2024届湖南省安仁一中、资兴市立中学数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届湖南省安仁一中、资兴市立中学数学高一第二学期期末学
业水平测试模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1
．两条平行直线20x y -
-=
与420x y -+=间的距离等于（ ）
A ．
12
B ．2
C ．
52
D ．4
2．若tan （4
π
α-）＝2，则sin 2α＝（ ）
A ．45-
B ．35
-
C ．
35
D ．
45
3．某人射击一次，设事件A ：“击中环数小于4”；事件B ：“击中环数大于4”；事件C ：“击中环数不小于4”；事件D ：“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是 A ．A 和B 为对立事件 B ．B 和C 为互斥事件 C ．C 与D 是对立事件
D ．B 与D 为互斥事件
4．当前，我省正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（ ） A ．30 B ．40
C ．20
D ．36
5．设0,
2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭，且tan 42θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 12πθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ） A
．
10
B
．
10
C
．
10
D
．10
-
6．函数22,1()11,12
x x f x x x ⎧-⎪
=⎨->⎪⎩则()()2f f ＝（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．2
D ．0
7．倾斜角为135,在y 轴上的截距为1-的直线方程是 A ．10x y -+=
B ．10x y --=
C ．10x y +-=
D ．10x y ++=
8．设0a b <<，则下列不等式中正确的是( ) A ．2a b
a b ab +<<
<
B ．2a b
a a
b b +<<
< C ．2
a b
a a
b b +<<< D ．2
a b
ab a b +<<
< 9．若直线过点
，则
的最小值等于（ ） A ．3
B ．4
C ．
D ．
10．从一批产品中取出两件产品，事件 “至少有一件是次品”的对立事件是 A ．至多有一件是次品 B ．两件都是次品 C ．只有一件是次品
D ．两件都不是次品
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知点
，若圆
上存在点使得
，
则的最大值为______．
12．如图所示，梯形ABCD 中，BC CD ⊥，AE DC ⊥于E ，M ，N 分别是AD ，AC 的中点，将四边形ABCE 沿AE 折起（不与平面ADE 重合）
，以下结论①//MN 面DEC ；②AE MN ⊥；③//MN AB ．则不论ABCE 折至何位置都有_______．
13．如图是一个三角形数表，记,1n a ，,2n a ，…，,n n a 分别表示第n 行从左向右数的第1个数，第2个数，…，第n 个数，则当2n ≥，*n N ∈时，,2n a =______.
14．平面α⊥平面β,l αβ=,n β⊂，n l ⊥，直线m α⊥，则直线m 与n 的位置
关系是___．
15．函数()21f x x x =+-的最大值为______. 16．计算23
lim
31
n n n →+∞-=+__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某工厂提供了节能降耗技术改造后生产产品过程中的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对照数据．
x
4 5 7
8 y
2
3
5
6
（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+； （2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测产量为9（吨）的生产能耗．相关公式：
11222
2
221
2
n n n
x y x y x y nx y b x x x ny
++-=
++
-，a y bx =-．
18．已知圆()()22
:414C x y -+-=,直线():23120l mx m y -++= （1）求证：直线l 过定点；
（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值；
（3）已知点()4,5M ，在直线MC 上（C 为圆心），存在定点N （异于点M ），满足：
对于圆C 上任一点P ，都有
PM PN
为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数．
19．已知数列{}n a 满足
11
11
n n n a a n +-⋅=-+且26a =，设n n b a n =+，*n N ∈. （1）求1234b b b b 、、、；
（2）求{}n b 的通项公式； （3）求2
34111
1lim 2222n n b b b b →∞⎛
⎫
++
+
+
⎪----⎝
⎭
. 20．已知圆心在x 轴的正半轴上，且半径为2的圆C 被直线y =（1）求圆C 的方程；
（2）设动直线(2)y =k x -与圆C 交于,A B 两点，则在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得直线AN 与直线BN 关于x 轴对称？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.
21．如果有穷数列123,,,
m a a a a (m 为正整数)满足1211,,m m m a a a a a a -===,即
1(1,2,
,)i m i a a i m -+==,那么我们称其为对称数列.
(1)设数列{}n b 是项数为7的对称数列,其中,1234,,,b b b b 为等差数列,且142,11b b ==,依次写出数列{}n b 的各项;
(2)设数列{}n c 是项数为21k -(正整数1k >)的对称数列,其中121,,,k k k c c c +-⋯是首项为50,公差为-4的等差数列.记数列{}n c 的各项和为数列21k S -,当k 为何值时,21k S -取得最大值?并求出此最大值;
(3)对于确定的正整数1m ,写出所有项数不超过2m 的对称数列,使得211,2,2,,2m -⋯依次为该数列中连续的项.当1500m >时,求其中一个数列的前2015项和2015S .
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、C 【解题分析】
先把直线方程中未知数的系数化为相同的，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．
【题目详解】
解：两条平行直线20x y -
-=与420x y -+=间，
即两条平行直线420x y --与420x y -+=，
52
=
， 故选：C ． 【题目点拨】
本题主要考查两条平行直线间的距离公式应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题． 2、B 【解题分析】
由两角差的正切得tan α，化sin 2α为tan α的齐次式求解 【题目详解】
tan （
4π
α-）＝2，则
1tan 1
2tan 1tan 3
ααα-=∴=-+
则sin 2α＝222
2sin cos 2tan sin cos 1tan ααα
ααα==++ 35
故选：B 【题目点拨】
本题考查两角差的正切公式，考查二倍角公式及齐次式求值，意在考查公式的灵活运用，是基础题 3、D 【解题分析】
根据互斥事件和对立事件的概念，进行判定，即可求解，得到答案. 【题目详解】
由题意，A 项中，事件“击中环数等于4环”可能发生，所以事件A 和B 为不是对立事件；
B 项中，事件B 和
C 可能同时发生，所以事件B 和C 不是互斥事件；
C 项中，事件“击中环数等于0环”可能发生，所以事件C 和
D 为不是对立事件； D 项中，事件B ：“击中环数大于4”与事件D ：“击中环数大于0且小于4”，不可能同时发生，所以B 与D 为互斥事件，故选D. 【题目点拨】
本题主要考查了互斥事件和对立事件的概念及判定，其中解答中熟记互斥事件和对立事
件的概念，准确判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 4、A 【解题分析】
先求出每个个体被抽到的概率,再由乙社区的低收入家庭数量乘以每个个体被抽到的概率,即可求解 【题目详解】
每个个体被抽到的概率为
901
3602701809
=++,
乙社区由270户低收入家庭,故应从乙中抽取低收入家庭的户数为1
270309
⨯=, 故选:A 【题目点拨】
本题考查分层抽样的应用,属于基础题 5、B 【解题分析】
利用两角和差正切公式可求得tan θ；根据θ范围可求得sin ,cos θθ；利用两角和差公式计算出sin
,cos
12
12
π
π
；利用两角和差余弦公式计算出结果.
【题目详解】
tan tan
2144tan tan 344121tan tan
44ππθππθθππθ⎛
⎫+- ⎪--⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪-⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭
0,2
πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
sin θ∴=，cos θ=
又sin
sin sin cos cos sin 12464646π
ππππππ⎛⎫
=-=-=
⎪⎝⎭
cos
cos cos cos sin sin 124646464π
ππππππ⎛⎫
=-=+=
⎪⎝⎭
cos cos cos sin sin 121212104104πππθθθ⎛
⎫∴-=+=⨯+ ⎪⎝
⎭
2155
10
-=
本题正确选项：B 【题目点拨】
本题考查利用三角恒等变换中的两角和差的正余弦和正切公式求解三角函数值的问题，涉及到同角三角函数关系的应用；关键是能够熟练应用两角和差公式进行配凑，求得所需的三角函数值. 6、B 【解题分析】
先求得()2f 的值，进而求得()()2f f 的值. 【题目详解】 依题意()1
22102
f =⨯-=，()00221f =-=-，故选B. 【题目点拨】
本小题主要考查分段函数求值，考查运算求解能力，属于基础题. 7、D 【解题分析】
试题分析：倾斜角135θ=tan 1k θ∴==-，直线方程截距式
110y x x y =--∴++=
考点：斜截式直线方程
点评：直线斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则直线方程为y kx b =+，求直线方程最终结果整理为一般式方程 8、B 【解题分析】
取4,16a b ==，则4168ab =⨯=，
416
1022
a b ++==，只有B 符合．故选B ． 考点：基本不等式． 9、C 【解题分析】 将
代入直线方程得到
，利用均值不等式得到
的最小值.
【题目详解】 将
代入直线方程得到
当时等号成立
故答案选C
【题目点拨】
本题考查了直线方程，均值不等式，1的代换是解题的关键.
10、D
【解题分析】
试题分析：根据对立事件的定义，至少有n个的对立事件是至多有n﹣1个，由事件A：“至少有一件次品”，我们易得结果．
解：∵至少有n个的否定是至多有n﹣1个
又∵事件A：“至少有一件次品”，
∴事件A的对立事件为：至多有零件次品，
即是两件都不是次品．
故答案为D．
点评：本题考查的知识点是互斥事件和对立事件，互斥事件关键是要抓住不可能同时发生的要点，对立事件则要抓住有且只有一个发生，可以转化命题的否定，集合的补集来进行求解．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、
【解题分析】
利用参数方程假设点坐标，表示出和，利用可得到
，从而求得的最大值.
【题目详解】
设
当时取等号
本题正确结果：
【题目点拨】
本题考查圆中参数范围求解的问题，关键是能够利用圆的参数方程，利用向量数量积及三角函数关系求得最值. 12、①② 【解题分析】
根据题意作出折起后的几何图形，再根据线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，异面直线的判定定理等知识即可判断各选项的真假． 【题目详解】
作出折起后的几何图形，如图所示：．
因为M ，N 分别是AD ，AC 的中点，所以MN 是ACD 的中位线，所以//MN CD ． 而MN ⊂面CDE ，所以//MN 面DEC ，①正确；无论怎样折起，始终有
,AE DE AE CE ⊥⊥，所以AE ⊥面DEC ，即有AE CD ⊥，而//MN CD ，所以
AE MN ⊥，②正确；折起后，M ∉面ABCE ，N ∈面ABCE ，且N AB ∉，故MN
与AB 是异面直线，③错误． 故答案为：①②． 【题目点拨】
本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，异面直线的判定定理等知识的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于基础题． 13、223n n -+ 【解题分析】
由图表，利用归纳法，得出()(),21,221123n n a a n n --=--=-，再利用叠加法，即可求解数列的通项公式. 【题目详解】
由图表，可得2,23a =，3,26a =，4,211a =，5,218a =，6,227a =， 可归纳为()(),21,221123n n a a n n --=--=-， 利用叠加法可得：
()()()
,2,21,23,22,22,21,22,2()()()335723n n n n n a a a a a a a a n ---=-+-+
+-+=++++⋅⋅⋅+-()()232323232
n n n n +--=
+=-+，
故答案为223n n -+. 【题目点拨】
本题主要考查了归纳推理的应用，以及数列的叠加法的应用，其中解答中根据图表，利用归纳法，求得数列的递推关系式()(),21,221123n n a a n n --=--=-是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 14、//m n 【解题分析】
利用面面垂直的性质定理得到n ⊥平面α，又直线m α⊥，利用线面垂直性质定理得
//m n .
【题目详解】
在长方体1111ABCD A B C D -中，设平面11ADD A 为平面α，平面ABCD 为平面β， 直线AD 为直线l ，由于n β⊂，n l ⊥，由面面垂直的性质定理可得：n ⊥平面α， 因为m α⊥，由线面垂直的性质定理，可得//m n .
【题目点拨】
空间中点、线、面的位置关系问题，一般是利用线面平行或垂直的判定定理或性质定理进行求解. 152 【解题分析】
设cos [1x θ=∈-，1]，[]0,θπ∈，则2sin 1x θ=-，，
可得()()cos sin 24f x g πθθθθ⎛
⎫==+=+ ⎪⎝
⎭，再根据正弦函数的定义域和值域，求得
函数的最值． 【题目详解】
解：
函数()f x x =，设[]cos 1,1x θ=∈-，[]0,θπ∈
，则sin θ=，，
()()cos sin 4f x g πθθθθ⎛⎫∴==+=+ ⎪⎝
⎭， []0,θπ∈
5,444πππθ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦
， 故当42π
π
θ+=，即4
πθ=时，函数(
)max 4g g πθ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 故(
)max f x =
；
【题目点拨】
本题主要考查求函数的值域，正弦函数的定义域和值域，体现了转化的数学思想，属于基础题．
16、23
【解题分析】
采用分离常数法对所给极限式变形，可得到极限值.
【题目详解】
211223211233lim lim lim []313133(31)3
n n n n n n n n →+∞→+∞→+∞+--==-=+++. 【题目点拨】
本题考查分离常数法求极限，难度较易.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2y x =-（2）可以预测产量为9（吨）的生产能耗为7（吨）
【解题分析】
（1）根据表格中的数据，求出,x y ，41106i i i x y ==∑，()42
1154i i x ==∑，代入回归系数
的公式可求得b ，再根据回归直线过样本中心点即可求解.
由（1）将9x =代入即可求解.
【题目详解】
（1）由题意，根据表格中的数据，求得457864x +++==，235644y +++==，41106i i i x y ==∑，()42
1154i i x ==∑，
代入回归系数的公式，求得1b =，则2a y bx =-=-，
故线性回归方程为2y x =-．
（2）由（1）可知，当9x =时，927y =-=，
则可以预测产量为9（吨）的生产能耗为7（吨）．
【题目点拨】
本题考查了线性回归方程，需掌握回归直线过样本中心点这一特征，考查了学生的计算能力，属于基础题.
18、（1）直线l 过定点()3,2A （2）1m =-.
（3）在直线MC 上存在定点()4,2N ，使得
PM PN 为常数2.
【解题分析】
分析：（Ⅰ）利用直线系方程的特征，直接求解直线l 过定点A 的坐标．
（Ⅱ）当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知()4,1C ，r=2，求出AC 的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可． （Ⅲ）由题知，直线MC 的方程为4x =，假设存在定点N ()
4,N t 满足题意， 则设P （x ，y ），PM PN λ=，得222||PM PN λ= (0)λ>，且()()22441x y -=--，求出λ，然后求解比值．
详解：（Ⅰ）依题意得， ()()2320m x y y -+-=
令230x y -=且20y -=，得3,2x y ==
∴直线l 过定点()3,2A
（Ⅱ）当AC l ⊥时，所截得弦长最短，由题知()4,1C ， 2r =
∴ 21134AC k -==--，得1111l AC k k --===-， ∴由2131
m m =+得1m =-
（Ⅲ）法一：由题知，直线MC 的方程为4x =，假设存在定点()4,N t 满足题意， 则设(),P x y ，
PM PN λ=，得222||PM PN λ= (0)λ>，且()()22441x y -=-- ∴ ()()()()222222241541y y y y t λλλ--+-=--+-
整理得， ()()
2222283280t y t λλ⎡⎤-+++-=⎣⎦ 上式对任意[]1,3y ∈-恒成立， ∴ ()22280t λ-+=且()223280t λ+-= 解得27100t t -+= ,说以2,5t t ==（舍去，与M 重合），24,2λλ==
综上可知，在直线MC 上存在定点()4,2N ，使得PM PN 为常数2
点睛：过定点的直线系A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）=0表示通过两直线l 1∶A 1x ＋B 1y ＋C 1=0与l 2∶A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系，而这交点即为直线系所通过的定点．
19、（1）12b =，28b =，318b =，432b =；（1）22n b n =，*n N ∈；（3）38
. 【解题分析】
（1）依次代入计算，可求得1234b b b b 、、、；
（1）归纳出n b ，并用数学归纳法证明；
（3）用裂项相消法求和
23411112222n b b b b ++++----，然后求极限． 【题目详解】
（1）∵1111
n n n a a n +-⋅=-+且26a =， ∴110a -=，即11a =，1112b a =+=，2228b a =+=，
321153
a a =-=，315a =，33318
b a =+=， 4321144
a a =-=，428a =，33432
b a =+=， ∴12342,8,18,32b b b b ====；
（1）由（1）归纳：22n b n =，
下面用数学归纳法证明：
1°
n =1，n =1时，由（1）知成立， 1°假设n =k （k >1）时，结论成立，即b k =1k 1，
则n =k +1时，a k =b k -k =1k 1-k ，
211121(21)(1)1
k k k a a k k k k k +-⋅=-=--=+-+， a k +1=(1k +1)(k +1)，
∴b k +1=a k +1+(k +1)=(1k +1)(k +1)+(k +1)=1(k +1)1，
∴n =k +1时结论成立，
∴对所有正整数n ，b n =1n 1． （3）由（1）知n ≥1时，211111()222411
n b n n n ==----+， ∴23411112222n b b b b ++++---- 11111111[(1)()()()]4324211
n n n n =-+-++-+---+ 11111311(1)()421421
n n n n =+--=--++， 23411111311lim lim(()2222421n n n b b b b n n →∞→∞⎛⎫++++=-- ⎪----+⎝⎭
13113(lim lim )4218
n n n n →∞→∞=--=+． 【题目点拨】
本题考查用归纳法求数列的通项公式，考查用裂项相消法求数列的和，考查数列的极限．在求数列通项公式时，可以根据已知的递推关系求出数列的前几项，然后归纳出通项公式，并用数学归纳法证明，这对学生的归纳推理能力有一定的要求，这也就是我们平常所学的从特殊到一般的推理方法．
20、（1）22
(1)4x y -+=
（2）当点N 为(5,0)时，直线AN 与直线BN 关于x 轴对称，详见解析
【解题分析】
（1）设圆C 的方程为22
()4,(0)x a y a -+=>，由垂径定理求得弦长，可求得a ，从而得圆的方程；
（2）假设存在定点N ，使得直线AN 与直线BN 关于x 轴对称，则AN BN k k =-，同时
设()()1122(,0),,,,N t A x y B x y ，直线方程代入圆方程后用韦达定理得1212,x x x x +，AN BN k k =-即为
12120y y x t x t
+=--，代入1212,x x x x +可求得t ，说明存在． 【题目详解】 （1）设圆C 的方程为：22()4,(0)x a y a -+=>
圆心(,0)a
0y -=
的距离2d =
=
根据垂径定理得222222r d ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭
， 2313444
a ∴+=，解得1a =±， 0,1a a >∴=，故圆C 的方程为22(1)4x y -+=
（2）假设存在定点N ，使得直线AN 与直线BN 关于x 轴对称，
那么AN BN k k =-，
设()()1122(,0),,,,N t A x y B x y
联立22(1)4(2)x y y k x ⎧-+=⎨=-⎩
得： ()()()2222142430k x k x k +-++-=
2122212242143
1k x x k k x x k ⎧++=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩
由12120,AN BN y y k k x t x t
=-∴+=-- ()()1212220k x k x x t x t
--∴+=-- ()12122(2)40x x t x x t ∴-+++=
()
()222224342(2)4011k k t t k k -++∴-+=++
()()()22224342(2)410k k t t k ∴--+++-=.
2100t ∴-=
5t ∴=
故存在，当点N 为(5,0)时，直线AN 与直线BN 关于x 轴对称.
【题目点拨】
本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系．在解决存在性命题时，一般都是假设存在，然后根据已知去推理求解．象本题定点问题，就是假设存在定点(,0)N t ，用设而不求法推理求解，解出t 值，如不能解出t 值，说明不存在．
21、 (1)2,5,8,11,8,5,2;(2)13,626k =;(3)答案见详解
【解题分析】
(1)求出前四项的公差，然后写出即可
(2)先算出121k k k c c c +-+++，然后()211212k k k k k S c c c c -+-=+++-
(3)依题意，可写出所有项数不超过2m 的对称数列，然后求出第一个数列的2015S
【题目详解】
(1)设数列{}n b 的公差为d ，则
4132311b b d d =+=+=，解得2d =
所以{}n b 各项为2,5,8,11,8,5,2
(2)因为121,,,k k k c c c +-⋯是首项为50,公差为-4的等差数列 所以2121(1)50(4)2522
k k k k k c c c k k k +--+++=+⨯-=-+ 所以21121121k k k k k S c c c c c c --+-=+++++++ ()1212k k k k c c c c +-=+++-
()22225250410450k k k k =-+-=-+-
所以当13k =时21k S -取得最大值，为626
(3)所有可能的对称数列是
①22121,2,2,
2,2,2,,2,1m m m ---, ②221121,2,2,2,2,2,2,
,2,1m m m m ----, ③122212,2,,2,1,2,2,2,2m m m m ----,
④122212,2,,2,1,1,2,2,2,2m m m m ----,
对于①，当2015m ≥时，
2201420152015122221S =++++=-
当15002015m <<时
22122201620151222222m m m m S ----=++++++++ 12201612201621222221m m m m m m ----=-+-=+--
所以2015201512201621,2015222
1,15002015m m m m S m --⎧-≥⎪⎨+--<<⎪⎩ 【题目点拨】
本题是一道数列的新定义的题，考查了数列的求和和最值问题.。