新乡市九级上期末数学试卷含答案解析

2014-2015学年河南省新乡市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：每小题3分，共24分。

下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

1．一元二次方程x2+2x=0的根是（）
A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2
2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．下列事件中，属于必然事件的是（）
A．打开电视，它正在播广告
B．掷两枚质地均匀的骰子，点数之和一定大于6
C．某射击运动员射击一次，命中靶心
D．早晨的太阳从东方升起
4．方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）
A．（x+3）2=14 B．（x﹣3）2=14
C．（x+6）2=D．以上答案都不对
5．如图，直线AB、AD分别与⊙O切于点B、D，C为⊙O上一点，且∠BCD=132°，则∠A的度数是（）
A．48°B．84°C．90°D．96°
6．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则下列事件发生的概率最大的是（）
A．两正面都朝上
B．两背面都朝上
C．一个正面朝上，另一个背面朝上
D．三种情况发生的概率一样大
7．某果园2012年水果产量为100吨，2014年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）
A．144（1﹣x）2=100 B．100（1﹣x）2=144 C．144（1+x）2=100 D．100（1+x）2=144
8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果：
①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，
则正确的结论是（）
A．①②③④B．②④⑤ C．②③④ D．①④⑤
二、填空题：每小题3分，共21分。

9．若a是方程x2﹣2x﹣5=0的根，则1﹣4a+2a2=．
10．在平面直角坐标系中，将抛物线y=﹣x2+2先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为．
11．关于x的一元二次方程x2+x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是．
12．某校准备组织师生观看北京奥运会球类比赛，在不同时间段里有3场比赛，其中2场是乒乓球赛，1场是羽毛球赛，从中任意选看2场，则选看的2场恰好都是乒乓球比赛的概率是．
13．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围
是．
14．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为210°的扇形，则这个圆锥的底面半径是cm．
15．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶片状”阴影图案的面积为．
三、解答题：本大题共8个小题，满分75分。

16．用适当的方法解一元二次方程（x+4）2=5（x+4）．
17．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出图中点A，点B和点C的坐标；
（2）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB′C′；
（3）在（2）的条件下，求点C旋转到点C′所经过的路线长及线段AC旋转到新位置时所划过区域的面积．
18．在一个不透明的袋子中装有（除颜色外）完全相同的红色小球1个，白色小球1个和黄色小球2个，
（1）从中先摸出一个小球，记录下它的颜色后，将它放回袋中搅匀，再摸出一个小球，记录下颜色．求摸出的两个小球的颜色恰好是“一红一黄”的概率是多少？
（2）如果摸出第一个小球之后不放回袋中，再摸出第二个小球，这时摸出的两个小球的颜色恰好是“一红一黄”的概率是多少？
（3）小明想给袋中加入一些红色的小球，使从袋中任意摸出一个小球恰为红色的概率为
，请你帮小明算一算，应该加入多少个红色的小球？
19．如图所示，AB是⊙O的直径，∠B=30°，弦BC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD．（1）求直径AB的长；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．
20．已知AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，PB交⊙O于点C，过点O作OE∥PB，交⊙O于点D，交PA于点E．
（1）求证：∠BDC=∠APB；
（2）若PA=8，PB=10，求线段CD的长．
21．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
22．阅读下面材料：
小辉遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E在边BC上，
∠DAE=45°．若BD=3，CE=1，求DE的长．
小辉发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ACF，连接EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE=45°，可证△FAE≌△DAE，得FE=DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．
请回答：在图2中，∠FCE的度数是，DE的长为．
参考小辉思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且
∠EAF=∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．
23．已知：如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；
（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；
（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）求出S与t的函数关系式．
2014-2015学年河南省新乡市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题3分，共24分。

下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

1．一元二次方程x2+2x=0的根是（）
A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x（x+2）=0，
解得：x1=0，x2=﹣2．
故选A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】常规题型．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．下列事件中，属于必然事件的是（）
A．打开电视，它正在播广告
B．掷两枚质地均匀的骰子，点数之和一定大于6
C．某射击运动员射击一次，命中靶心
D．早晨的太阳从东方升起
【考点】随机事件．
【分析】根据事件的分类判断，必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可解决．
【解答】解：A、打开电视，它正在播广告，是随机事件，故本选项错误；
B、掷两枚质地均匀的骰子，点数之和一定大于6是不确定事件，故本选项错误；
C、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项错误；
D、早晨的太阳从东方升起是必然事件，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查的是随机事件，事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
4．方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）
A．（x+3）2=14 B．（x﹣3）2=14
C．（x+6）2=D．以上答案都不对
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】配方法．
【分析】把方程变形得到x2+6x=5，方程两边同时加上一次项的系数一半的平方，两边同时加上9即可．
【解答】解：∵x2+6x﹣5=0
∴x2+6x=5
∴x2+6x+9=5+9
∴（x+3）2=14．
故选A．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5．如图，直线AB、AD分别与⊙O切于点B、D，C为⊙O上一点，且∠BCD=132°，则∠A的度数是（）
A．48°B．84°C．90°D．96°
【考点】切线的性质．
【分析】过点B作直径BE，连接OD、DE．根据圆内接四边形性质可求∠E的度数；根据圆周角定理求∠BOD的度数；根据四边形内角和定理求解即可．
【解答】解：过点B作直径BE，连接OD、DE．
∵B、C、D、E共圆，∠BCD=140°，
∴∠E=180°﹣132°=48°，
∴∠BOD=96°，
∵AB、AD与⊙O相切于点B、D，
∴∠OBA=∠ODA=90°，
∴∠A=360°﹣90°﹣90°﹣96°=84°．
故选B．
【点评】此题考查了切线的性质、圆内接四边形性质、圆周角定理、四边形内角和定理等知识点，难度中等．连接切点和圆心是解决有关切线问题时常作的辅助线．
6．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则下列事件发生的概率最大的是（）
A．两正面都朝上
B．两背面都朝上
C．一个正面朝上，另一个背面朝上
D．三种情况发生的概率一样大
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】先画出树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两正面朝上的、两背面朝上的和一个正面朝上，另一个背面朝上的结果数，然后分别计算它们的概率，再比较大小即可．
【解答】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中两正面朝上的占1种，两背面朝上的占1种，一个正面朝上，另一个背面朝上的占2种，
所以两正面朝上的概率=；两反面朝上的概率=；一个正面朝上，另一个背面朝上的概率==．
故选C．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
7．某果园2012年水果产量为100吨，2014年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）
A．144（1﹣x）2=100 B．100（1﹣x）2=144 C．144（1+x）2=100 D．100（1+x）2=144
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】2014年的产量=2012年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：设该果园水果产量的年平均增长率为x，则2013年的产量为100（1+x）吨，2014年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2吨，
根据题意，得100（1+x）2=144，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程；得到2014年产量的等量关系是解决本题的关键．
8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果：
①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，
则正确的结论是（）
A．①②③④B．②④⑤ C．②③④ D．①④⑤
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据抛物线与x轴的交点情况，抛物线的开口方向，对称轴及与y轴的交点，当x=±1时的函数值，逐一判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确；
∵抛物线对称轴为x=﹣＜0，与y轴交于负半轴，∴ab＞0，c＜0，abc＜0，故②错误；
∵抛物线对称轴为x=﹣=﹣1，∴2a﹣b=0，故③错误；
∵当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，故④正确；
∵当x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故⑤正确；
正确的是①④⑤．
故选D．
【点评】本题考查了抛物线与二次函数系数之间的关系．关键是会利用对称轴的值求2a与b的关系，对称轴与开口方向确定增减性，以及二次函数与方程之间的转换．
二、填空题：每小题3分，共21分。

9．若a是方程x2﹣2x﹣5=0的根，则1﹣4a+2a2=11．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把a代入方程x2﹣2x﹣5=0得出a2﹣2a=5，再进一步整理1﹣4a+2a2，整体代入求得答案即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣5=0的根，
∴a2﹣2a﹣5=0，
∴a2﹣2a=5，
∴1﹣4a+2a2
=1+2（a2﹣2a）
=1+2×5
=11．
故答案为：11．
【点评】此题考查一元二次方程的解，代数式求值，注意整体代入思想的渗透．
10．在平面直角坐标系中，将抛物线y=﹣x2+2先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2﹣1．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解答】解：抛物线y=﹣x2+2向右平移1个单位，得：y=﹣（x﹣1）2+2；
再向下平移3个单位，得：y=﹣（x﹣1）2+2﹣3=（x﹣1）2；即y=﹣（x﹣1）2﹣1；
故答案是：y=﹣（x﹣1）2﹣1．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
11．关于x的一元二次方程x2+x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是k≤．
【考点】根的判别式．
【分析】由于已知方程有两个实数根，根据一元二次方程的根与判别式的关系，建立关于k的不等式，解不等式可以求出k的取值范围．
【解答】解：∵a=1，b=1，c=k，
而方程有两个实数根
∴△=b2﹣4ac=1﹣4k≥0，
∴k≤．
【点评】总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
12．某校准备组织师生观看北京奥运会球类比赛，在不同时间段里有3场比赛，其中2场是乒乓球
赛，1场是羽毛球赛，从中任意选看2场，则选看的2场恰好都是乒乓球比赛的概率是．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：由树状图可知共有3×2=6种可能，选看的2场恰好都是乒乓球比赛的有2种，所以概率是．
【点评】画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是m≥﹣1．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=﹣=，
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，
∴≤1，
解得：m≥﹣1．
故答案为：m≥﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．
14．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为210°的扇形，则这个圆锥的底面半径是
cm．
【考点】圆锥的计算．
【专题】计算题．
【分析】设这个圆锥的底面半径为rcm，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=，然后解方程即可．
【解答】解：设这个圆锥的底面半径为rcm，
根据题意得2πr=，
解得r=，
即这个圆锥的底面半径为cm．
故答案为．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶片状”阴影图案的面积为π﹣2．
【考点】生活中的旋转现象．
【分析】连接AB，阴影部分面积=S扇形AOB﹣S△ABO，依此计算即可求解．
【解答】解：连接AB，阴影部分面积=S扇形AOB﹣S△ABO=﹣×2×2=π﹣2．
故答案为：π﹣2．
【点评】此题主要考查了扇形的面积公式，应用与设计作图，关键是需要同学们熟练掌握基础知识．
三、解答题：本大题共8个小题，满分75分。

16．用适当的方法解一元二次方程（x+4）2=5（x+4）．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】利用因式分解法的步骤把原方程变形为（x+4）（x﹣1）=0，再根据x+4=0或x﹣1=0，即可求出答案．
【解答】解：（x+4）2=5（x+4），
（x+4）2﹣5（x+4）=0，
（x+4）（x+4﹣5）=0，
x+4=0或x﹣1=0，
解得：x1=﹣4，x2=1．
【点评】此题考查了一元二次方程的解法；只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．
17．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出图中点A，点B和点C的坐标；
（2）画出△A BC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB′C′；
（3）在（2）的条件下，求点C旋转到点C′所经过的路线长及线段A C旋转到新位置时所划过区域的面积．
【考点】作图-旋转变换．
【分析】（1）根据直角坐标系的特点写出各点的坐标；
（2）分别将点B、C绕点A按逆时针方向旋转90°后得到点B′、C′，然后顺次连接；
（3）点C旋转到点C′的轨迹为圆弧，根据弧长公式和扇形的面积求解．
【解答】解：（1）A（1，3），B（3，3），C（5，1）；
（2）所作图形如图所示：
（3）∵AC==2，
∴点C旋转到C'所经过的路线长l==π，
则线段AC旋转到新位置是划过区域的面积S==5π．
【点评】本题考查了根据旋转变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
18．在一个不透明的袋子中装有（除颜色外）完全相同的红色小球1个，白色小球1个和黄色小球2个，
（1）从中先摸出一个小球，记录下它的颜色后，将它放回袋中搅匀，再摸出一个小球，记录下颜色．求摸出的两个小球的颜色恰好是“一红一黄”的概率是多少？
（2）如果摸出第一个小球之后不放回袋中，再摸出第二个小球，这时摸出的两个小球的颜色恰好是“一红一黄”的概率是多少？
（3）小明想给袋中加入一些红色的小球，使从袋中任意摸出一个小球恰为红色的概率为
，请你帮小明算一算，应该加入多少个红色的小球？
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）用树状图列举出所有情况，看两次是“一红一黄”情况占总情况的多少即可；
（2）根据摸出第一个小球之后不放回袋中，用树状图列举出所有情况，看两次是“一红一黄”情况占总情况的多少即可；
（3）根据摸出一个小球恰为红色的概率为，得出红球除以总数的比值，即可得出答案．【解答】解：（1）画树形图（或列表）：
由树形图可得：共有16种等可能的结果，其中“一红一黄”的结果有4种．
则．
（2）画树形图：
由树形图可得：共有12种等可能的结果，其中“一红一黄”的结果有4种．
则．
（3）设应加入x个红色的小球，则：
，
解得：x=11．
故应加入11个红色的小球．
【点评】此题主要考查了利用树状图求概率，总体数目=部分数目÷相应百分比；如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．注意本题是不放回实验．
19．如图所示，AB是⊙O的直径，∠B=30°，弦BC=6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD．（1）求直径AB的长；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．
【考点】圆周角定理；角平分线的定义；三角形的面积；含30度角的直角三角形；勾股定理；扇形面积的计算．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角推知∠ACB=90°，然后在直角三角形ABC中利用边角关系、勾股定理来求直径AB的长度；
（2）连接OD．利用（1）中求得AB=4可以推知OA=OD=2；然后由角平分线的性质求得
∠AOD=90°；最后由扇形的面积公式、三角形的面积公式可以求得
阴影部分的面积=S扇形△AOD﹣S△AOD．
【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，…（1分）
∵∠B=30°，
∴AB=2AC，…（3分）
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB2=AB2+62，…（5分）
∴AB=4．…（6分）
（2）连接OD．
∵AB=4，∴OA=OD=2，…（8分）
∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠AOD=2∠ACD=90°，…（9分）
∴S△AOD=OA•OD=•2•2=6，…（10分）
∴S扇形△AOD=•π•OD2=•π•（2）2=3π，…（11分）
∴阴影部分的面积=S扇形△AOD﹣S△AOD=3π﹣6．…（12分）
【点评】本题综合考查了圆周角定理、含30度角的直角三角形以及扇形面积公式．解答（2）题时，采用了“数形结合”的数学思想．
20．已知AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，PB交⊙O于点C，过点O作OE∥PB，交⊙O于点D，交PA于点E．
（1）求证：∠BDC=∠APB；
（2）若PA=8，PB=10，求线段CD的长．
【考点】切线的性质．
【分析】（1）连接AC，则可知∠ACB=90°，由PA是切线知∠PAB=90°，可得到∠BPA=∠CAB，且∠CAB=∠BDC，可得出结论；
（2）设AC交EO于点F，则可知OE⊥AC，且F为AC中点，由条件可求得CF=AF=，再在Rt△OAF
中求得OF的长，可求得DF的长，在Rt△CDF中，由勾股定理可求得CD的长．
【解答】解：（1）如图，连接AC交EO于点F，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵PA为⊙的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠APB+∠CBA=90°，
∴∠APB=∠CAB，
又∵∠CDB和∠CAB为弧BC所对的圆周角，
∴∠CDB=∠CAB，
∴∠APB=∠BDC；
（2）∵OE∥PB，
∴OE⊥AC，
∴AF=FC=AC，
∵PA=8，PB=10，
∴AB=6，
由等积法可得PA•AB=PB•AC，可求得AC=，
∴AF=AC=，且AO=3，
在Rt△AFO中，由勾股定理可求得OF=，则DF=OD﹣OF=3﹣=，
在Rt△CDF中，由勾股定理可求得CD=．
【点评】本题主要考查切线的性质及圆周角定理，在（1）中找到∠APB和∠CAB及∠BDC和∠CAB 之间的关系是解题的关键，在（2）中由条件得出OE⊥AC是解题的关键．
21．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【专题】方程思想．
【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．依据题意易得出平均每天销售量（y）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为y=90﹣3（x﹣50），然后根据销售利润=销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
【解答】解：（1）由题意得：
y=90﹣3（x﹣50）
化简得：y=﹣3x+240；（3分）
（2）由题意得：
w=（x﹣40）y
（x﹣40）（﹣3x+240）
=﹣3x2+360x﹣9600；（3分）
（3）w=﹣3x2+360x﹣9600
∵a=﹣3＜0，
∴抛物线开口向下．
当时，w有最大值．
又x＜60，w随x的增大而增大．
∴当x=55元时，w的最大值为1125元．
∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润．（4分）
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注
意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得．
22．阅读下面材料：
小辉遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E在边BC上，
∠DAE=45°．若BD=3，CE=1，求DE的长．
小辉发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ACF，连接EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE=45°，可证△FAE≌△DAE，得FE=DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．
请回答：在图2中，∠FCE的度数是90°，DE的长为．
参考小辉思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且
∠EAF=∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】探究型．
【分析】对于图2，由旋转性质得到∠ACF=∠B=45°，CF=BD，所以∠FCE=∠ACF+∠ACB=90°，然后利用勾股定理计算EF，即可得到DE；
对于图3，将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG，根据旋转的性质得BE=DG，AE=AG，∠DAG=∠BAE，∠B=∠ADG，由于∠B+∠ADC=180°，则∠ADG+∠ADC=180°，则可判断点F，D，G在同一条直线上，接着证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，由于
FG=DG+FD=BE+DF，于是得到EF=BE+FD．
【解答】解：如图2，∵∠ACF=∠B=45°，
∴∠FCE=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
在Rt△EFC中，∵CF=BD=3，CE=1，
∴EF===，
∴DE=，
故答案为90°；；
如图3，
猜想：EF=BE+FD．理由如下：
如图，将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG，
∴BE=DG，AE=AG，∠DAG=∠BAE，∠B=∠ADG，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADG+∠ADC=180°，即点F，D，G在同一条直线上，
∵∠DAG=∠BAE，
∴∠GAE=∠BAD，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠EAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+FD=BE+DF，
∴EF=BE+FD．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质．
23．已知：如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；
（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；
（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）求出S与t的函数关系式．
【考点】二次函数综合题；三角形的面积；等腰直角三角形．
【专题】压轴题．
【分析】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），然后把点A、B的坐标代入求出a、b的值，即可得解，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点M的坐标；
（2）根据点P的速度求出OP，即可得到点P的坐标，再根据点A的坐标求出∠AOC=45°，然后判断出△POQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出点Q的坐标即可；
（3）根据旋转的性质求出点O、Q的坐标，然后分别代入抛物线解析式，求解即可；
（4）求出点Q与点A重合时的t=1，点P与点C重合时的t=1.5，t=2时PQ经过点B，然后分①0＜t≤1时，重叠部分的面积等于△POQ的面积，②1＜t≤1.5时，重叠部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积的差，③1.5＜t＜2时，重叠部分的面积等于梯形的面积减去一个等腰直角三角形的面积分别列式整理即可得解．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），
把点A（1，﹣1），B（3，﹣1）代入得，
，
解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x，
∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣，
∴顶点M的坐标为（2，﹣）；。