河北省唐山一中2014-2015学年高二数学下学期期中试题 文

唐山一中2014—2015学年第二学期期中考试
高二数学文科试卷
说明：1．考试时间120分钟，总分为150分。

2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用黑色字迹的签字笔答在答题纸上。

3．卷Ⅱ卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后5位。

卷Ⅰ(选择题 共60分)
一．选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分．
1. 函数c ax x f +=2
)(，且(1)f '=2，如此a 的值为 〔 〕
A.1
B.2
C.－1
D. 0
2. 假设复数z 满足i iz 42+=，i 为虚数单位，如此在复平面内z 对应的点的坐标是( ) A ．〔4，2〕 B ．〔4，-2〕 C ．〔2，4〕 D ．〔2，-4〕
3. 用三段论推理：“指数函数x
a y =是增函数，因为x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21是指数函数，所以x
y ⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=21是增函数〞，你认为这个推理( )
A ．大前提错误 B. 小前提错误 C ．推理形式错误 D ．是正确的 4. 假设直线的参数方程为()为参数t t
y t
x ⎩⎨⎧-=+=3221,如此直线的斜率为( )
A.
32 B. 32- C.23 D. 2
3- 5. 设某大学的女生体重y 〔单位：kg 〕与身高x 〔单位：cm 〕具有线性相关关系，根据一组样本数据()()n i y x i i ,,2,1, =，用最小二乘法建立的回归方程为71.8585.0-=∧
x y ，如此如下结论中不正确的答案是( )
A.y 与x 具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心(
y x ,〕 C ．假设该大学某女生身高增加1cm ，如此其体重约增加0.85kg D ．假设该大学某女生身高为170cm ，如此可断定其体重必为58.79kg
6．函数1
222+=x x y 的导数是〔〕
A ．22
22
4(1)4(1)
x x x y x +-'=+ B ．23
22
4(1)4(1)x x x y x +-'=+
C ．23
22
4(1)4(1)
x x x y x +-'=+ D ．2224(1)4(1)
x x x
y x +-'=+
7. i 为虚数单位，复数i z ai z 21,321+=-=，假设
2
1
z z 复平面内对应的点在第四象限，如此实数a 的取值范围为( )A.()6,-∞- B ．⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-23,6
C.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-23,
D.()⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞⋃∞-,326, 8.奇函数()f x 在0x >时，()()31,3f x x x f x =
-在12,2⎡
⎤--⎢⎥⎣⎦上的值域为 〔 〕
A ．2
,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．22,33
⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
D ．112,243⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
9. 在极坐标系中，圆θρcos 2=的垂直于极轴的两条切线方程分别为〔 〕 A. )(0R ∈=ρθ和2cos =θρ B. )(2
R ∈=ρπ
θ和2cos =θρ
C.)(2
R ∈=
ρπ
θ和1cos =θρ D. )(0R ∈=ρθ和1cos =θρ
10. 设ABC ∆的三边长分别为c b a ,,，ABC ∆的面积为S ，内切圆半径为r ，如此c
b a S
r ++=
2.类比这个结论可知：四面体ABC P -的四个面的面积分别为4321,,,S S S S ，
内切球的半径为r ，四面体ABC P -的体积为V ，如此＝( )
11. 12,x x 分别是函数c bx ax x x f +++=
22
131)(2
3的两个极值点，且1(0,1)
x ∈2(1,2)
x ∈，
如此1
2
--a b 的取值范围为
〔 〕
A ．)4,1(
B ．)1,21(
C ．)21,41(
D ． )1,4
1(
12. 假设R b a ∈,且b a ≠，如此在 ①2
2b b a >+； ②3
2
2
3
5
5
b a b a b a +>+；
③();122
2
--≥+b a b a ④
2>+b
a
a b .这四个式子中一定成立的有 〔 〕 A.4个 B.3个 C. 2个 D.1个
卷Ⅱ(非选择题 共90分)
二．填空题：本大题共4小题，每一小题5分，共20分． 13．函数2
()2ln f x x x =-的递减区间是__________.
14.在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的
cos()14π
θ+=，曲线C
的参数方程为()1sin x y α
αα
⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，点
M 是曲线C 上的动点 ，如此点M 到直线l 最大值为 .
15. 函数)0(1)1(3)(2
2
3
>+--+=k k x k kx x f 的单调减区间是(0,4),如此k 的值是__________.
16. 设函数()3f x x x a =-+-，如果对任意,()4x R f x ∈≥，如此a 的取值范围是__________.
三．解答题：本大题共６小题，共70分．
17．〔此题总分为10分〕曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是
32,
5
45x t y t ⎧=-+⎪⎨
⎪=⎩
〔t 为参数〕． 〔1〕将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
〔2〕设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值． 18.〔此题总分为12分〕函数x ae x x x f -+-
=22
1)(2
. 〔1〕 假设1=a ，求)(x f 在1=x 处的切线方程； 〔2〕假设)(x f 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围.
19．〔此题总分为12分〕函数3
2
()2f x x mx nx =++-的图象过点()1,6--，且函数
()()6g x f x x '=+是偶函数.
〔1〕求,m n 的值； 〔2〕假设0>a ，求函数()y f x =在区间(1,1)a a -+的极值.
20. 〔此题总分为12分〕某地区甲校高二年级有1100人，乙校高二年级有900人，为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，如下表：〔本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%〕
甲校高二年级
数学成绩：
乙校高二年级
数学成绩：
（1）计算,x y的值，并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分〔准确到1分〕.
（2）假设数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀.根据以上统计数据填写下面22
⨯列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异〞.
甲校
乙
校
总
计
优秀
非
分
组
[)
50,60[)
60,70[)
70,80[)
80,90[]
90,100频
数
10 25 35 30 x
分
组
[)
50,60[)
60,70[)
70,80[)
80,90[]
90,100频
数
15 30 25 y 5
优秀
总计
附：()()()()()
()d c b a n d b c a d c b a bc ad n K +++=++++-=2
2
21．〔此题总分为12分〕设函数()212f x x x =--+ 〔1〕求不等式()3f x ≥的解集；
〔2〕假设关于的不等式()2
3f x t t ≥-在[]0,1上无解，求实数t 的取值范围．
22. 〔此题总分为12分〕函数2
()ln ,()()f x b x g x ax x a R ==-∈。

(1)假设曲线()f x 与()g x 在公共点)0,1(A 处有一样的切线，求实数,a b 的值； (2)假设1,2a b e =>，求方程()()f x g x x -=在区间(1,)b
e 内实根的个数.
唐山一中2014—2015学年第二学期期中考试
高二文科数学参考答案
一、选择题：
1.A
2.B
3.A
4.D
5.D
6.B
7.B
8.C
9.B 10.C 11.D 12.C 二、填空题：13.10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
21
3
16.()()7,,1+∞⋃-∞- 三、解答题：
17. 解：〔1〕曲线C 的极坐标方程可化为
22sin ρρθ= ……………………………………………………………………2分
又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，
所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=…………4分
〔2〕将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得4(2)3y x =--…………6分
令0y =，得2x =，即M 点的坐标为(2，0)．
又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1，0)，半径1r =，如此5MC …………8分
)
(2K K P ≥
0.050 0.010 0.001 k
3.841
6.635
10.828
所以1MN MC r +=≤……………………………………………………10分 18.解：(1)由题意知：3
(1)2
f e =
-，()'2x f x x e =-+- ()'11f e ∴=-
∴切线方程：()()3112y e e x ⎛⎫
--=-- ⎪⎝⎭
……………………………………………6分
〔2〕由题意知()'
2x f
x x ae =-+-，因为函数()f x 在R 上增函数，所以()'f x 在R 上恒
成立，即20x
x ae -+-≥恒成立.……………………………………………8分
整理得：2
x
x a e -+≤
令()2x x g x e -+=，如此()'
3x
x g x e
-=，因为0x e >，所以 ()'(,3),0,()x g x g x ∈-∞<在(),3-∞上单调递减 ()'(3,),0,()x g x g x ∈+∞>在()3,+∞上单调递增
所以当3x =时，()g x 有极小值，也就是最小值. ……………………………… 11分 所以a 的取值范围是(
3,e -⎤-∞-⎦……………………………………………………12分 19. 解：〔1〕由函数3
2
()2f x x mx nx =++-的图象过点()1,6--，得3m n -=-①
由3
2
()2f x x mx nx =++-得()'232f x x mx n =++，如此()()2
362g x x m x n =+++
而()g x 的图像关于y 轴对称，所以260m +=②，由①②得3,0m n =-=………4分 〔2〕由〔1〕知，()'
3(2)f
x x x =-，令()'0f x =得120,2x x ==…………………5分
由()'
0f
x >得()(),02,x ∈-∞⋃+∞，由()'0f x <得()0,2x ∈
()f x ∴在()(),0,2,-∞+∞上单调递增，在()0,2上单调递减
()f x ∴在0x =处取得极大值，在2x =处取得极小值 …………………8分
由此可得：
当01a <<时，()f x 在()1,1a a -+内有极大值()0f =-2，无极小值. 当1a =时，()f x 在()1,1a a -+内无极值.
当13a <<时，()f x 在()1,1a a -+内有极小值()6f =-6，无极大值. 当3a ≥时，()f x 在()1,1a a -+内无极值. ………………12分 20. 解：〔1〕依题意甲校应抽取110人，乙校应抽取90人
10,15x y ==…………………4分
甲校的平均分约为75，乙校的平均分约为71 ……………………8分 〔2〕
甲
校 乙
校
总
计
优秀
40 20 60 非优秀
70
70
140
总计
110
90
200
()2
220040702070 4.7141109060140
K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，又因为4.714 3.841>……………………11分
故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异〞…12分 21. 解 (1) 当 2x ≤-时，12(2)3x x ----≥，0x ≤，2x ∴≤-
22.〔1〕由题意知：()()'
'
,21b f
x g x ax x
=
=- 曲线()f x 与()g x 在公共点()1,3有一样的切线得()()1011021
f g a b a =⎧⎪=-=⎨⎪=-⎩
解得1
1a b =⎧⎨=⎩.4分
〔2〕()()f x g x x -=转化为2
ln 0b x x -=
令()()22
'
2ln ,b x G x b x x G x x -=-=，由()2'
20,b x G x x -==
得x =(
)1,,2,1,b b x e b e e ∈>>>>
∴由(
)2'
20,1b x G x x x -=>⇒<<
由(
)2'
20,b b x G x x e x -=<<<
()G x ∴
在⎛ ⎝
上单调递增，在b e ⎫⎪⎪⎭上单调递减 ∴
当x =
(
)max ln 1222b b b G x b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭……………………8分
2,,ln ln 1,0222b b b b e e e G ⎛⎫
>∴>∴>=∴> ⎪⎝⎭
()()()2110
()ln 0
b
b
b
b
b
G G e b e e b e
b e =-<=-=+-<
所以方程()()f x g x x -=在区间()
1,b e 内有两个实根.……………………12分。