2018年数学同步优化指导北师大版必修4练习：活页作业1

活页作业(十一) 从位移、速度、力到向量
基础巩固
1．如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →
是( )
A ．有相同起点的向量
B ．共线向量
C ．模相等的向量
D ．相等向量
解析：它们的模相等，都等于圆的半径． 答案：C
2．下列说法中错误的是( ) A ．相等向量一定是共线向量
B ．两个相等向量若起点相同，则终点必相同
C ．只有零向量的模等于0
D ．共线的单位向量都相等
解析：在共线的单位向量中，只有方向相同的向量才相等，故选D. 答案：D
3．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ( ) A ．总成立 B ．当a ≠0时成立 C ．当b ≠0时成立
D ．当c ≠0时成立
解析：由于0与任一向量平行，所以当b ≠0时成立． 答案：C
4．已知A ＝{与a 共线的向量}，B ＝{与a 长度相等的向量}，C ＝{与a 长度相等，方向相反的向量}，其中a 为非零向量，则下列说法中错误的是( )
A ．C A
B ．A ∩B ＝{a }
C ．C B
D ．A ∩B
{a }
解析：A ∩B 含有a 的相反向量，所以B 错误． 答案：B
5．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →
，则四边形ABCD 的形状为( )
A ．平行四边形
B ．矩形
C ．菱形
D ．等腰梯形
解析：由BA →＝CD →可知，四边形ABCD 为平行四边形．又因为|AB →|＝|AD →
|，所以四边形ABCD 为菱形．
答案：C
6．若对任意向量b ，均有a ∥b ，则a 为________. 解析：零向量与任意向量平行． 答案：0
7．给出以下5个条件：
①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反； ④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量． 其中能使a 与b 共线成立的是________.
解析：向量共线必须满足表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，据此定义知满足①③④时两向量共线．
答案：①③④
8．如图，B ，C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出________个互不相等的非零向量．
解析：可设线段AD 的长度为3，那么长度为1的向量有6个，其中AB →＝BC →＝CD →，BA →＝CB →＝DC →；长度为2的向量有4个，其中AC →＝BD →，CA →＝DB →
；长度为3的向量有2个，分别是AD →和DA →
，所以最多可以写出6个互不相等的向量．
答案：6
9．一架飞机从A 点向西北方向飞行200 km 到达B 点，再从B 点向东飞行100 2 km 到达C 点，再从C 点向南偏东60°飞行50 2 km 到达D 点，求飞机从D 点飞回A 点的位移．
解：如图所示，由题意知C 点在A 点的正北方向，且|CA →|＝100 2 km ，又|CD →
|＝50 2 km ，∠ACD ＝60°，所以∠CDA ＝90°，即∠DAC ＝30°，故DA →的方向为南偏西30°，长度为50 6 km.
10．如图所示，平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{MN →
|M ，N ∈S 且M ，N 不重合}，试求集合T 的子集的个数．
解：由题意可知，集合T 中的元素实质上是S 中任意两点连成的有向线段，共有20个，即AB →，AC →，AD →，AO →；BA →，BC →，BD →，BO →；CA →，CB →，CD →，CO →；DA →，DB →，DC →，DO →；OA →，OB →，OC →，OD →.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，BA →＝CD →，AO →＝OC →，OA →＝CO →，DO →＝OB →，OD →＝BO →
.又集合元素具有互异性，故集合T 中的元素共有12个，从而集合T 共有212个子集．
11．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 边上的点，已知AD →＝DB →，DF →
＝BE →，试推断向量DE →与AF →
是否为相等向量，说明你的理由．
解：DE →＝AF →.理由：∵AD →＝DB →， ∴|AD →|＝|DB →
|，点D 是AB 边的中点． ∵DF →＝BE →，∴DF →与BE →
是平行向量． ∴DF ∥BE ，即DF ∥BC . ∴
AF FC ＝AD
DB
＝1.∴点F 是AC 边的中点． ∵点D 是AB 边的中点，
∴由三角形中位线定理知，DF ＝1
2BC .
又|DF →|＝|BE →
|，即DF ＝BE ， ∴BE ＝1
2BC .∴点E 为BC 边的中点．
∵点D 是AB 边的中点， ∴DE ∥AC ，且DE ＝1
2
AC .
∵点F 是AC 边的中点，∴AF ＝1
2
AC .
∴DE AF .故DE →＝AF →
.
12．一艘海上巡逻艇从港口A 向北航行了30 n mile ，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile 处有一艘渔船抛锚需救助．试求：
(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事地点所航行的路程；
(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事地点的位移的大小及方向(sin 53°≈0.8)．
解：(1)如图，由于路程不是向量，与方向无关，所以其总的路程为巡逻艇两次所行路程的和，即为|AB →|＋|BC →
|＝70(n mile)．
(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事地点的位移是向量，不仅有大小，而且有方向． 因为|AC →|＝
|AB →|2＋|BC →|2＝
50(n mile)，sin ∠BAC ＝0.8，
故巡逻艇从港口出发到渔船出事地点的位移的大小为50 n mile ，方向约为北偏东53°.
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13．如图，两人分别从A 村出发，其中一人沿北偏东60°方向行走了1 km 到达B 村，另一人沿北偏西30°方向行走了 3 km 到达C 村．问：B ，C 两村相距多远，B 村在C 村的什么方向上？
解：画出平面向量AB →，AC →，则有|AB →|＝1，|AC →|＝3，∠CAB ＝90°，则|BC →|＝2.又tan ∠ACB ＝|AB →
||AC →|
＝13，
∴∠ACB ＝30°.故B ，C 两村间的距离为2 km ，B 村在C 村的南偏东60°的方向上． 14．如图，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 分别是AD ，BC 上的点，且CN →＝MA →. 求证：DN →＝MB →
.
证明：∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →
|，且AB ∥CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形．
∴|DA →|＝|CB →
|，且DA ∥CB . 又DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →. ∵CN →＝MA →，∴|CN →|＝|MA →
|，且CN ∥MA . ∴四边形CNAM 是平行四边形． ∴|CM →|＝|NA →
|，且CM ∥NA .
又CM →与NA →的方向相同，∴CM →＝NA →.∴DN →＝MB →.
15．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B ，点C 为小正方形的顶点，且|AC →
|＝ 5.
(1)画出所有的向量AC →
；
(2)求|BC →
|的最大值与最小值． 解：(1)画出所有的向量AC →
如图所示．
(2)当点C 在点C 1或C 2时，|BC →
|取得最小值12＋22＝5； 当点C 在点C 5或C 6时，|BC →
|取得最大值42＋52＝41. 故|BC →
|的最大值为41，最小值为 5.
16．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2 000 km 到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2 000 km 到达丙地，最后从丙地向西南方向飞行1 000 2 km 到达丁地，那么丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
解：如下图，A ，B ，C ，D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意，可知△ABC 为等边三角形，所以AC ＝2 000 km.
作DE⊥AC于E，则△DEC为等腰直角三角形，AE＝AC－CE＝2 000－1 000＝1 000(km)．
所以△AED为等腰直角三角形．
所以△ACD为等腰直角三角形．
所以AD＝1 000 2 km，∠CAD＝45°.
所以丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地1 000 2 km.。