舟山市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

舟山市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4=5S 2
，则的值为（ ）
A ．﹣2或﹣1
B ．1或2
C ．±2或﹣1
D ．±1或2
2． 若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数
1
2
z z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力． 3． 执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）
A ．15
B ．21
C ．24
D ．35 4． 如图F 1、F 2是椭圆C 1
：
+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共
点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（ ）
A
． B
． C
． D
．
5． 函数f （x ）=x 2﹣x ﹣2，x ∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x 0，使f （x 0）≤0的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sinB=2sinC ，a 2﹣c 2=3bc ，则A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°
7． 双曲线：的渐近线方程和离心率分别是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 已知{}n a 是等比数列，251
24
a a ==，，则公比q =（ ） A ．12-
B ．-2
C ．2
D ．12 9． 圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）
A ．
B ．12+
C ．12
2
+ D ．122+ 10．设函数()()21x
f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数，使得()0f t <，则的
取值范围是（ ）
A ．3,12e ⎡⎫-
⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭1111] 11．直角梯形OABC 中,,1,2AB OC AB OC BC ===,直线:l x t =截该梯形所得位于左边图
形面积为，则函数()S f t =的图像大致为（ ）
12．圆222
(2)x y r -+=（0r >）与双曲线2
213
y
x -
=的渐近线相切，则r 的值为（ ）
A B ．2 C D ．【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力．
二、填空题
13．已知函数2
1()sin cos sin 2f x a x x x =-+
的一条对称轴方程为6
x π
=，则函数()f x 的最大值为（ ）
A ．1
B ．±1
C
D ．
【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．
14．已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ．
15．已知函数32()39f x x ax x =++-，3x =-是函数()f x 的一个极值点，则实数a = ． 16．设某总体是由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方 法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为 ________．
【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识，意在考查统计的思想． 17．函数f （x ）=a x +4的图象恒过定点P ，则P 点坐标是 ． 18．函数y=lgx 的定义域为 ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=2cosx （sinx+cosx ）﹣1 （Ⅰ）求f （x ）在区间[0
，
]上的最大值；
（Ⅱ）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f
（B ）=1，a+c=2，求b 的取值范围．
20．
设函数，若对于任意x ∈[﹣1，2]都有f （x ）＜m 成立，求实数m 的取值范围．
1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619
6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238
21．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且满足2bcosC=2a ﹣c ． （Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若△ABC 的面积为，b=2求a ，c 的值．
22．【南师附中2017届高三模拟一】已知,a b 是正实数，设函数()()ln ,ln f x x x g x a x b ==-+. （1）设()()()h x f x g x =- ，求 ()h x 的单调区间； （2）若存在0x ，使03,45a b a b x ++⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
且()()00f x g x ≤成立，求b a 的取值范围.
23．设点P 的坐标为（x ﹣3，y ﹣2）．
（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现在从盒子中随机取出一张卡片，记下标号后把卡片放回盒中，再从盒子中随机取出一张卡片记下标号，记先后两次抽取卡片的标号分别为x 、y ，求点P 在第二象限的概率；
（2）若利用计算机随机在区间上先后取两个数分别记为x 、y ，求点P 在第三象限的概率．
24．已知函数f（x）=．
（1）求f（f（﹣2））；
（2）画出函数f（x）的图象，根据图象写出函数的单调增区间并求出函数f（x）在区间（﹣4，0）上的值域．
舟山市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：由题设知a1≠0，当q=1时，S4=4a1≠10a1=5S2；q=1不成立．
当q≠1时，S n=，
由S4=5S2得1﹣q4=5（1﹣q2），（q2﹣4）（q2﹣1）=0，（q﹣2）（q+2）（q﹣1）（q+1）=0，
解得q=﹣1或q=﹣2，或q=2．
==q，
∴=﹣1或=±2．
故选：C．
【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的应用，利用条件求出等比数列的通项公式，以及对数的运算法则是解决本题的关键．
2．【答案】B
【解析】
3．【答案】C
【解析】【知识点】算法和程序框图
【试题解析】否，
否，否，是，
则输出S=24．
故答案为：C
4．【答案】D
【解析】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，
∴2a=4，b=1，c=；
∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①
又四边形AF1BF2为矩形，
∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②
由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C
的实轴长为2m，焦距为2n，
2
则2m=|AF
|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，
2
∴双曲线C2的离心率e===．
故选D．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．5．【答案】C
【解析】解：∵f（x）≤0⇔x2﹣x﹣2≤0⇔﹣1≤x≤2，
∴f（x0）≤0⇔﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，
∵在定义域内任取一点x0，
∴x0∈[﹣5，5]，
∴使f（x0）≤0的概率P==
故选C
【点评】本题考查了几何概型的意义和求法，将此类概率转化为长度、面积、体积等之比，是解决问题的关键
6．【答案】C
【解析】解：由sinB=2sinC，由正弦定理可知：b=2c，代入a2﹣c2=3bc，
可得a2=7c2，
所以cosA===﹣，
∵0＜A＜180°，
∴A=120°．
故选：C．
【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基本知识的考查．7．【答案】D
【解析】解：双曲线：的a=1，b=2，c==
∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x ；离心率e==
故选 D
8． 【答案】D 【解析】
试题分析：∵在等比数列}{a n 中，41,2a 52==a ,2
1
,81q 253=∴==∴q a a . 考点：等比数列的性质. 9． 【答案】B 【解析】
试题分析：化简为标准形式()()1112
2
=-+-y x ，圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半
径，22
2
11=--=
d ，半径为1，所以距离的最大值是12+，故选B.
考点：直线与圆的位置关系 1 10．【答案】D 【解析】
考
点：函数导数与不等式．1 【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令()0f x =将函数变为两个函
数()()()21,x
g x e x h x ax a =-=-，将题意中的“存在唯一整数，使得()g t 在直线()h x 的下方”，转化为
存在唯一的整数，使得()g t 在直线()h x ax a =-的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得m 的取值
范围.
11．【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，当01t <≤时，()21
22
f t t t t =
⋅⋅=，当12t <≤时，
()1
12(1)2212f t t t =⨯⨯+-⋅=-，所以()2,0121,12
t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩，结合不同段上函数的性质，可知选项C 符
合，故选C.
考点：分段函数的解析式与图象. 12．【答案】C
二、填空题
13．【答案】A 【
解
析
】
14．【答案】1－1，3] 【解析】
试题分析：A ∪B ＝{}{}|03,|12,x x x R x x x R <∈-∈≤≤≤＝1－1，3]
考点：集合运算 【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 15．【答案】5 【解析】
试题分析：'
2
'
()323,(3)0,5f x x ax f a =++∴-=∴=． 考点：导数与极值． 16．【答案】19
【解析】由题意可得，选取的这6个个体分别为18,07,17,16,09,19，故选出的第6个个体编号为19．17．【答案】（0，5）．
【解析】解：∵y=a x的图象恒过定点（0，1），
而f（x）=a x+4的图象是把y=a x的图象向上平移4个单位得到的，
∴函数f（x）=a x+4的图象恒过定点P（0，5），
故答案为：（0，5）．
【点评】本题考查指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，是基础题．
18．【答案】{x|x＞0}．
【解析】解：对数函数y=lgx的定义域为：{x|x＞0}．
故答案为：{x|x＞0}．
【点评】本题考查基本函数的定义域的求法．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1
=sin2x+2×﹣1
=sin2x+cos2x
=sin（2x+），
∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]，
∴当2x+=，即x=时，f（x）min=…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（B）=sin（+）=1，
∴sin（+）=，
∴+=，
∴B=，
由正弦定理可得：b==∈[1，2）…12分
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：∵，
∴f′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），
∴当x∈[﹣1，﹣），（1，2]时，f′（x）＞0；
当x∈（﹣，1）时，f′（x）＜0；
∴f（x）在[﹣1，﹣），（1，2]上单调递增，在（﹣，1）上单调递减；
且f（﹣）=﹣﹣×+2×+5=5+，f（2）=8﹣×4﹣2×2+5=7；
故f max（x）=f（2）=7；
故对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立可化为7＜m；
故实数m的取值范围为（7，+∞）．
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）已知等式2bcosC=2a﹣c，利用正弦定理化简得：
2sinBcosC=2sinA﹣sinC=2sin（B+C）﹣sinC=2sinBcosC+2cosBsinC﹣sinC，
整理得：2cosBsinC﹣sinC=0，
∵sinC≠0，
∴cosB=，
则B=60°；
（Ⅱ）∵△ABC的面积为=acsinB=ac，解得：ac=4，①
又∵b=2，由余弦定理可得：22=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=（a+c）2﹣12，
∴解得：a+c=4，②
∴联立①②解得：a=c=2．
22．【答案】（1）在0,b e
⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,b
e
⎛⎫
∞
⎪
⎝⎭
上单调递增.（2）7
b
e
a
≤<
【解析】【试题分析】（1）先对函数()()ln ln ,0,h x x x x b a x =-+∈∞求导得()'ln 1ln h x x b =+-，再解不等式()'0h x >得b x e >
求出单调增区间；解不等式()'0h x <得b
x e
<求出单调减区间；（2）先依据题设345a b a b ++<得7b a <，由（1）知()m in 0h x ≤，然后分345a b b a b e ++≤≤、4b a b e +<、35
b a b
e +>三种情形，分别研究函数()()ln ln ,0,h x x x x b a x =-+∈∞的最小值，然后建立不等式进行分类讨论进行求解出其取值范围7b
e a
≤
<： 解：（1）()()()ln ln ,0,,'ln 1ln h x x x x b a x h x x b =-+∈∞=+-，由()'0h x >得b x e >，()'h x ∴在0,b e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，在,b e ⎛⎫
∞
⎪⎝⎭上单调递增. （2）由345a b a b ++<得7b
a <，由条件得()min 0h x ≤. ①当345a
b b a b e ++≤≤，即345e b e e a e ≤≤--时，()min b b h x h a e e ⎛⎫
==-+ ⎪⎝⎭，由0b a e -+≤得 3,5b b e e e a a e
≥∴≤≤-. ②当4b a b e +<时，()4,e a b h x a ->∴在3,45a b a b ++⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增， ()min ln ln ln ln 4444a b a b a b a b b h x h b a b a
e ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==-+≥-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
43?3044e b b
a b e e b e --+-=>=>，矛盾，∴不成立. 由0b
a e
-+≤得.
③当35b a b e +>，即35b e a e >-时，53e a b e ->，()h x ∴在3,4
5a b a b ++⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()min 3333ln ln ln ln 5555a b a b a b a b b h x h b a b a
e ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==-+≥-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
52?2230553e b b
a b e e b e
----=>=>，∴当35b e a e >
-时恒成立，综上所述，7b e a ≤<. 23．【答案】
【解析】解：（1）由已知得，基本事件（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（0，﹣1），（0，0）（0，1）共9种…4（分）
设“点P在第二象限”为事件A，事件A有（﹣2，1），（﹣1，1）共2种
则P（A）=…6（分）
（2）设“点P在第三象限”为事件B，则事件B满足…8（分）
∴，作出不等式组对应的平面区域如图：
则P（B）==…12（分）
24．【答案】
【解析】解：（1）函数f（x）=．
f（﹣2）=﹣2+2=0，
f（f（﹣2））=f（0）=0.3分
（2）函数的图象如图：…
单调增区间为（﹣∞，﹣1），（0，+∞）（开区间，闭区间都给分）…
由图可知：
f（﹣4）=﹣2，f（﹣1）=1，
函数f（x）在区间（﹣4，0）上的值域（﹣2，1]．…12分．。