12 二次函数与幂函数

(十二) 二次函数与幂函数
A 级——夯基保分练
1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，1
4，则它的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)
D ．(－∞，＋∞)
解析：选C 设幂函数f (x )＝x α， ∵f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，1
4， ∴2α＝1
4，解得α＝－2，
则f (x )＝x －2＝1
x
2，且x ≠0，
∵y ＝x 2在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增， ∴函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0)．
2．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．6
D ．－6 解析：选C 由f (1)＝f (2)＝0知方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为1,2，则p ＝－3，q ＝2，∴f (x )＝x 2－3x ＋2，∴f (－1)＝6.
3．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R )，对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )成立，在函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的一个不可能是( )
A ．f (－1)
B ．f (1)
C ．f (2)
D ．f (5)
解析：选B 由f (2＋t )＝f (2－t )知函数y ＝f (x )的图象对称轴为x ＝2.当a >0时，易知f (5)＝f (－1)>f (1)>f (2)；当a <0时，f (5)＝f (－1)<f (1)<f (2)，故最小的不可能是f (1)．
4．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )
解析：选D 由A 、C 、D 知，f (0)＝c <0，
从而由abc >0，所以ab <0，所以对称轴x ＝－b
2a >0，知A 、C 错误，D 满足要求；由B
知f (0)＝c >0，
所以ab >0，所以对称轴x ＝－b
2a
<0，B 错误．
5．已知方程x 2＋(m －2)x ＋2m －1＝0的较小的实根在0和1之间，则实数m 的取值范围是____________．
解析：令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋2m －1.
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧
2m －1>0，
1＋(m －2)＋2m －1<0，
解得12<m <2
3.
答案：⎝⎛⎭⎫12，23
B 级——达标综合练
6．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )
A ．－3
B ．1
C ．2
D ．1或2
解析：选B ∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
n 2＋2n －2＝1，n 2－3n 是偶数，n 2
－3n <0，
解得n ＝1.
7．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0
D ．a <0,2a ＋b ＝0
解析：选A 因为f (0)＝f (4)>f (1)，所以函数图象应开口向上，即a >0，且其对称轴为x ＝2，即－b
2a
＝2，所以4a ＋b ＝0.
8．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－∞，0]
B ．[2，＋∞)
C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)
D ．[0,2]
解析：选D f (x )的对称轴为x ＝1，由f (x )在[0,1]上递减知a >0，且f (x )在[1,2]上递增，f (0)＝f (2)，∵f (m )≤f (0)，结合对称性，∴0≤m ≤2.
9．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2
D ．－2
解析：选B ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧
－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，
解得a ＝1. 10．(2021·浙江新高考仿真卷)设函数f (x )＝sin 2x ＋a cos x ＋b 在⎣⎡⎦⎤0，π
2上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )
A ．与a 有关，且与b 有关
B ．与a 有关，且与b 无关
C ．与a 无关，且与b 无关
D ．与a 无关，且与b 有关
解析：选B 令t ＝cos x ，则g (t )＝－t 2＋at ＋b ＋1(0≤t ≤1)，由题意，①当a
2<0，即a <0
时，g (0)为最大值，g (1)为最小值，此时M －m ＝1－a ；②当a
2>1，即a >2时，g (0)为最小值，
g (1)为最大值，此时M －m ＝a －1；③当12≤a
2≤1，即1≤a ≤2时，M 取g ⎝⎛⎭⎫a 2，m 取g (0)，此时M －m ＝a 24；④当0≤a 2＜12，即0≤a ＜1时，M 取g ⎝⎛⎭⎫a 2，m 取g (1)，此时M －m ＝a 24＋1－
a .综上所述，M －m 与a 有关，但与
b 无关，故选B ．
11．(2021·上海杨浦调研)函数f (x )＝x －1
2的定义域为____________．
解析：因为函数f (x )＝x －12＝1
x ，所以定义域为(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
12．若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围是
____________，且函数f (x )恒过点____________．
解析：二次函数f (x )图象的对称轴是x ＝1－a ，由题意知1－a ≥3，∴a ≤－2. 由函数的解析式易得函数f (x )恒过定点(0,2)． 答案：(－∞，－2] (0,2)
13．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，对于任意实数a ，总存在实数m ，当x ∈[m ，m ＋1]时，使得f (x )≤0恒成立，则b 的取值范围为____________．
解析：设f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝0，有两根x 1，x 2， ∴4b <a 2，x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b ，
∵对于任意实数a ，总存在实数m ，当x ∈[m ，m ＋1]时，使得f (x )≤0恒成立， ∴(x 1－x 2)2≥1恒成立，∴a 2－1≥4b ， ∴b ≤－1
4，故b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－14. 答案：⎝
⎛⎦⎤－∞，－1
4 14．若二次函数y ＝－x 2＋mx －1的图象与两端点为A (0,3)，B (3,0)的线段AB 有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是____________．
解析：线段AB 的方程为x 3＋y
3
＝1(x ∈[0,3])，即y ＝3－x (x ∈[0,3])，
由题意得方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝3－x ，
y ＝－x 2
＋mx －1，
消去y 得x 2－(m ＋1)x ＋4＝0，①
由题意可得，方程①在x ∈[0,3]内有两个不同的实根，令f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋4，
则⎩⎪⎨
⎪⎧
Δ＝(m ＋1)2－16>0，
0≤m ＋1
2≤3，
f (0)＝4≥0，f (3)＝10－3m ≥0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
m <－5或m >3，－1≤m ≤5，m ≤103，
所以3<m ≤103
.
故实数m 的取值范围是⎝
⎛⎦⎤3，10
3.
答案：⎝
⎛⎦⎤3，103 15．已知值域为[－1，＋∞)的二次函数满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.
(1)求f (x )的表达式；
(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]内的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．
解：(1)∵f (－1＋x )＝f (－1－x )， ∴f (x )的图象关于x ＝－1对称，
∴设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h ， ∵函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1， 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋h
a ，
∴||
x 1－x 2＝
(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝
－
4h
a
＝2， 解得a ＝－h ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x .
(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上递增，
又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x ＝⎝
⎛⎭⎪⎫x －k －222
－(k －2)24，∴k －2
2≤－1，即k ≤0，
综上，实数k 的取值范围为(－∞，0]．
C 级——拔高创新练
16．已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( )
A ．[－2，2]
B ．[1， 2 ]
C ．[2,3]
D ．[1,2]
解析：选B 由于函数f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ， 函数f (x )＝x 2－2tx ＋1在区间(－∞，1]上单调递减， 所以t ≥1.
则在区间[0，t ＋1]上，0距对称轴x ＝t 最远，故要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有
|f (x 1)－f (x 2)|≤2，
只要f (0)－f (t )≤2即可，即1－(t 2－2t 2＋1)≤2， 求得－2≤t ≤ 2.
再结合t ≥1，可得1≤t ≤ 2.故选B ．
17．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝
f (b )－f (a )
b －a
，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是____________．
解析：因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数， 设x 0为均值点，所以f (1)－f (－1)
1－(－1)
＝m ＝f (x 0)，
即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1,1)内有实数根，解方程得x 0＝1或x 0＝m －1. 所以必有－1<m －1<1，即0<m <2， 所以实数m 的取值范围是(0,2)． 答案：(0,2)
18．已知f (x )＝mx 2＋(1－3m )x ＋2m －1.
(1)设m ＝2时，f (x )≤0的解集为A ，集合B ＝(a,2a ＋1](a ＞0)．若A ⊆B ，求a 的取值范围；
(2)求关于x 的不等式f (x )≤0的解集S ；
(3)若存在x ＞0，使得f (x )＞－3mx ＋m －1成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵m ＝2，∴f (x )＝mx 2＋(1－3m )x ＋2m －1＝2x 2－5x ＋3.又f (x )≤0， ∴(x －1)(2x －3)≤0， ∴1≤x ≤3
2，∴A ＝⎣⎡⎦⎤1，32. ∵A ⊆(a,2a ＋1](a ＞0)，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
2a ＋1≥32，a <1且a ＞0，∴1
4
≤a <1.
故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫14，1.
(2)∵f (x )＝mx 2＋(1－3m )x ＋2m －1，f (x )≤0， ∴(x －1)[mx －(2m －1)]≤0，
当m ＜0时，S ＝(－∞，1]∪⎣⎡⎭⎫2－1
m ，＋∞； 当m ＝0时，S ＝(－∞，1]； 当0＜m ＜1时，S ＝⎣⎡⎦⎤2－1
m ，1； 当m ＝1时，S ＝{1}； 当m ＞1时，S ＝⎣
⎡⎦⎤1，2－1m . (3)∵f (x )＞－3mx ＋m －1，∴m >－x
x 2＋1.
令g (x )＝－x x 2＋1＝－1
x ＋1x (x >0)，
∵x ＞0，∴x ＋1x ≥2，∴0<1x ＋1x ≤1
2，
∴－1
2
≤g (x )<0，
∵存在x ＞0，使得f (x )＞－3mx ＋m －1成立， ∴m ＞[g (x )]min ，∴m >－1
2
.
∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫－1
2，＋∞.。