
()()324111x x x x x -+++=-，利用规律回答：如果：()541(a a a -++
321)0a a a ++++=，则20072006a a -=_______．
16．假设北碚万达广场地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．2019年元旦节期间，由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨6点开始经过________小时车库恰好停满． 17．一辆货车从A 地匀速驶往相距350km 的B 地，当货车行驶1小时经过途中的C 地时，一辆快递车恰好从C 地出发以另一速度匀速驶往B 地，当快递车到达B 地后立即掉头以原来的速度匀速驶往A 地．（货车到达B 地，快递车到达A 地后分别停止运动）行驶过程中两车与B 地间的距离y （单位：km ）与货车从出发所用的时间x （单位：
h ）间的关系如图所示．则货车到达B 地后，快递车再行驶______h 到达C 地．
18．如图，//PQ MN ，A 、B 分别为直线MN 、PQ 上两点，且45BAN ∠=︒，若射线AM 绕点顺时针旋转至AN 后立即回转，射线BQ 绕点B 逆时针旋转至BP 后立即回转，两射线分别绕点A 、点B 不停地旋转，若射线AM 转动的速度是a ︒/秒，射线BQ 转动的速度是b ︒/秒，且a 、b 满足()2
510a b -+-=．若射线AM 绕点A 顺时针先转动18秒，射线BQ 才开始绕点B 逆时针旋转，在射线BQ 到达BA 之前，问射线AM 再转动_______秒时，射线AM 与射线BQ 互相平行．
三、解答题 19．计算：
（1）2
03
1120192223-⎡⎤⎛⎫-⨯÷⨯-÷⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
（2）()()()()22
2a b a b a b a b +-++-- （3）()()()2
222a b c a b c a b c -++--++
20．先化简，再求值：()()()()()1222112a b a b a b b b b a ÷⎡⎤⎣⎪⎛⎫
+--+--⎦++ ⎝⎭
，其中a 、b 满足()2
1210a b ++-=．
21．请将下列证明过程补充完整：如图，在ABC 中，//DE BC ，//GF AB ，
ABC DEH ∠=∠，求证：//GF EH ．
证明：∵//DE BC （已知）
∴DEB EBH ∠=∠（___________________________） ∵ABC DEH ∠=∠（已知）
∴ABC EBH DEH DEB ∠-∠=∠-∠ 即ABE BEH ∠=∠
∴________∥_________（_______________________________） ∵//GF AB （已知）
∴//GF EH （_______________________________）． 22．计算： （1）已知213a b -=
，5
13
b c -=，2221a b c ++=，求ab bc ca ++的值．
（2）2
22
2019201820192017201920192
+-． 23．已知a ，b ，c 为实数，且多项式32x ax bx c +++能被多项式234x x +-整除， （1）求4a c +的值； （2）求22a b c --的值；
（3）若a ，b ，c 为整数，且1c a ≥>，试确定a ，b ，c 的值．
24．某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过8立方米，则按每立方米1.5元收费；若每月用水超过8立方米不超过20立方米，则超过8立方米的部分按每立方米a 元收费；若每月用水超过20立方米，则超过20立方米的部分按每立方米4元收费．
（1）如果某居民户今年5月用水14立方米，缴纳了27元水费，求a 的值；
（2）设每月用水量为x 立方米，应缴水费为y 元，求y 与x 的关系式及x 的取值范围； （3）小明家4、5两个月一共用水30立方米，两次一共缴纳水费60.5元．试确定4月份和5月份小明家分别用水多少立方米？
（4）某栋老旧居民楼由于大部分水龙头老化，导致水的浪费情况严重，为此居民们准备用365元购买两种水龙头进行更换，其中甲种水龙头20元/个，乙种水龙头35元/个，在钱都用尽的条件下，有多少种购买方案？ 25．阅读理解
如图1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C 的平分线A n B n+1折叠，点B n 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC 是△ABC 的好角．
小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角∠BAC 的平分线AB 1折叠，点B 与点C 重合；情形二：如图3，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，此时点B 1与点C 重合． 探究发现
△ABC 中，∠B=2∠C ，经过两次折叠，∠BAC 是不是△ABC 的好角？ （填“是”或“不是”）．
小丽经过三次折叠发现了∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）之间的等量关系为 ．
根据以上内容猜想：若经过n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C （不妨设
∠B ＞∠C ）之间的等量关系为 ． 应用提升
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．
请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．
26．如图①，在矩形 ABCD 中，AB=30cm ，BC=60cm ．点P 从点A 出发，沿A→B→C→D 路线向点D 匀速运动，到达点D 后停止；点Q 从点D 出发，沿 D→C→B→A 路线向点A 匀速运动，到达点A 后停止．若点P 、Q 同时出发，在运动过程中，Q 点停留了1s ，图②是P 、Q 两点在折线AB-BC-CD 上相距的路程S （cm ）与时间t （s ）之间的函数关系图象．
（1）请解释图中点H 的实际意义？ （2）求P 、Q 两点的运动速度； （3）将图②补充完整；
（4）当时间t 为何值时，△PCQ 为等腰三角形？请直接写出t 的值． 27．已知实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，2221a b c ++=，求(
)555
a b c abc ++÷的
值．
参考答案
1．C
【分析】
根据三角形的内角和是180°对①②③④中△ABC的形状作出判断即可．
【详解】
解：①∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，
∴x+2x+3x=180°，解得x=30°，
∴∠C=3x=90°，
∴△ABC是直角三角形，故①正确；
②∵∠A+∠B=∠C，
∴2∠C=180°，解得∠C=90°，故②正确；
③∵∠A=90°-∠B，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠C=180°-90°=90°，故本③正确；
④∵∠A=∠B=2∠C，
∴5∠C=180°，解得∠C=36°，
∴∠A=∠B=72°，故④错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．2．B
【分析】
判断x=5
2
在哪个函数式的范围内，代入求值即可．
【详解】
根据所给的函数关系式所对应的自变量的取值范围，发现：当x=5
2
时，在2≤x≤4之间，所
以将x的值代入对应的函数即可求得y的值：
112 y===
5
x5
2
.
故选B．
3．A
【分析】
由多项式乘以多项式的运算法则求解可求得原式=x2+（2-a）x-2a，继而可得2-a=b，-2a=-10，即可求得答案．
【详解】
∵（x+2）（x-a）=x2-ax+2x-2a=x2+（2-a）x-2a=x2+bx-10，
∴2-a=b，-2a=-10，
解得：a=5，b=-3，
故选：A．
【点睛】
此题考查了多项式乘多项式的知识.注意熟记多项式乘以多项式的运算法则是关键．
4．B
【分析】
根据三角形的内角和是180°和扇形的面积公式进行计算即可．
【详解】
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴阴影部分的面积为：
2
1801
360
π
⨯⨯
=
1
2
π，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和，扇形面积的计算，掌握知识点是解题关键．
5．D
【分析】
先将前两项化成同底数幂，然后合并同类项化为同指数得到42004×（-0.25）2004×（-0.25），再将前两项合并即可．
【详解】
82×42001×（-0.25）2005
=43×42001×（-0.25）2005
=42004×（-0.25）2004×（-0.25）
=-0.25×（-4×0.25)2004
=
1 4
故选：D．
【点睛】
本题考查了有理数的乘方，根据法则细心运算是解题关键．
6．D
【分析】
由于（x+y）2=12，（x-y）2=4，两式相加可得x2+y2的值，两式相减可得xy的值，再整体代入计算即可求解．
【详解】
解：∵（x+y）2=12①，（x-y）2=4②，
∴①+②得2（x2+y2）=16，解得x2+y2=8，①-②得4xy=8，解得xy=2，
∴x2+3xy+y2=8+3×2=14．
故选D．
【点睛】
本题主要考查多项式的乘法法则和完全平方公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用整体代入的思想解决问题.
7．C
【分析】
由已知图形可以发现：第1个图形中，有3根火柴．第2个图形中，有3+3＝6根火柴．第3个图形中，有3+3+4＝10根火柴，以此类推可得：第10个图形中，所需火柴的根数是
3+3+4+5+6+7+8+9+10+11＝66根．
【详解】
解：分析可得：第1个图形中，有3根火柴．
第2个图形中，有3+3＝6根火柴．
第3个图形中，有3+3+4＝10根火柴．
…；
第10个图形中，共用火柴的根数是3+3+4+5+6+7+8+9+10+11＝66根．
故选C．
【点睛】
本题考查了规律型中的图形变化问题，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
8．B
【分析】
首先根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长，得到三角形的三边都不能大于7；再结合三角形的两边之差小于第三边分析出所有符合条件的三角形个数．
【详解】
解：根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长不超过20，则其中的任何一边不
能超过7；
再根据两边之差小于第三边，则这样的三角形共有2，3，4；3，4，5；4，5，6；5，6，7
四个．
故选B．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系，注意三角形的三条边长为三个连续正整数的限定．
9．D
【解析】
试题分析：3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，
4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片的面积是4ab，
5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，
∵a2+4ab+4b2=（a+2b）2，
∴拼成的正方形的边长最长可以为（a+2b，．
故选D．
10．C
【分析】
本题需先分别求出S△BED=1
3
S△CED，S△AFD=
1
2
S△CDF，S△ACD=S△BCD，再根据S△CDE+S△CDF=17，
列出方程组，解方程组即可求出结果．【详解】
连接CD，
∵四边形CEDF 的面积为17，设S △CED =x ，S △CFD =y ，
∴x+y=17，
∴CE=3BE ，CF=2AF ，
∴S △BED =13S △CED =13
x ，S △AFD =12S △CDF =12y ， ∵D 为AB 的中点，
∴S △ACD =S △BCD ，
∴x+13x=y+12y ， ∴17433
2x y x y ＝＝+⎧⎪⎨⎪⎩， 解得98x y ＝＝⎧⎨⎩
， ∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =
43×9+32
×8=24． 故选C ．
【点睛】
本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形的面积，然后求出三角形面积的和．
11．C
【详解】
解：∵225441225x xy y x -+++， =2224441225x xy y x x -++++，
=2224 1.516x y x -+++（）（），
∴当22204 1.50x y x -=+=（），（）时，原式最小，
∴多项式225441225x xy y x -+++的最小值为16，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了完全平方公式的应用，正确的将原式分解为两个完全平方公式是解决问题的关键．
12．C
【分析】
设∠ABC＝a°，根据外角定理可知，∠ACD＝∠A＋∠ABC＝48°＋a°，∵CM平分∠ACD，
∴∠ACM＝1
2
∠ACD＝24°＋
a
2
°，而根据三角形内角和等于180°可知，∠ACB＝180°－∠A
－∠ABC＝132°－a°，故∠BCM＝∠ACB＋∠ACM＝156°－a
2
°，∵△MBC以直线BC为对
称轴翻折得到△NBC，BM平分∠ABC，∴∠BCM＝∠BCN＝156°－a
2
°，∠CBN＝∠CBM
＝1
2
∠ABC＝
a
2
°，∵∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC＝
1
2
∠NBC＝a
4
°，∠QCB＝
1
2
∠NCB＝78°－
a
4
°，故根据根据三角形内角和等于180°，∠BQC
＝180°－∠QCB－∠QBC，未知数抵消，求出∠BQC的值.
【详解】
设∠ABC＝a°，根据外角定理可知，∠ACD＝∠A＋∠ABC＝48°＋a°，∵CM平分∠ACD，
∴∠ACM＝1
2
∠ACD＝24°＋
a
2
°，而根据三角形内角和等于180°可知，∠ACB＝180°－∠A
－∠ABC＝132°－a°，故∠BCM＝∠ACB＋∠ACM＝156°－a
2
°，∵△MBC以直线BC为对
称轴翻折得到△NBC，BM平分∠ABC，∴∠BCM＝∠BCN＝156°－a
2
°，∠CBN＝∠CBM
＝1
2
∠ABC＝
a
2
°，∵∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC＝
1
2
∠NBC＝a
4
°，∠QCB＝
1
2
∠NCB＝78°－
a
4
°，故根据根据三角形内角和等于180°，∠BQC
＝180°－∠QCB－∠QBC＝180°－78°＋a
4
°－
a
4
°＝102°，故答案选C.
【点睛】
本题主要考查了角平分线的基本性质、对称轴图形的基本性质以及三角形的基本性质，解本题的要点在于角的转化，利用已知角来求出未知角.
13．−15
【分析】
首先化简5−4x＋2y为5−2（2x−y），然后把2x−y＝10代入，求出算式的值是多少即可．【详解】
解：5−4x＋2y＝5−2（2x−y），
当2x−y＝10时，
原式＝5−2×10＝5−20＝−15，
故答案为−15．
【点睛】
此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：求代数式的值可以直接代入计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
14．70°
【分析】
根据轴对称的性质可得∠ACB=∠ACD，∠ABC=∠EBA，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可∠2+∠3的度数，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠α．
【详解】
解：由题可得，∠ACB=∠ACD，∠ABC=∠EBA，
∵∠1：∠2：∠3=29：4：3，
∴∠2+∠3=180°×7
36
=35°，
∴∠α=∠EBC+∠DCB=2（∠2+∠3）=2×35°=70°，
故答案为70°．
【点睛】
本题考查轴对称的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并表示出∠α是解题的关键．
15．0或-2
【分析】
首先根据规律得出a6=1，求出a=±1，再分别代入计算即可．
【详解】
解：根据题意得：（a-1）（a5+a4+a3+a2+a+1)=a6-1=0，
∴a6=1，
∴a=±1，
当a=1时，a 2007-a 2006=1-1=0；
当a=-1时，a 2007-a 2006=-1-1=-2；
故答案为：0或-2．
【点睛】
本题考查了特殊的整式乘法运算，根据题意得出的规律进行计算求值是解题的关键．
16．3215
【分析】
设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，根据“如果开放2个进口和3个出口，8个小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2个小时车库恰好停满．”列出方程组求得x 、y ，进一步代入求得答案即可．
【详解】
设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，车位总数为a ，由题意得：
82375%23275%x y a x y a （）（）-=⎧⎨-=⎩
解得：316332x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 则60%a ÷（2x -y ）=60%a ÷（
316a ×2332-a ）＝3215（小时）． 故答案为3215
． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
17．8140
【分析】
由题意货车的速度=350-270=80km/h ，设快递车的速度为x km/h ，构建方程求出x ，再求出相遇后两车分别到达目的地的时间即可解决问题．
【详解】
由题意货车的速度=350-270=80km/h ，设快递车的速度为x km/h ，
则有：()3802702x +=⨯，
解得：x =100，
∴两车相遇后，快递车需要
32080121005-=小时到达C 地，货车需要303808
=小时到达B 地， ∴货车到达B 地后，快递车再行驶123h 580
814-=到达C 地． 故答案为：8140． 【点睛】
本题考查了一次函数的应用，行程问题的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会准确寻找等量关系构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
18．15或22.5
【分析】
先由题意得出a ，b 的值，再推出射线AM 绕点A 顺时针先转动18秒后，
AM 转动至AM '的位置，∠MAM '=18°×5=90°，然后分情况讨论即可．
【详解】 ∵()2
510a b -+-=，
∴a=5，b=1，
设射线AM 再转动t 秒时，射线AM 、射线BQ 互相平行，如图，射线AM 绕点A 顺时针先
转动18秒后，AM 转动至AM '的位置，∠MAM '=18°×5=90°，分两种情况：
①当9＜t ＜18时，如图，∠QBQ '=t°，∠M 'AM"=5t°，
∵∠BAN=45°=∠ABQ ，
∴∠ABQ '=45°-t°，∠BAM"=5t-45°，
当∠ABQ '=∠BAM"时，BQ '//AM"，
此时，45°-t°=5t-45°，
解得t=15；
②当18＜t ＜27时，如图∠QBQ '=t°，∠NAM"=5t°-90°，
∵∠BAN=45°=∠ABQ ，
∴∠ABQ '=45°-t°，∠BAM"=45°-（5t°-90°）=135°-5t°，
当∠ABQ '=∠BAM"时，BQ '//AM"，
此时，45°
-t°=135°-5t ， 解得t=22.5；
综上所述，射线AM 再转动15秒或22.5秒时，射线AM 射线BQ 互相平行．
故答案为：15或22.5
【点睛】
本题考查了非负数的性质，平行线的判定，完全平方公式，掌握知识点是解题关键．
19．（1）9-
2；（2）262ab b -；（3）228242b c ab ac ---- 【分析】
根据零指数幂，负整数指数幂，完全平方公式，平方差公式，多项式乘以多项式的运算法则以及实数的运算法则进行计算即可．
【详解】
（1）原式=-1×2×2×（9÷
8） =-4×98 =9-2
； （2）原式=2222222242a b a ab b a ab b -+++-+-
=262ab b -；
（3）
原式=
()2222222242222422a ab ac ab b bc ac bc c a ab ac ab b bc ac bc c +---+++--++++++++
=()222222444244a b bc c a ab ac b bc c -+--+++++
=222222444244a b bc c a ab ac b bc c -+-------
=228242b c ab ac ----．
【点睛】
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，完全平方公式，平方差公式，多项式乘以多项式的运算法则和实数的运算法则，细心运算是解题关键．
20．3
【分析】
根据多项式乘多项式的法则展开化简，再根据非负数的性质求出a 、b 代入计算即可．
【详解】
原式=（2a 2-ab+4ab-2b 2-2a+2ab-b+b 2+b+b 2）÷（-12
a ） =（2a 2+5ab-2a ）÷（-
12
a ） =（2a 2+5ab-2a ）×（-2a ） =-4a-10b+4
∵()21210a b ++-=，（a+1）2≥0，|2b-1|≥0，
∴（a+1）2=│2b -1│=0，
∴a+1=0，2b-1=0，
∴a=-1，b=12
， ∴原式=-4×（-1）-10×1
2+4
=4-5+4
=3．
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式的法则，非负数的性质，根据非负数的性质求出a ，b 的值是解题关键．
21．两直线平行，内错角相等；AB ，EH ，内错角相等，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行那么这两条直线平行
【分析】
根据平行线的性质得到∠DEB=∠EBH ，再根据∠ABC=∠DEH ，即可得出∠ABE=∠BEH ，进而判定AB ∥EH ，再根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，即可得出结论．
【详解】
证明：DE//BC （已知），
∴∠DEB=∠EBH （两直线平行，内错角相等），
∵∠ABC=∠DEH （已知），
∴∠ABC-∠EBH=∠DEH-∠DEB ，
即∠ABE=∠BEH ，
∴AB//EH （内错角相等，两直线平行），
∴GF//AB （已知），
∴GF//EH （两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行）．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，掌握知识点是解题关键．
22．（1）130169
；（2）12 【分析】 （1）根据已知条件213a b -=，513b c -=，求得713
a c -=，然后由()()()
()()22222222a b b c a c a b c ab bc ca -+-+-=++-++，即可求得ab bc ca
++的值； （2）利用换元法和完全平方公式对原式进行化简计算即可．
【详解】
解：（1）由已知得213a b -=
①，513
b c -=②， 由①+②，得7+13
a b b c a c --=-=， ∵()()()2224254978++=169169169169a b b c a c -+-+-=， ∴()()()()()2222227822=169
a b b c a c a b c ab bc ca -+-+-=++-++， ∵2221a b c ++=，
∴()7822=
169
ab bc ca -++， ∴计算可得ab bc ca ++=130169； （2）设20192018=x ，
则原式=()()222112x x x -++- =2
2221212
x x x x x -++++- =2
22x x
=12
． 【点睛】
点评:本题考查了完全平方公式和换元法，对式子进行合理变形是解题关键．
23．（1）12；（2）14；（3）a=2，b=-7，c=4
【分析】
（1）由于多项式32x ax bx c +++能被多项式234x x +-整除，则说明234=0x x +-，求出的x 也能使32=0x ax bx c +++，从而得到关于a 、b 、c 的两个等式，对两个等式变形,可得4a+c=12③；
（2）由③可得a=3-
4c ④，把④代入①，可得b=-4-34c ⑤，然后把④⑤同时代入2a-2b-c 即可求值；
（3）由于c≥a ＞1，又a=3-
4c ，可知1＜3-4c ＜3，即可求出c 的范围，但是a 、c 是大于1的正整数，且a=3-
4
c ，即可求出c ，从而即可求出a ，b ． 【详解】
解：（1）234x x +-是32x ax bx c +++的一个因式，
∴234=0x x +-，解得x=-4，x=1，
即x=-4，x=1是方程32=0x ax bx c +++的解，
∴116464a b c a b c ++=-⎧⎨-+=⎩
①②， ①×4+②得4a+c=12③；
（2）由③得a=3-
4c ④， 代入①得b=-4-34
c ⑤， ∴2a-2b-c=2×（3-4c ）-2（-4-34c ）-c=6-2c +8+32
c -c=14； （3）∵c≥a ＞1，又a=3-4
c ， ∴a=3-4
c ＜c ， 即1＜3-4
c ＜c ， 解得125
＜c ＜8， 又∵ a 、c 是大于1的正整数，
∴c=3、4、5、6、7，但a=3-
4c ，a 也是正整， ∴c=4，
∴a=2，
∴b=-4-34
c=-7， 综上：a=2，b=-7，c=4．
【点睛】
本题考查的是多项式除以多项式，理解整除的含义是解题关键．
24．（1）a=2.5；（2）()()()1.582.5882043820x x y x x x x ⎧≤⎪=-<≤⎨⎪->⎩
；（3）小明家4、5月份用水量是9立方米
和21立方米或4、5月份用水量是21立方米和9立方米；（4）有两种购买方案
【分析】
（1）根据题意得1.5×
8+（14-8）a=27，解方程即可； （2）根据题意得出每一部分的表达式即可；
（3）设小明家4月份用水b 立方米，则5月份用水（30-b ）立方米，然后由两个月的用水
量30立方米，可得两个月的用水量不可能都不超过8立方米，也不可能都超过20立方米，再分类讨论即可；
（4）设甲种水龙头有m个，乙种水龙头有n个，得20m+35n=365，约分得4m+7n=73，讨论m、n都为整数时符合题意的值即可．
【详解】
解：（1）由题意得1.5×8+（14-8）a=27，
解得a=2.5；
（2）由题意得：①当x≤8时，y=1.5x；
②当8＜x≤20时，y=1.5×8+2.5（x-8）=2.5x-8；
③当x＞20时，y=1.5×8+2.5×（20-8）+4×（x-20）=4x-38；
即
()
()
()
1.58
2.58820
43820
x x
y x x
x x
⎧≤
⎪
=-<≤
⎨
⎪->
⎩
；
（3）设小明家4月份用水b立方米，则5月份用水（30-b）立方米，
∵两个月的用水量30立方米，
∴可得两个月的用水量不可能都不超过8立方米，也不可能都超过20立方米，
①当8＜b＜10时，此时4月份用水量在第二档，而5月份用水量在第三档，
故2.5b-8+4（30-b）-38=60.5，
解得b=9，此时30-b=21；
②当10≤b≤20时，此时4月份用水量在第二档，而5月份用水量在第二档，
故2.5b-8+2.5（30-b）-8=60.5，不合题意，舍去；
③当20＜b＜22时，4月份用水量在第三档，而5月份用水量在第二档，
故4b-38+2.5（30-b）-8=60.5，
解得b=21，此时30-b=9，
综上所述，小明家4、5月份用水量是9立方米和21立方米或4、5月份用水量是21立方米和9立方米；
（4）设甲种水龙头有m个，乙种水龙头有n个，
20m+35n=365，
即4m+7n=73，
∵m、n都为整数，
∴此时可得出两种情况：
13
3
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
或
6
7
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
，
检验：4×13+7×3=52+21=73（元），
4×6+7×7=24+49=73（元），
答：有两种购买方案．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用和二元一次方程的应用，根据题意列式是解题关键．25．（1）是；（2）∠B=n∠C；（3）4º，172º；8º，168º；16º，160º；44º，132º；88º，88º．【解析】
试题分析：（1）仔细分析题意根据折叠的性质及“好角”的定义即可作出判断；
（2）因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折叠的∠A2B2C=∠C，由
∠ABB1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C，由此即可求得结果；
（3）因为最小角是4º是△ABC的好角，根据好角定义，则可设另两角分别为4mº，4mnº（其中m、n都是正整数），由题意得4m+4mn+4=180，所以m(n+1)=44，再根据m、n都是正整数可得m与n+1是44的整数因子，从而可以求得结果．
（1）由题意得∠BAC是△ABC的好角；
（2）因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折叠的∠A2B2C=∠C
因为∠ABB1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，
∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，
所以∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C
由此可猜想若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B=n∠C；
（3）因为最小角是4º是△ABC的好角，
根据好角定义，则可设另两角分别为4mº，4mnº（其中m、n都是正整数）．
由题意，得4m+4mn+4=180，所以m(n+1)=44．
因为m、n都是正整数，所以m与n+1是44的整数因子，
因此有：m=1，n+1=44；m=2，n+1=22；m=4，n+1=11；m=11，n+1=4；m=22，n+1=2．
所以m=1，n=43；m=2，n=21；m=4，n=10；m=11，n=3；m=22，n=1．
所以4m=4，4mn=172；4m=8，4mn=168；4m=16，4mn=160；4m=44，4mn=132；4m=88，4mn=88．
所以该三角形的另外两个角的度数分别为：4º，172º；8º，168º；16º，160º；44º，132º；88º，88º．
考点：折叠问题的综合题
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.
26．（1）图中点H的实际意义：P、Q两点相遇；(2) P点速度为30cm/s，Q点速度为15cm/s；
(3)补图见解析；（4）t=2
3
或t=5或t=8秒时，△PCQ为等腰三角形．
【分析】
（1）根据P、Q两点在折线AB-BC-CD上相距的路程S（cm）与时间t（s）之间的函数关系图象得出H点时两点相遇；
（2）利用函数图象得出当两点在F点到G点两点路程随时间变化减慢得出此时Q点停留，只有P点运动，再利用纵坐标的值得出P点和Q点运动速度；
（3）根据4秒后，P点到达D点，只有Q点运动，根据运动速度为15cm/s，还需要运动120-45=75（cm），则运动时间为：75÷15=5（s），进而画出图象即可；
（4）根据Q，P的位置不同，进行分类讨论得出答案即可．
【详解】
解：（1）图中点H的实际意义：P、Q两点相遇；
（2）由函数图象得出，当两点在F点到G点两点路程随时间变化减慢得出此时Q点停留1秒，只有P点运动，此时纵坐标的值由75下降到45，
故P点运动速度为：30cm/s，再根据E点到F点S的值由120变为75，根据P点速度，得出Q点速度为120-75-30=15（cm/s），
即P点速度为30cm/s，Q点速度为15cm/s；
（3）如图所示：根据4秒后，P点到达D点，只有Q点运动，根据运动速度为15cm/s，
还需要运动120-45=75（cm），则运动时间为：75÷15=5（s），画出图象即可；
（4）如图1所示，
当QP=PC ，此时12QC=BP ，即30-30t=12
（30-15t ），
解得：t=
23
， 故当时间t=23时，△PCQ 为等腰三角形， 如图2所示，
当D ，P 重合，QD=QC 时，
Q 为AB 中点，则运动时间为：（15+60+30）÷15+1=8（s ），
故当时间t=8s 时，△PCQ 为等腰三角形．
若PC=CQ
故90-30t=30-15t
解得：t=4
则4+1=5（S ）
综上所述：t=
23或t=5或t=8秒时，△PCQ 为等腰三角形． 【点睛】
本题考查动点问题的函数图象．
27．52
【分析】 由0a b c ++=和2221a b c ++=两式变形得出2
12ab c =-，212ac b =-，212bc a =-，
再将原式变形为222222222111111+++2222111+++4422+1122
412a a b b c c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭+---，计算即可．
【详解】
∵0a b c ++=，
∴-a b c +=，两边同时平方得()()22-a b c +=，
即2222a ab b c ++=，
∴()2222-ab c a b =+，
又∵2221a b c ++=，
∴2221-a b c +=，
∴()2222-1-c
21ab c c ==-， 即212
ab c =-， 同理可得212ac b =-，212
bc a =-， 原式=()
5551a b c abc ++⨯ =444
+a b c bc ac ab
+ =44224
2+111222
a b c a b c +--- =4424221111+11111-2+-+-+4444422
4a b c a b c +--- =222222222111111+++2222111+++4422+1122
412a a b b c c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭+---
=222222111444
+++111+++22++1121222a c a b b c ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭--- =222111+++111
444+++2++22bc a a b c c ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭ =222111++++222111444++++a b c abc abc ab a b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭ =2221+++111+
+++4222a b c ab a b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =222111+++
++222a b c =1111+
++222 =52
． 【点睛】
本题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是对代数式进行变形．。