2024学年山东省德州市陵城区一中高三数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析

2024学年山东省德州市陵城区一中高三数学第一学期期末质量检测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数1()1x
x
e f x e
+=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（ ） A ． B ． C ．
D ．
2．已知函数32,0()ln ,0
x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1
(())f f e =（ ）
A ．
3
2
B ．1
C ．-1
D ．0
3．()()5
2122x x --的展开式中8
x
的项的系数为（ ）
A ．120
B ．80
C ．60
D ．40
4．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ） （结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg30.4771≈，lg 20.3010≈） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．已知复数2
(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
7．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．双曲线C ：2215x y m
-=（0m >）
，左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．250x y ±=
B ．250x y ±=
C ．520x y ±=
D ．50x y ±=
9．已知集合(){}
lg 2A x y x ==-，集合1244x B x ⎧⎫
=≤≤⎨⎬⎩⎭
，则A B =（ ） A ．{}
2x x >-
B ．{}
22x x -<<
C ．{}
22x x -≤<
D ．{}
2x x <
10．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．920π+
B ．926π+
C ．520π+
D ．526π+
11．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个
以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2
2()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）
A ．134
B ．866
C ．300
D ．500
12．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}
|216x
B x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．∅
B ．R
C ．(],4-∞
D ．(),4-∞
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知抛物线()2
20y px p =>的焦点和椭圆22143
x y +=的右焦点重合，直线过抛物线的焦点F 与抛物线交于P 、
Q 两点和椭圆交于A 、B 两点，M 为抛物线准线上一动点，满足8PF MF +=，3
MFP π
∠=
，当MFP 面积最
大时，直线AB 的方程为______.
14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()21n n S a =+，则满足126n
S =-的正整数n 的值为______.
15．8
23x x ⎛
⎝
的展开式中二项式系数最大的项的系数为_________（用数字作答）.
16．某学习小组有4名男生和3名女生.若从中随机选出2名同学代表该小组参加知识竞赛，则选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为___________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知椭圆E ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 和2F ，右顶点为A ，且13AF =，短轴
长为3（1）求椭圆E 的方程；
（2）若过点A 作垂直x 轴的直线l ，点T 为直线l 上纵坐标不为零的任意一点，过2F 作2TF 的垂线交椭圆E 于点P 和
Q ，当
272
||
24
TF PQ =
时，求此时四边形1TPFQ 的面积.
18．（12分）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．
（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(
,)3
m
m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．
19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线l
的参数方程为22cos 2x y θθ=+⎧⎪
⎨=⎪⎩
（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ. （1）求曲线C 的普通方程；
（2）求曲线l 和曲线C 的公共点的极坐标.
20．（12分）已知在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c
，c =3cos 5
C =.
（1）若4
B π
=
，求a 的值；
（2）若5b =，求ABC ∆的面积.
21．（12分）若不等式1240x x a ++⋅>在(]0,1x ∈时恒成立，则a 的取值范围是__________. 22．（10分）已知0,a b a c d >≥≥≥，且ab cd ≥． （1）请给出,,,a b c d 的一组值，使得2()a b c d ++≥成立； （2）证明不等式a b c d ++≥恒成立．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解题分析】
由题意得，函数点定义域为x ∈R 且0x ≠，所以定义域关于原点对称，
且()1111()1111x
x x x
x x e e e f x f x e e e ----+
++-=
==-=----，所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 故选D. 2、A 【解题分析】
由函数32,0()ln ,0
x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，求得11()ln 1f e e ==-，进而求得1
(())f f e 的值，得到答案.
【题目详解】
由题意函数32,0
()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩
，
则1
1()ln
1f e e ==-，所以1313
(())(1)2(1)2
f f f e -=-=--=，故选A. 【题目点拨】
本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3、A 【解题分析】
化简得到()()
()()5
5
5
212222222x x x x x =⋅-----，再利用二项式定理展开得到答案.
【题目详解】
()()()()5
5
5
2
122
222
22x
x x
x x =⋅-----
展开式中8x 的项为()
()2
3
23
3255
2C 22C 221208x x
x x
---=⨯. 故选：A 【题目点拨】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力. 4、C 【解题分析】
利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可． 【题目详解】
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高
分，平均成绩为低于
分，①错误；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间
内，②正确；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确； ④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确． 故选：C ． 【题目点拨】
本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 5、C 【解题分析】
由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n 天后长度，进而可得：131212212112
n
n ⎛
⎫- ⎪-⎝⎭⨯=--，解出即可得出． 【题目详解】
由题意可得莞草与蒲草第n 天的长度分别为1
113,122n n n n a b --⎛⎫=⨯=⨯ ⎪⎝⎭
据题意得：131212212112
n
n ⎛
⎫- ⎪-⎝⎭⨯=--， 解得2n ＝12， ∴n 122
lg lg =
=23
2lg lg +≈1． 故选：C ． 【题目点拨】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6、B 【解题分析】
分别比较复数z 的实部、虚部与0的大小关系，可判断出z 在复平面内对应的点所在的象限. 【题目详解】
因为1a >时，所以10a -<，210a ->，所以复数z 在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【题目点拨】
本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 7、C
【解题分析】
讨论当1a >时，2210ax x ++>是否恒成立；讨论当2210ax x ++>恒成立时，1a >是否成立，即可选出正确答案. 【题目详解】
解：当1a >时，440a ∆=-<，由2
21y ax x =++开口向上，则2210ax x ++>恒成立； 当2210ax x ++>恒成立时，若0a =，则210x +> 不恒成立，不符合题意，
若0a ≠ 时，要使得2
210ax x ++>恒成立，则0440a a >⎧
⎨
∆=-<⎩
，即1a > . 所以“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的充要条件. 故选:C. 【题目点拨】
本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若p q ⇒，则推出p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则推出p 是q 的必要条件. 8、B 【解题分析】
0=，再利用左焦点到渐近线的距离为2，列方程即可求出m ，进而求出渐近线的方程. 【题目详解】
设左焦点为(),0c -
0=，由左焦点到渐近线的距离为2
2==，
所以渐近线方程为y =
20x =, 故选：B 【题目点拨】
本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题. 9、C 【解题分析】
求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可. 【题目详解】
解：∵{}
2A x x =<,{}
22B x x =-≤≤,
∴{}
22A B x x ⋂=-≤<, 故选：C. 【题目点拨】
本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题. 10、C 【解题分析】
根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积. 【题目详解】
由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积
21
12141222
S ππ=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯14224520π+⨯⨯+⨯=+，故选C.
【题目点拨】
本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养. 11、A 【解题分析】
分析：设三角形的直角边分别为1.
解析：设三角形的直角边分别为1，则弦为2，故而大正方形的面积为4，小正方形的面积为
)
2
14=-
∴图钉落在黄色图形内的概率为4242-=.
∴落在黄色图形内的图钉数大约为1000134≈.
故选：A.
点睛：应用几何概型求概率的方法
建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量． (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；
(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；
(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型． 12、D
【解题分析】
先化简{}
{}|216|4x
B x x x =<=<，再根据{}|,A x x a a R =≤∈，且A B 求解.
【题目详解】
因为{}
{}|216|4x
B x x x =<=<，
又因为{}|,A x x a a R =≤∈，且A B ， 所以4a <. 故选：D 【题目点拨】
本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、)1y x =- 【解题分析】
根据均值不等式得到16PF MF ⋅≤，MFP S ≤△AB 的倾斜角为3
π
，计算得到直线方程. 【题目详解】
由椭圆22
143x y +=，可知1c =，12p =，2p =，24y x ∴=，
1sin 23MFP S PF MF MF π=
⋅=⋅△，
8PF MF =+≥16PF MF ⋅≤，
16MFP S MF =
⋅≤=△4PF MF ==，等号成立）
， 4MF =，12F F =，16
FMF π
∴∠=
，13
MFF π
∠=
，
∴直线AB 的倾斜角为
3
π
，∴直线AB 的方程为)1y x =-.
故答案为：)1y x =-.
【题目点拨】
本题考查了抛物线，椭圆，直线的综合应用，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 14、6 【解题分析】
已知()21n n S a =+，利用1122n n n n n a S S a a --=-=-，求出{}n a 通项，然后即可求解 【题目详解】
∵()21n n S a =+，∴当1n =时，()1121S a =+，∴12a =-；当2n ≥时，
1122n n n n n a S S a a --=-=-，∴12n n a a -=，故数列{}n a 是首项为-2，公比为2的等比数列，∴2n
n a =-.又()21126n n S a =+=-，∴64n a =-，∴264n -=-，
∴6n =. 【题目点拨】
本题考查通项求解问题，属于基础题 15、5670 【解题分析】
根据二项式展开的通项，可得二项式系数的最大项，可求得其系数. 【题目详解】
二项展开式一共有9项，所以由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第5项，系数为44
835670C =.
故答案为：5670 【题目点拨】
本题考查了二项式定理展开式的应用，由通项公式求二项式系数，属于中档题. 16、
47
【解题分析】
从7人中选出2人则总数有2
7C ，符合条件数有1
1
43C C ⋅，后者除以前者即得结果
【题目详解】
从7人中随机选出2人的总数有2721C =，则记选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为事件A ， ∴114327124()217
C C P A C ⋅=== 故答案为：47
【题目点拨】
组合数与概率的基本运用，熟悉组合数公式
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）22143
x y +=（2
【解题分析】
（1
）依题意可得2223a c b a b c +=⎧⎪=⎨⎪=+⎩
，解方程组即可求出椭圆的方程；
（2）设(2,)(0)T m m -≠
，则2TF =PQ 的方程为1x my =+，联立直线与椭圆方程，消去x ，设
()11,P x y ，()22,Q x y ，列出韦达定理，即可表示||PQ
，再根据
2||TF PQ =m ，从而得出TPQ S ∆，最后由点1F 到直线PQ 的距离得到1TPQ F PQ S S ∆∆=，由112TPQ F PQ TPQ TPF Q S S S S ∆∆∆=+=四边形即可得解；
【题目详解】
解：（1
）∵2223a c b a b c +=⎧⎪=⎨⎪=+⎩
，∴解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴椭圆E 的方程为22
143
x y +=. （2）∵(2,0)A ，∴可设(2,)(0)T m m -≠
，∴2TF =
∵221TF m k m -==--， ∴1PQ k m
=，∴设直线PQ 的方程为1x my =+， ∴22114
3x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴()2234690m y my ++-=，显然>0∆恒成立.
设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， ∴()()()()222212121212||PQ x x y y m y y y y =-+-=-+-⎡⎤⎣
⎦ ()()()()222221212222121636141343434m m m y y y y m m m m +⎡⎤-⎛⎫⎡⎤=++-=++=⎢⎥ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦
. ∴()222
2223434721||24121121TF m m m PQ m m ++=+⋅==++， ∴4218170m m --=，∴解得21m =，解得1m =±，
∴22TF =，24||7PQ =，∴1241222277
TPQ S ∆=⨯⨯=. ∵此时直线PQ 的方程为10x y ±-=，1(1,0)F -，
∴点1F 到直线PQ 的距离为|11|
22d --==，
∴11
24227
TPQ F PQ TPQ TPF Q S S S S ∆∆∆=+==四边形， 即此时四边形1
TPFQ 的面积为2427. 【题目点拨】 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
18、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，47-或47+．
【解题分析】
试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；
（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k =-
．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需
，如果有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.
试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．
∴由2229y kx b
x y m =+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=，
∴12229M x x kb x k +==-+，299
M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k =
=-，即9OM k k ⋅=-． 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-．
（2）四边形OAPB 能为平行四边形．
∵直线l 过点(
,)3
m m ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ． ∴由2229,{9,y x k x y m =-
+=得
，即 将点(,)3
m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+． 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =
∴239km k ±=+2(3)23(9)
mk k k -⨯+．解得147k =-，247k =+． ∵0,3i i k k >≠，1i =，2，
∴当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形．
考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用
【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设
,，代入椭圆方程，两式相减，化简为
，两边同时除以得，而
,,即得到结果，
（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.
19、（1）22(2)4x y +-=（2）
3
π)． 【解题分析】 （1）利用极坐标和直角坐标的转化公式cos ,sin x y ρθρθ==求解.
（2）先把两个方程均化为普通方程，求解公共点的直角坐标，然后化为极坐标即可.
【题目详解】
（1）∵曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，
∴24sin ρρθ=，则224x y y +=,
即22
(2)4x y +-=. （2
）22222cos 2cos 121)22x y αααα⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩
，
∴y =，1x >
联立22
(2)4x y +-=
可得223x x +=， 0x =
（舍）或x =
公共点
3)，化为极坐标
，
3
π)． 【题目点拨】
本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及交点的求解，熟记极坐标和直角坐标的转化公式是求解的关键，交点问题一般是统一一种坐标形式求解后再进行转化，侧重考查数学运算的核心素养.
20、（1）7（2）14
【解题分析】 （1）在ABC ∆中，3cos 5C =，可得 4sin 5
C =，结合正弦定理，即可求得答案； （2）根据余弦定理和三角形面积公式，即可求得答案.
【题目详解】
（1）在ABC ∆中，3cos 5
C =， ∴4sin 5
C =，
()A B C π=-+，
∴sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+3455=+=， ∴
sin sin a c A C
=， ∴sin 7sin c a A C =⨯=. （2）2222cos c a b ab C =+-，
∴232256a a =+-，
∴2670a a --=，
∴解得7a =， ∴114sin 7514225
ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=. 【题目点拨】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形，解题关键是掌握正弦定理边化角，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
21、34
a >- 【解题分析】 原不等式等价于1142x x a ⎛⎫>-+
⎪⎝⎭在(]0,1恒成立，令12x t =，()2f t t t =+，求出()f t 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的最小值后可得a 的取值范围.
【题目详解】
因为1240x x a ++⋅>在(]0,1x ∈时恒成立，故1142x x a ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭
在(]0,1恒成立. 令12x t =，由(]0,1x ∈可得1,12t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
. 令()2f t t t =+，1,12t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则()f t 为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
上的增函数，故()min 34f t =. 故34
a >-. 故答案为：34a >-
. 【题目点拨】
本题考查含参数的不等式的恒成立，对于此类问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最
值问题，本题属于基础题.
22、（1）2,1,1,1a b c d ====-（答案不唯一）（2）证明见解析
【解题分析】
（1）找到一组符合条件的值即可；
（2）由a c d ≥≥可得()()0a c a d --≥,整理可得2()a cd c d a ++≥,两边同除a 可得cd a c d a
++≥,再由ab cd ≥可得cd b a ≥
,两边同时加a 可得cd a b a a
+≥+,即可得证. 【题目详解】 解析:（1）2,1
,1,1a b c d ====-（答案不唯一） （2）证明:由题意可知,0a ≠,因为a c d ≥≥,所以()()0a c a d --≥.
所以2()0a c d a cd -++≥,即2
()a cd c d a ++≥. 因为0a b >≥,所以cd a c d a
+
+≥, 因为ab cd ≥,所以cd b a
≥, 所以cd a b a c d a +++≥≥. 【题目点拨】
考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.。