高中数学(人教版选修1-1)配套课件：第3章 导数及其应用3.2.2(二)

答案
返回
题型探究
重点突破
题型一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y＝(x2＋1)(x－1)； 解 ∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1， ∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′＝3x2－2x＋1. (2)y＝3x－lg x. 解 函数y＝3x－lg x是函数f(x)＝3x与函数g(x)＝lg x的差. 由导数公式表分别得出 f′(x)＝3xln 3，g′(x)＝xln110， 利用函数差的求导法则可得(3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln 3－xln110.
f′xgx－fx·g′x gfxx′＝________[g__x__]2_______
(g(x)≠0)
两个函数的商的导数，等于分子的导 数乘上分母减去分子乘上分母的导数， 再除以分母的平方
答案
思考 若f(x)＝x2·sin x，则f′(x)＝(x2)′·(sin x)′＝2x·sin x是否正确？ 答案 不正确.f′(x)＝(x2)′·sin x＋x2·(sin x)′ ＝2x·sin x＋x2·cos x.
∴将②式和(1，－1)代入①式，得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0).
解得 x0＝1 或 x0＝－12. ∴P 点坐标为(1，－1)或(－12，78)， 故所求的切线方程为 y＋1＝x－1 或 y－78＝－54(x＋12). 即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
反思与感悟
解析答案
2′·x2－2·x2′ 3′·x3－3·x3′
＝
x4
＋
x6
＝－x43－x94.
解析答案
1－sin x (3)y＝1＋cos x；
解 y′＝11＋－csoins xx′
1－sin x′1＋cos x－1－sin x1＋cos x′
＝
1＋cos x2
－cos x－cos2x＋sin x－sin2x
解析答案
题型二 导数的应用
例2 求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程.
解 设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率为 k＝f′(x0)＝3x20－2.
故切线方程为 y－y0＝(3x20－2)(x－x0).
①
∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x30－2x0，
②
又∵(1，－1)在切线上，
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y＝x3－x2－x＋3； 解 y′＝(x3－x2－x＋3)′ ＝(x3)′－(x2)′－x′＋3′ ＝3x2－2x－1.
解析答案
(2)y＝x22＋x33；
解 方法一 因为y＝2x－2＋3x－3，
所以y′＝(2x－2＋3x－3)′
＝(2x－2)′＋(3x－3)′ ＝－4x－3－9x－4 ＝－x43－x94. 方法二 y′＝x22＋x33′＝x22′＋x33′
C.
1－x2
cos x－sin x＋xsin x
D.
1－x
解析
y′＝c1o－s xx′＝－sin
x1－x－cos 1－x2
x·－1
cos x－sin x＋xsin x
＝
1－x2
.
12345
解析答案
3.曲线 y＝x＋x 2在点(－1，－1)处的切线方程为( A )
返回
＝
1＋cos x2
－1－cos x＋sin x ＝ 1＋cos x2 .
解析答案
1＋ x 1－ x (4)y＝1－ x＋1＋ x .
1＋ x 1－ x 1＋ x2 1－ x2 解 因为 y＝1－ x＋1＋ x＝ 1－x ＋ 1－x ＝211－＋xx＝1－4 x－2， 所以 y′＝1－4 x－2′ ＝4′1－x1－－x421－x′＝1－4 x2.
第三章 § 3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则(二)
学习 目标
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则. 2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算 法则求函数的导数.
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
自主学习
A.y＝2x＋1
B.y＝2x－1
C.y＝－2x－3
D.y＝－2x＋2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析 ∵y′＝x′x＋2x＋－2x2x＋2′＝x＋222，
∴k＝y′|x＝－1＝－12＋22＝2，
∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
12345
解析答案
12345
4.直线 y＝12x＋b 是曲线 y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数 b＝__ln__2_－__1_. 解析 设切点为(x0，y0)， ∵ y′＝1x，∴12＝x10， ∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b，∴b＝ln 2－1.
B.－21 x
1 C.2x
解析 因为 y＝( x＋1)( x－1)＝x－1，
所以y′＝x′－1′＝1.
12345
D.－41x
解析答案
2.函数 y＝c1o－s xx的导数是( C )
－sin x＋xsin x A. 1－x2
xsin x－sin x－cos x
B.
1－x2
cos x－sin x＋xsin x
跟踪训练 2 若函数 f(x)＝exx在 x＝c 处的导数值与函数值互为相反数，
求 c 的值.
解 因为 f(x)＝exx，所以 f(c)＝ecc，
ex·x－ex exx－1 又因为 f′(x)＝ x2 ＝ x2 ，
ecc－1 所以 f′(c)＝ c2 . 依题意，知 f(c)＋f′(c)＝0，所以ecc＋eccc－2 1＝0， 所以 2c－1＝0，解得 c＝12.
知识点 导数运算法则
法则
语言叙述
[f(x)±g(x)]′＝ _f_′__(_x)_±__g_′__(_x_) _
两个函数的和(或差)的导数，等于这两 个函数的导数的和(或差)
[f(x)·g(x)]′＝ _f_′__(x_)_·g_(_x_)_＋__f(_x_)·_g_′__(_x_)
两个函数的积的导数，等于第一个函 数的导数乘上第二个函数，加上第一 个函数乘上第二个函数的导数
解析答案
12345
5.曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为_3_x_－__y_＋__1_＝__0_. 解析 y′＝ex＋xex＋2，k＝y′|x＝0＝e0＋0＋2＝3， 所以切线方程为y－1＝3(x－0)， 即3x－y＋1＝0.
解析答案
课堂小结 求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用 运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征， 根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法 则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求 导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.
解析答案
思想方法 方程思想的应用 例3 设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b， 其中常数a，b∈R，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程.
解后反思
解析答案
返回
当堂检测
1.函数 y＝( x＋1)( x－1)的导数等于( A )
A.1