八年级数学上学期第7周周末试卷(含解析) 新人教版

2015-2016学年江苏省镇江市丹阳市云阳学校八年级（上）第7周周末数学
试卷
一、选择题
1．下列说法中，正确的是（）
A．的平方根是± B．﹣a2一定没有平方根
C．0.9的平方根是±0.3 D．a2﹣1一定有平方根
2．下列各数：0，（﹣3）2，﹣（﹣2），﹣|﹣5|，3.14﹣π，x2﹣1，其中有平方根的数有（）A．3个B．4个C．5个D．6个
3．下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是（）
A．9，12，15 B．7，24，25 C．6，8，10 D．3，5，7
4．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′．设AB=a，BC=b，AC=c，这样可以用来说明我们学习过的定理或者公式是（）
A．勾股定理 B．平方差公式
C．完全平方公式 D．以上3个答案都可以
5．如图，等边△ABC的高AH等于，那么该三角形的面积为（）
A． B．2 C．2 D．4
6．已知等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则一腰上的高为（）
A．12 B． C． D．
7．下列说法中，不正确的是（）
A．三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形
B．三个角的度数之比为3：4：5的三角形是直角三角形
C．三边长度之比为3：4：5的三角形是直角三角形
D．三边长度之比为5：12：13的三角形是直角三角形
8．三角形的三边长分别为a2+b2、2ab、a2﹣b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定
9．如图一直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
10．估算﹣2的值（）
A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间
二、填空题
11．平方根等于它本身的数是．
12．2的平方根是．
13．3x﹣2的平方根是±5，则x﹣5的平方根是．
14．在Rt△ABC中，BC=5，AC=12，则AB= ，AB边上的高是．
15．如果一直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是．
16．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，BD⊥AC于D，点E为AC的中点，若BC=7，AB=24，则BE= ，BD= ．
17．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则图中所有正方形的面积之和为cm2．
18．把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为．
三、解答题（共40分）
19．求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）．
20．如图所示，15只空油桶如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．
（1）试说明：AF=FC；
（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长．
22．如图所示、△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若AD=1，BD=2，求CD的长．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，点P是边BC上任意一点，求证：AB2﹣AP2=BP•CP．
24．（9分）探究发散：
（1）完成下列填空
①= ，② = ，③ = ，
④= ，⑤ = ，⑥ = ，
（2）根据计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来：（3）利用你总结的规律，计算：①若x＜2，则= ；② = ．
25．细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．
（）2+1=2，S1=
（）2+1=3，S2=
（）2+1=4，S3=
（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）推算出OA10的长；
（3）求出S12+S22+S22+…+S102的值．
26．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式+的最小值．
27．知者加速：
（1）如图所示是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是；
（2）观察下列各式，你有什么发现？
32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41，…
这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？请你结合有关知识进行研究．若132=a+b，则a，b的值可能是多少．
2015-2016学年江苏省镇江市丹阳市云阳学校八年级（上）第7周周末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列说法中，正确的是（）
A．的平方根是± B．﹣a2一定没有平方根
C．0.9的平方根是±0.3 D．a2﹣1一定有平方根
【考点】平方根．
【分析】根据平方根的定义和性质逐一判断即可．
【解答】解：A、∵=2，∴的平方根是±，此选项正确；
B、当a=0时，﹣a2的平方根是0，此选项错误；
C、（±0.3）2=0.09≠0.9，故此选项错误；
D、当a2﹣1＜0，即﹣1＜a＜1时，a2﹣1没有平方根，此选项错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查平方根的定义和性质，熟练掌握其定义和性质是关键．
2．下列各数：0，（﹣3）2，﹣（﹣2），﹣|﹣5|，3.14﹣π，x2﹣1，其中有平方根的数有（）A．3个B．4个C．5个D．6个
【考点】平方根．
【分析】先化简，根据正数和0有平方根即可解答．
【解答】解：（﹣3）2=9，﹣（﹣2）=2，﹣|﹣5|=﹣5，3.14﹣π＜0，x2﹣1也可能为负数，
有平方根的数有0，（﹣3）2，﹣（﹣2）共3个，故选：A．
【点评】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记正数和0有平方根．
3．下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是（）
A．9，12，15 B．7，24，25 C．6，8，10 D．3，5，7
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】计算题．
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、∵92+122=225=152，
∴此三角形是直角三角形，
故此选项错误；
B、∵72+242=625=252，
∴此三角形是直角三角形，
故此选项错误；
C、∵62+82=1000=102，
∴此三角形是直角三角形，
故此选项错误；
D、∵32+52=34≠72=49，
∴此三角形不是直角三角形，
故此选项正确．
故选D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′．设AB=a，BC=b，AC=c，这样可以用来说明我们学习过的定理或者公式是（）
A．勾股定理 B．平方差公式
C．完全平方公式 D．以上3个答案都可以
【考点】勾股定理的证明．
【分析】四边形BCC′D′的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示从组成来看，由三个直角三角形组成．应利用三角形的面积公式来进行表示．
【解答】证明：四边形BCC′D′为直角梯形，
∴S梯形BCC′D′=（BC+C′D′）•BD′=，
又∵∠AB′C′=90°，Rt△ABC≌Rt△AB′C′
∴∠BAC=∠B′AC′．
∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°；
∴S梯形BCC′D′=S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′=ab+c2+ab=；
∴=；
∴a2+b2=c2，
故选A．
【点评】此题是勾股定理，考查了用数形结合来证明勾股定理，需注意：组成的图形的面积有两种表示方法：大的面积的表示方法和各个组成部分的面积的和．
5．如图，等边△ABC的高AH等于，那么该三角形的面积为（）
A． B．2 C．2 D．4
【考点】等边三角形的性质．
【分析】利用等边三角形的性质以及解直角三角形的知识求出BC的长，即可求出△ABC的面积．【解答】解：∵AB=AC=BC，
∴BH=CH=CB=AB，∠BAH=30°，
∵AH=，
∴cos30°=，
∴AB==2cm，
∴BC=2cm，
∴△ABC的面积为：•CB•AH=×2×=（cm2）．
故选A．
【点评】本题考查了等边三角形的性质以及解直角三角形，解决问题的关键是利用解直角三角形求出BC的长．
6．已知等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则一腰上的高为（）
A．12 B． C． D．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【分析】已知等腰三角形的底边长和腰的长，可以求出底边上的高，再利用等面积法求出腰上的高．【解答】解：如图所示，
过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，
∵AD⊥BC于D，
∴BD=DC，
∵BC=10，
∴BD=DC=5，
在Rt△ABD中，AD=，
由于BC•AD=AC•BE
BE==．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理．在等腰三角形和直角三角形中，利用等面积法求线段的长应用非常广泛，要注意体会和应用．
7．下列说法中，不正确的是（）
A．三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形
B．三个角的度数之比为3：4：5的三角形是直角三角形
C．三边长度之比为3：4：5的三角形是直角三角形
D．三边长度之比为5：12：13的三角形是直角三角形
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，选择正确答案．
【解答】解：A、根据三角形的内角和公式求得，各角分别为22.5°，67.5°，90°，所以是直角三角形；
B、根据三角形的内角和公式求得，各角分别为45°，60°，75°，所以不是直角三角形；
C、两边的平方和等于第三边的平方，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形；
D、两边的平方和等于第三边的平，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形．
故选B．
【点评】此题考查了利用三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理来判定直角三角形的方法．解题的关键是对知识熟练运用．
8．三角形的三边长分别为a2+b2、2ab、a2﹣b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法之一．
【解答】解：根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2=c2时，则三角形为直角三角形，
∵（a2﹣b2）2+（2ab）2=（a2+b2）2，
∴三角形为直角三角形．
故选A．
【点评】本题考查了直角三角形的判定，可用勾股定理的逆定理判定．
9．如图一直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】首先根据题意得到：△AED≌△ACD；进而得到AE=AC=6，DE=CD；根据勾股定理求出AB=10；再次利用勾股定理列出关于线段CD的方程，问题即可解决．
【解答】解：
由勾股定理得：
==10，
由题意得：△AED≌△ACD，
∴AE=AC=6，DE=CD（设为x）；
∠AED=∠C=90°，
∴BE=10﹣6=4，BD=8﹣x；
由勾股定理得：
（8﹣x）2=42+x2，
解得：x=3（cm），
故选B．
【点评】该命题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是借助翻折变换的性质，灵活运用勾股定理、全等三角形的性质等几何知识来分析、判断、推理或解答．
10．估算﹣2的值（）
A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间
【考点】估算无理数的大小．
【分析】先估计的整数部分，然后即可判断﹣2的近似值．
【解答】解：∵5＜＜6，
∴3＜﹣2＜4．
故选C．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
二、填空题
11．平方根等于它本身的数是0 ．
【考点】平方根．
【分析】根据平方根的定义即可求出平方根等于它本身的数．
【解答】解：∵02=0，
∴0的平方根是0．
∴平方根等于它本身的数是0．
故填0．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12．2的平方根是±．
【考点】平方根．
【分析】直接根据平方根的定义求解即可（需注意一个正数有两个平方根）．
【解答】解：2的平方根是±．
故答案为：±．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
13．3x﹣2的平方根是±5，则x﹣5的平方根是±2 ．
【考点】平方根．
【分析】由于3x﹣2的平方根是±5，可知3x﹣2=25，可得x的值，再代入求得x﹣5的值，进一步即得结果．
【解答】解：∵3x﹣2的平方根是±5，
∴3x﹣2=25，
解答x=9，
∴x﹣5=9﹣5=4，
∴x﹣5的平方根是±2．
故答案为：±2．
【点评】本题考查了平方根的定义．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
14．在Rt△ABC中，BC=5，AC=12，则AB= 13或，AB边上的高是或5 ．
【考点】勾股定理．
【分析】根据题意可以分为两种情况：①∠B=90°时，AC=12，BC=5；②∠C=90°时，BC=5，AC=12，在两个直角三角形中，由勾股定理求出AB的值，过点C向AB边作CD⊥AB于D，CD即是AB边上的高，由三角形的相似性质得出CD与别的边的关系，求出CD即可．
【解答】解：分为两种情况：
①如下图所示：∠B=90°，AC=12，BC=5，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB===，
AB边上的高为BC=5．
②如图所示：∠C=90°，BC=5，AC=12，作CD⊥AB，即CD是AB的边上的高，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB===，
∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°，
∴△BDC∽△BCA，
∴=，
∴CD=×CA=×12=，
即：此时AB边上的高为：CD=，
所以AB的边长为：13或，AB边上的高为：或5．
【点评】本题主要考查勾股定理的运用，涉及勾股定理和分类讨论的思想，当题中并没准确给出确定的边和角时，应注意分类讨论的运用．
15．如果一直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是4或．
【考点】勾股定理．
【专题】分类讨论．
【分析】求第三边的长必须分类讨论，即5是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：当5是斜边时，第三边长==4；
当5是直角边时，第三边长==．
综上所述：第三边长是4或．
故答案为：4或．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
16．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，BD⊥AC于D，点E为AC的中点，若BC=7，AB=24，则BE= 12.5 ，BD= 6.72 ．
【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据勾股定理即可求得AC的长，再依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得BE的长；
根据△ABC的面积=AB•BC=AC•BD即可求解．
【解答】解：在直角△ABC中：AC===25．
∴BE=AC=12.5；
∵△ABC的面积=AB•BC=AC•BD
∴BD===6.72．
【点评】本题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的面积的计算方法．
17．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则图中所有正方形的面积之和为147 cm2．
【考点】勾股定理．
【分析】根据勾股定理有S正方形2+S正方形3=S正方形1，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形3，等量代换即可求所有正方形的面积之和．
【解答】解：如右图所示，
根据勾股定理可知，
S正方形2+S正方形3=S正方形1=72=49，
S正方形C+S正方形D=S正方形，3
S正方形A+S正方形E=S正方形2，
∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E=S正方形1．
则S正方形1+正方形2+S正方形3+S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E=3S正方形1=3×72=3×49=147cm2．
故答案是147．
【点评】本题考查了勾股定理．有一定难度，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
18．把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】压轴题．
【分析】利用折叠的性质和勾股定理可知．
【解答】解：由勾股定理得，MN=5，
设Rt△PMN的斜边上的高为h，由矩形的宽AB也为h，
根据直角三角形的面积公式得，h=PM•PN÷MN=，
由折叠的性质知，BC=PM+MN+PN=12，
∴矩形的面积=AB•BC=．
【点评】本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②勾股定理，直角三角形和矩形的面积公式求解．
三、解答题（共40分）
19．求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）．
【考点】算术平方根．
【分析】（1）直接利用算术平方根的定义化简得出答案；
（2）直接利用算术平方根的定义化简得出答案；
（3）直接利用算术平方根的定义化简得出答案．
【解答】解：（1）=1.2；
（2）=；
（3）===．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确把握相关定义是解题关键．
20．如图所示，15只空油桶（2015秋•雅安校级月考）如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．
（1）试说明：AF=FC；
（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．
【分析】（1）根据平行线的性质以及折叠的性质可以证明∠DAC=∠ACE，然后根据等角对等边即可证得；
（2）设AF=x，则DF=4﹣x，CF=AF=x，在直角△CDF中根据勾股定理即可列方程求得AF的长．【解答】（1）证明：∵将△ABC沿AC对折至△AEC位置，
∴∠ACB=∠ACE，
又∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∴∠DAC=∠ACE，
∴AF=CF；
（2）解：设AF=x，则DF=4﹣x，CF=AF=x，
在直角△CDF中，∵∠D=90°，
∴CF2=CD2+DF2，即x2=9+（4﹣x）2，
解得：x=，
即AF的长为．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．
22．如图所示、△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若AD=1，BD=2，求CD的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）因为∠AOB=∠COD=90°，由等量代换可得∠DOB=∠AOC，又因为△AOB和△COD均为等腰直角三角形，所以OC=OD，OA=OB，则△AOC≌△BOD；
（2）由（1）可知△AOC≌△BOD，所以AC=BD=2，∠CAO=∠DBO=45°，由等量代换求得∠CAB=90°，则CD=．
【解答】（1）证明：∵∠DOB=90°﹣∠AOD，∠AOC=90°﹣∠AOD，
∴∠BOD=∠AOC，
又∵OC=OD，OA=OB，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS）；
（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴AC=BD=2，∠CAO=∠DBO=45°，
∴∠CAB=∠CAO+∠BAO=90°，
∴CD===．
【点评】此题为全等三角形判定的综合题．考查学生综合运用数学知识的能力．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，点P是边BC上任意一点，求证：AB2﹣AP2=BP•CP．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADP=90°，由勾股定理得AB2=AD2+BD2，AP2=AD2﹣DP2，得出AB2﹣AP2=BD2﹣DP2=（BD+DP）（BD﹣DP），再由等腰三角形的性质得出BD=CD，即可得出结论．
【解答】证明：作AD⊥BC于D，如图所示：
则∠ADB=∠ADP=90°，
∴AB2=AD2+BD2，AP2=AD2﹣DP2，
∴AB2﹣AP2=BD2﹣DP2=（BD+DP）（BD﹣DP）=BP（BD﹣DP），
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴AB2﹣AP2=BP（BD﹣DP）=BP（CD﹣DP）=BP•CP．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、平方差公式；熟练掌握等腰三角形的性质，运用勾股定理和平方差公式进行计算是解决问题的关键．
24．探究发散：
（1）完成下列填空
①= 3 ，② = 0.5 ，③ = 6 ，
④= 0 ，⑤ = ，⑥ = ，
（2）根据计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来：若a≥0， =a；若a＜0， =﹣a．
（3）利用你总结的规律，计算：①若x＜2，则= 2﹣x ；② = π﹣3.14 ．
【考点】二次根式的性质与化简；二次根式的定义．
【专题】计算题．
【分析】（1）运用二次根式的性质： =a（a≥0），可以直接写出结果．（2）根据（1）题的结果进行分析发现规律，然后写出规律．（3）运用（2）中的规律进行计算．
【解答】解：（1）①=3，
②=0.5，
③==6，
④=0，
⑤==，
⑥==；
（2）不一定等于a，当a≥0时， =a；当a＜0时， =﹣a；
（3）①∵x＜2，
∴x﹣2＜0，
∴=2﹣x；
②∵3.14﹣π＜0，
∴=π﹣3.14．
【点评】本题考查的是二次根式的性质，（1）题根据二次根式的性质进行计算．（2）题由（1）题计算的结果找出规律，并把规律写出来．（3）题运用（2）的规律化简求值．
25．细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．
（）2+1=2，S1=
（）2+1=3，S2=
（）2+1=4，S3=
（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）推算出OA10的长；
（3）求出S12+S22+S22+…+S102的值．
【考点】勾股定理．
【专题】规律型．
【分析】此题要利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现，第n个图形的一直角边就是，然后利用面积公式可得．
由同述OA2=，0A3=…可知OA10=．
S12+S22+S32+…+S102的值就是把面积的平方相加就可．
【解答】解：（1）（1分）
（n是正整数）
（2）∵
∴
（3）S12+S22+S32+…+S102
=（5分）
=
=．
【点评】此题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计算．千万不可盲目计算．
26．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式+的最小值．
【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理．
【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E 三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式+的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．
【解答】解：（1）AC+CE=+；
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）如右图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，
连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数+的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，
所以AE===13，
即+的最小值为13．
故代数式+的最小值为13．
【点评】此题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．
27．知者加速：
（1）如图所示是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是12≤a≤13 ；（2）观察下列各式，你有什么发现？
32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41，…
这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？请你结合有关知识进行研究．若132=a+b，则a，b的值可能是多少．
【考点】勾股定理的应用；规律型：数字的变化类．
【分析】（1）构建以5、12为直角边的直角三角形，根据勾股定理即可求出斜边的长度，从而得出a的取值范围；
（2）观察给定等式，根据等式数字的变化找出变化规律“（2n+1）2=（2n2+2n）+（2n2+2n+1）（n 为正整数）”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：（1）构建直角三角形，如图所示．
其中AC=12，BC=5，
由勾股定理可得：AB==13．
∴a的取值范围为：12≤a≤13．
故答案为：12≤a≤13．
（2）不是巧合，这些等式中蕴涵着规律．
观察，发现规律：32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41，…，
等式的左边=（2n+1）2=4n2+4n+1=（2n2+2n）+（2n2+2n+1）=等式右边，
∴存在规律：（2n+1）2=（2n2+2n）+（2n2+2n+1）（n为正整数）．
当n=6时，132=（2×62+2×6）+（2×62+2×6+1）=84+85，
∴a=84，b=85．
【点评】本题考查了勾股定理的应用以及规律型中数字的变化类，解题的关键是：（1）根据勾股定理求出斜边的长度；（2）找出变化规律“（2n+1）2=（2n2+2n）+（2n2+2n+1）（n为正整数）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数字的变化找出变化规律是关键．。