高考数学一轮总复习 第一篇 集合与常用逻辑用语教案 理 苏教版

高考数学一轮总复习第一篇集合与常用逻辑用语教
案理苏教版
第1讲集合及其运算
知识梳理
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系为属于或不属于关系，分别用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．
(4)常用数集：自然数集N、正整数集N*(或N＋)、整数集Z、有理数集Q、实数集R.
(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．
2．集合间的基本关系
(1)子集：对任意的x∈A，有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B(或B A)．
(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．
(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．
(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
3．集合的运算及其性质
(1)集合的并、交、补运算
并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；
交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}；
补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．
U为全集，∁U A表示A相对于全集U的补集．
(2)集合的运算性质
①并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝A⇔B⊆A.
②交集的性质：
A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝A⇔A⊆B.
③补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.
辨析感悟
1．元素与集合的辨别
(1)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)
(2)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－
2.(√)
(3)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．(×)
2．对集合基本运算的辨别
(4)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)总成立．
(√)
(5)(2013·浙江卷改编)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝{x|－2＜x≤1}．
(√) (6)(2013·陕西卷改编)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁R M＝{x|x＞1，或x＜－1}．
(√)
[感悟·提升]
1．一点提醒求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．如第(3)题就是混淆了数集与点集．2．两个防范一是忽视元素的互异性，如(1)；
二是运算不准确，尤其是运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心，如(6).
学生用书第2页
考点一集合的基本概念
【例1】(1)(2013·江西卷改编)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝________.
(2)(2013·山东卷改编)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．
解析 (1)由ax 2
＋ax ＋1＝0只有一个实数解，可得当a ＝0时，方程无实数解； 当a ≠0时，则Δ＝a 2
－4a ＝0，解得a ＝4.(a ＝0不合题意舍去)． (2)x －y ∈{－2，－1,0,1,2}． 答案 (1)4 (2)5
规律方法 集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
【训练1】 已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫a ，b a
，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋b 2 014
＝________.
解析 由已知得b a
＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2
＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 014
＋b
2 014
＝1.
答案 1
考点二 集合间的基本关系
【例2】 (1)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．
(2)设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2
＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，求m 的值．
解 (1)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．
则⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，
解得2<m ≤4.
综上，m 的取值范围是(－∞，4]．
(2)A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，
∵方程x 2
＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2
－4m ＝(m －1)2
≥0，∴B ≠∅. ∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1；
②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立， ∴B ≠{－2}；
③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2.
经检验知m ＝1和m ＝2符合条件．∴m ＝1或2.
规律方法 (1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．
(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论．
【训练2】 (1)已知集合A ＝{x |x 2
－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件
A ⊆C ⊆
B 的集合
C 的个数为________．
(2)(2014·郑州模拟)已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |ax ＋1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的所有可能取值的集合为________．
解析 (1)由题意知：A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}．又A ⊆C ⊆B ，则集合C 可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
(2)a ＝0时，B ＝{x |1≠0}＝∅⊆A ；a ≠0时，B ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x ＝－
1a ⊆A ，则－1a ＝－1或－1
a ＝1，
故a ＝0或a ＝1或－1. 答案 (1)4 (2){}－1，0，1
考点三 集合的基本运算
【例3】 (1)(2013·山东卷改编)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2，3,4}的子集，且∁U (A ∪
B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩∁U B ＝________.
(2)(2014·唐山模拟)若集合M ＝{y |y ＝3x
}，集合S ＝{x |y ＝lg(x －1)}，则下列各式正确的是________．
①M ∪S ＝M ；②M ∪S ＝S ；③M ＝S ；④M ∩S ＝∅ 审题路线 (1)
⎭
⎪⎬⎪
⎫A ∪B ＝{1，2，3}⇒3∈A ∁U B ＝{3，4}
⇒A ∩∁U B ＝{3}；
(2)先分别求出集合M ，S ，再判断各式． 解析 (1)由∁U (A ∪B )＝{4}知A ∪B ＝{1,2,3}． 又B ＝{1,2}，∴3∈A ，∁U B ＝{3,4}，∴A ∩∁U B ＝{3}． (2)M ＝{y |y ＞0}，S ＝{x |x ＞1}，故只有①正确． 答案 (1){3} (2)①
规律方法 一般来讲，集合中的元素离散时，则用Venn 图表示；集合中的元素是连续的实数时，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
【训练3】 (1)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为________．
(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |log 2(x －2)＜1}，则A ∩(∁U B )＝________.
解析 (1)∁U A ＝{0,4}，∴(∁U A )∪B ＝{0,2,4}．
(2)由log2(x－2)＜1，得0＜x－2＜2,2＜x＜4，所以B＝{x|2＜x＜4}．故∁U B＝{x|x≤2，
或x≥4}，从而A∩(∁U B)＝{x|－1≤x≤2}．
答案(1){0,2,4} (2){x|－1≤x≤2}
数轴和韦恩(Venn)图是进行集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．
创新突破1——与集合有关的新概念问题
【典例】已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为________．
解析法一(列表法) 因为x∈A，y∈A，所以x，y的取值只能为1,2,3,4,5，故x，y及x －y的取值如下表所示：
y
x－y
1234 5
x
10－1－2－3－4 210－1－2－3 3210－1－2 43210－1 543210 10个，即B中的元素个数为10.
法二(直接法) 因为A＝{1,2,3,4,5}，所以集合A中的元素都为正数，若x－y∈A，则必有x－y＞0，x＞y.
当y＝1时，x可取2,3,4,5，共有4个数；
当y＝2时，x可取3,4,5，共有3个数；
当y＝3时，x可取4,5，共有2个数；
当y＝4时，x只能取5，共有1个数；
当y＝5时，x不能取任何值．
综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为
4＋3＋2＋1＝10.
答案10
[反思感悟] (1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．
(2)以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．
【自主体验】
设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“好元素”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有________个．
解析依题，可知由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”，则这3个元素一定是相连的3个数．故这样的集合共有6个．
答案 6
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2013·安徽卷改编)已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}．则(∁R A)∩B＝________.
解析因为A＝{x|x＞－1}，则∁R A＝{x|x≤－1}，所以(∁R A)∩B＝{－2，－1}．
答案{－2，－1}
2．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则下列各式不正确的是________．
①M⊆N；②N⊆M；③M∩N＝{2,3}；④M∪N＝{1,4}．
解析由已知得M∩N＝{2,3}，故选①②④.
答案①②④
3．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集个数有________．
解析P＝M∩N＝{1,3}，故P的子集共有4个．
答案 4
4．已知集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A与B的关系是________．
解析集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，则B A.
答案B A
5．设集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为________．
解析阴影部分是A∩∁R B.集合A＝{x|－4＜x＜2}，∁R B＝{x|x≥1}，所以A∩∁R B＝{x|1≤x ＜2}．
答案{x|1≤x＜2}
6．(2013·湖南卷)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁U A)∩B＝________. 解析由集合的运算，可得(∁U A)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．
答案{6,8}
7．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．
解析根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，故只能是a＝4.
答案 4
8．集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．
解析由|x－2|≤5，得－5≤x－2≤5，即－3≤x≤7，所以集合A中的最小整数为－3.
答案－3
二、解答题
9．已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，求A∪B. 解由A∩B＝{－3}知，－3∈B.
又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3.
①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2，1}，A∩B＝{1，－3}．
故a＝0舍去．
②当a－2＝－3时，a＝－1，
此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，
满足A∩B＝{－3}，从而A∪B＝{－4，－3,0,1,2}．
10．设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，
(1)若B⊆A，求a的值；
(2)若A⊆B，求a的值．
解(1)A＝{0，－4}，
①当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8(a＋1)＜0，解得a＜－1；
②当B 为单元素集时，a ＝－1，此时B ＝{0}符合题意； ③当B ＝A 时，由根与系数的关系得：
⎩⎪⎨⎪⎧
－2a ＋1＝－4，a 2－1＝0，
解得a ＝1.
综上可知：a ≤－1或a ＝1.
(2)若A ⊆B ，必有A ＝B ，由(1)知a ＝1.
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、填空题
1．若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为________．
解析 当x ＝－1，y ＝0时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝2时，z ＝1；
当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝1，y ＝2时，z ＝3.故z 的值为－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，共含有3个元素． 答案 3
2．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.
解析 A ＝{x |－5<x <1}，因为A ∩B ＝{x |－1<x <n }，B ＝{x |(x －m )(x －2)<0}，所以m ＝－1，
n ＝1.
答案 －1 1
3．设a ，b ，c 为实数，f (x )＝(x ＋a )·(x 2
＋bx ＋c )，g (x )＝(ax ＋1)(cx 2
＋bx ＋1)．记集合
S ＝{x |f (x )＝0，x ∈R }，T ＝{x |g (x )＝0，x ∈R }．若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，
则下列结论：①|S |＝1且|T |＝0；②|S |＝1且|T |＝1，③|S |＝2且|T |＝2；④|S |＝2且|T |＝3，其中不可能成立的是________．
解析 取a ＝0，b ＝0，c ＝0，则S ＝{x |f (x )＝x 3
＝0}，|S |＝1，T ＝{x |g (x )＝1≠0}，|T |＝0.因此①可能成立．取a ＝1，b ＝0，c ＝1，则S ＝{x |f (x )＝(x ＋1)(x 2
＋1)＝0}，|S |＝1，
T ＝{x |g (x )＝(x ＋1)(x 2＋1)＝0}，|T |＝1，因此②可能成立．取a ＝－1，b ＝0，c ＝－1，
则S ＝{x |f (x )＝(x －1)(x 2
－1)＝0}，|S |＝2，T ＝{x |g (x )＝(－x ＋1)·(－x 2
＋1)＝0}，|T |＝2.因此③可能成立．对于④，若|T |＝3，则Δ＝b 2
－4c ＞0，从而导致f (x )＝(x ＋a )(x 2
＋bx ＋c )也有3解，因此|S |＝2且|T |＝3不可能成立．故④不可能成立． 答案 ④ 二、解答题
4．已知集合A ＝{y |y ＝2x －1,0＜x ≤1}，B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋3)]＜0}．分别根据下列条
件，求实数a 的取值范围． (1)A ∩B ＝A ；(2)A ∩B ≠∅.
解 因为集合A 是函数y ＝2x －1(0＜x ≤1)的值域，所以A ＝(－1,1]，B ＝(a ，a ＋3)．
(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ≤－1，
a ＋3＞1，
即－2＜a ≤－1，故当A ∩B ＝A 时，a 的取值范围是(－2，－1]． (2)当A ∩B ＝∅时，结合数轴知，a ≥1或a ＋3≤－1，即a ≥1或a ≤－4. 故当A ∩B ≠∅时，a 的取值范围是(－4,1).
第2讲 命题及其关系、充要条件
知 识 梳 理
1．命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．
辨 析 感 悟
1．对四种命题的认识
(1)(2012·湖南卷改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的否命题是“若α＝π
4
，则tan
α≠1”．
(×)
(2)若原命题“若p 、则q ”为真，则在这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中真命题的个数为1或2.
(×)
(3)命题“若x 2
－3x ＋2＞0，则x ＞2或x ＜1”的逆否命题是“若1≤x ≤2，则x 2
－3x ＋2≤0”．
(√)
2．对充分条件、必要条件的理解
(4)给定两个命题p ，q .若p 是q 的充分不必要条件，则 綈p 是綈q 的必要不充分条件．
(√) (5)“(2x －1)x ＝0”的充分不必要条件是“x ＝0”．
(√) (6)在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝1
2”的充分不必要条件．
(×)
[感悟·提升]
1．一个区别 否命题与命题的否定是两个不同的概念．否命题同时否定原命题的条件和结论，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)，如(1)把否命题错看成是命题的否定． 2．三个防范 一是分清命题中的条件和结论，并搞清楚其中的关键词，如“≠”与“＝”，“＞”与“≤”，“且”与“或”，“是”与“不是”，“都不是”与“至少一个是”，“都是”与“不都是”等互为否定，如(3)．
二是弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B ⇒A ，且A B ，如(5)；而“A 是B
的充分不必要条件”则是指A ⇒B 且B A ，如(6)．
三是注意题中的大前提，如(6).
考点一 命题及其相互关系
【例1】 已知：命题“若函数f (x )＝e x
－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则①否命题是“若函数f (x )＝e x
－mx 在
(0，＋∞)上是减函数，则m ＞1”，是真命题；②逆命题是“若m ≤1，则函数f (x )＝e x
－mx 在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题；③逆否命题是“若m ＞1，则函数f (x )＝e x
－mx 在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题；④逆否命题是“若m ＞1，则函数f (x )＝e x
－mx 在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题．以上四个结论正确的是________．(填序号)
解析 由f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则f ′(x )＝e x
－m ≥0恒成立，∴m ≤1.∴命题“若函数f (x )＝e x
－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m ＞1，则函数f (x )＝e x
－mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题． 答案 ④
规律方法 (1)在判断四种命题的关系时，首先要分清命题的条件与结论，当确定了原命题时，要能根据四种命题的关系写出其他三种命题．
(2)当一个命题有大前提时，若要写出其他三种命题，大前提需保持不变．
(3)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出反例． (4)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
【训练1】 (2013·吉林白山二模)命题“若a 2
＋b 2
＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是________．
答案 若a ≠0或b ≠0，则a 2
＋b 2
≠0
考点二 充分条件、必要条件的判断
【例2】 (1)(2013·福建卷改编)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：
x ＋y －1＝0上”的________条件．
(2)(2013·济南模拟)如果a ＝(1，k )，b ＝(k,4)，那么“a ∥b ”是“k ＝－2”的________条件．
解析 (1)当x ＝2且y ＝－1时，满足方程x ＋y －1＝0， 但方程x ＋y －1＝0有无数多个解，不能确定x ＝2且y ＝－1， ∴“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l 上”的充分而不必要条件．
(2)因为a ∥b ，所以1×4－k 2
＝0，即4＝k 2
，所以k ＝±2.所以“a ∥b ”是“k ＝－2”的必要不充分条件．
答案 (1)充分而不必要 (2)必要不充分
规律方法 判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．
【训练2】 已知条件p ：x ≤1，条件q ：1
x
＜1，则綈p 是q 的
________条件．
解析 由x ＞1，得1x ＜1；反过来，由1
x
＜1，不能得知x ＞1，即綈p 是q 的充分不必要条件．
答案 充分不必要
考点三 充要条件的应用
【例3】 (2014·无锡一中调研)已知函数f (x )＝ax －bx 2
(a >0)． (1)当b >0时，若对任意x ∈R 都有f (x )≤1，证明：a ≤2b ；
(2)当b >1时，证明：对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1成立的充要条件是b －1≤a ≤2b . 证明 (1)由题意知bx 2
－ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立， ∴Δ＝a 2
－4b ≤0，又a >0，b >0，∴a ≤2b .
(2)①先证充分性：∵b >1，a ≥b －1，∴对任意x ∈[0,1]， 有ax －bx 2
≥(b －1)x －bx 2
＝b (x －x 2
)－x ≥－x ≥－1， 即ax －bx 2≥－1；∵b >1，a ≤2b ，∴对任意x ∈[0,1]， 有ax －bx 2
≤2bx －bx 2
＝－(bx －1)2
＋1≤1， 即ax －bx 2≤1，∴|f (x )|≤1成立，充分性得证； ②再证必要性：∵对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1， ∴f (1)≥－1，即a ≥b －1；
∵对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1，而b >1，
∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1b ≤1，即a ≤2b ，必要性得证． 由①②可知，当b >1时，对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1成立的充要条件是b －1≤a ≤2b . 规律方法 (1)涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．
(2)①p 的充分不必要条件为q ，等价于p ⇐q ，q
p ；②p 的必要不充分条件为q ，等价于
p ⇒q ，q p .
【训练3】 已知p ：2x 2
－9x ＋a ＜0，q ：⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
－4x ＋3＜0.x 2
－6x ＋8＜0.
且綈p 是綈q 的充分条件，求实
数a 的取值范围．
解：由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－4x ＋3＜0，
x 2
－6x ＋8＜0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＜x ＜3，
2＜x ＜4，
即2＜x ＜3，∴q 的解集为{x |2＜x ＜3}． 设A ＝{x |2x 2
－9x ＋a ＜0}，B ＝{x |2＜x ＜3}，
∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p .∴B ⊆A .
∴2＜x ＜3属于集合A ，即2＜x ＜3满足不等式2x 2
－9x ＋a ＜0.
∴2＜x ＜3满足不等式a ＜9x －2x 2
.
∵当2＜x ＜3时，9x －2x 2
＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－92x ＋8116－8116＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋818的值大于9且小于等于818，
即9＜9x －2x 2
≤818
，∴a ≤9.
1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提． 2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的． 3．命题的充要关系的判断方法
(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．
(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
思想方法1——等价转化思想在充要条件关系中的应用
【典例】 已知p ：⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
1－
x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2
≤0(m ＞0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围． 解 法一 由q ：x 2
－2x ＋1－m 2
≤0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，
∴綈q ：A ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}，
由p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2， 解得－2≤x ≤10，
∴綈p ：B ＝{x |x ＞10或x ＜－2}． ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件．
∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＞0，1－m ＜－2，
1＋m ≥10，
或⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，
即m ≥9或m ＞9.∴m ≥9.
故实数m 的取值范围是[9，＋∞)． 法二 ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件，
∴p 是q 的充分而不必要条件， 由q ：x 2
－2x ＋1－m 2
≤0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，
∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }， 由p ：⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
1－
x －13≤2，
解得－2≤x ≤10， ∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}． ∵p 是q 的充分而不必要条件，
∴P Q ，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＞0，1－m ＜－2，
1＋m ≥ 10，
或⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，
即m ≥9或m ＞9.∴m ≥9.
故实数m 的取值范围是[9，＋∞)．
[反思感悟] 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．
【自主体验】
1．(2013·山东卷改编)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q
的________条件．
解析 由q ⇒綈p 且綈p q 可得p ⇒綈q 且綈q p ，所以p 是綈q 的充分而不必要条件．
答案 充分不必要
2．已知命题p ：x 2
＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________．
①[1，＋∞)；②(－∞，1]；③[－1，＋∞)；④(－∞，－3]
解析 由x 2
＋2x －3＞0，得x ＜－3或x ＞1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈
p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．故a ≥1.
答案 ①
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2012·重庆卷改编)命题“若p ，则q ”的逆命题是________． 解析 根据原命题与逆命题的关系可得：“若p ，则q ”的逆命题是“若q ，则p ”． 答案 若q ，则p
2．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2
＋b 2
＋c 2
≥3”的否命题是________． 解析 同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题． 答案 若a ＋b ＋c ≠3，则a 2
＋b 2
＋c 2
＜3
3．(2014·南通调研)“a ＝2”是“直线(a 2
－a )x ＋y ＝0和直线2x ＋y ＋1＝0互相平行”的________条件．
解析 因为两直线平行，所以(a 2
－a )×1－2×1＝0，解得a ＝2或－1. 答案 充分不必要
4．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是________．
解析 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”．
答案 若x ＋y 不是偶数，则x 、y 不都是偶数
5．A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的________条件．
解析 由题意得，A ＝{x ∈R |x >2}，A ∪B ＝{x ∈R |x <0，或x >2}，C ＝{x ∈R |x <0，或x >2}，∴A ∪B ＝C .∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件． 答案 充分必要
6．(2013·盐城调研)“m <14”是“一元二次方程x 2
＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件．
解析 x 2
＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14.
答案 充分不必要
7．已知a ，b ，c 都是实数，则在命题“若a ＞b ，则ac 2
＞bc 2
”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________．
解析 当c 2
＝0时，原命题不正确，故其逆否命题也不正确；逆命题为“若ac 2
＞bc 2
，则a ＞b ”，逆命题正确，则否命题也正确． 答案 2
8．(2014·扬州模拟)下列四个说法：
①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；
②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题； ③“x >2”是“1x <1
2
”的充分不必要条件；
④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真． 其中说法不正确的序号是________．
解析 ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x 2x <0，解得x <0或x >2，所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要
条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确． 答案 ①② 二、解答题
9．判断命题“若a ≥0，则x 2
＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． 解 原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根． 逆否命题：若x 2
＋x －a ＝0无实根，则a ＜0. 判断如下：
∵x 2
＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a ＜0，∴a ＜－14＜0.
∴“若x 2
＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真命题．
10．已知p ：x 2
－8x －20≤0，q ：x 2
－2x ＋1－a 2
≤0(a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
解 p ：x 2
－8x －20≤0⇔－2≤x ≤10，
q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0⇔1－a ≤x ≤1＋a .
∵p ⇒q ，q
p ，
∴{x |－2≤x ≤10}{x |1－a ≤x ≤1＋a }． 故有⎩⎪⎨⎪
⎧
1－a ≤－2，1＋a ≥10，
a >0，
且两个等号不同时成立，解得a ≥9.
因此，所求实数a 的取值范围是[9，＋∞)．
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、填空题
1．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是________．
解析 否命题既否定题设又否定结论．
答案 若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数
2．设a ，b 都是非零向量．下列四个条件①a ＝－b ；②a ∥b ；③a ＝2b ；④a ∥b 且|a |＝|b |中，使a |a |＝b
|b |
成立的充分条件是________．
解析 对于①，注意到a ＝－b 时，a |a |≠b
|b |
；对于②，注意到a∥b 时，可能有a ＝－b ，
此时a |a |≠b |b |；对于③，当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |
；对于④，当a ∥b 且|a |＝|b |时，
可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |，综上所述，使a |a |＝b
|b |成立的充分条件是a ＝2b .
答案 ③
3．设n ∈N *
，一元二次方程x 2
－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.
解析 已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n ≥0，解得n ≤4，又n ∈N *
，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数根；而当n ＝3时，方程有整数根1,3；当n ＝4时，方程有整数根2. 答案 3或4 二、解答题
4．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2
－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
解 ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p ，且綈p
綈q 等价于p ⇒q ，且q p .
记p ：A ＝{x ||4x －3|≤1}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
1
2
≤x ≤1
，q ：B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0|＝{x |a ≤x ≤a ＋1}， 则A B .
从而⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋1≥1，a ≤1
2
，且两个等号不同时成立，解得0≤a ≤1
2
.
故所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12.
第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
知 识 梳 理
1．简单的逻辑联结词
(1)逻辑联结词
命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．
(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
(1)“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀x”表示“对任意x”，含有全称量词的命题，称为全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．
(2)“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词．用符号“∃x”表示“存在x”，含有存在量词的命题称为存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可以用符号简记为：∃x∈M，p(x)．
3．含有一个量词的命题的否定
辨析感悟
1．逻辑联结词的理解与应用
(1)命题p∧q为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题．(√)
(2)命题p∨q为假命题的充要条件是命题p，q至少有一个假命题．(×)
2．对命题的否定形式的理解
(3)(2013·山西四校联考改编)“有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”．(√)
(4)(2013·东北联考改编)命题p：∃n0∈N,2n0＞1 000，则綈p：∃n∈ N,2n≤1 000.(×)
(5)(2013·四川卷改编)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：∀x∈A,2x ∈B，则綈p：∃x∉A,2x∉B.(×)
(6)已知命题p：若x＋y＞0，则x，y中至少有一个大于0，则綈p：若x＋y≤0，则x，y 中至多有一个大于0.(×)
[感悟·提升]
1．一个区别 逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”是有区别的，前者包括“或此、或彼、或兼”三种情形，后者仅表示“或此、或彼”两种情形．有的含有“且”“或”“非”联结词的命题，从字面上看不一定有“且”“或”“非”等字样，这就需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“且”“或”“非”的关系．如“并且”、“綉”的含义为“且”；“或者”、“≤”的含义为“或”；“不是”、“∉”的含义为“非”． 2．两个防范 一是混淆命题的否定与否命题的概念导致失误，綈p 指的是命题的否定，只需否定结论．如(5)、(6)；二是否定时，有关的否定词否定不当，如(6)．
考点一 含有逻辑联结词命题的真假判断
【例1】 设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为
π
2
；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π
2对称．则p ∧q 为________，p ∨q 为________．(填“真”或“假”)
解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π
2不是y ＝cos x
的对称轴，命题q 为假命题，故p ∧q 为假．p ∨q 为假． 答案 假 假
学生用书第7页
规律方法 命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相对，做出判断即可．
【训练1】 (2013·湖北卷改编)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为________． ①(綈p )∨(綈q )；②p ∨(綈q )；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨q
解析 命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p ∧q ”的否定． 答案 ①
考点二 含有一个量词的命题否定
【例2】 写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p ：∀x ∈R ，x 2
－x ＋14≥0；
(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x ∈R ，x 2
＋2x ＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x 使x 3
＋1＝0.
解 (1)綈p ：∃x ∈R ，x 2
－x ＋14
＜0，假命题．
(2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3)綈r ：∀x ∈R ，x 2
＋2x ＋2＞0，真命题．
(4)綈s ：∀x ∈R ，x 3
＋1≠0，假命题．
规律方法 对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．
【训练2】 (1)(2013·江门、佛山模拟)已知命题p ：∃x ＞1，x 2
－1＞0，那么綈p 是________．
(2)命题：“对任意k ＞0，方程x 2
＋x －k ＝0有实根”的否定是________． 解析 (1)特称命题的否定为全称命题，所以綈p ：∀x ＞1，x 2
－1≤0.
(2)将“任意”改为“存在”，“有实根”改为“无实根”，所以原命题的否定为“存在k ＞0，使方程x 2
＋x －k ＝0无实根”．
答案 (1)∀x ＞1，x 2
－1≤0 (2)存在k ＞0，使方程x 2
＋x －k ＝0无实根
考点三 含有量词的命题的真假判断
【例3】 下列四个命题
p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x ；
p 2：∃x ∈(0,1)，log 12
x ＞log 13
x ；
p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
x ＞log 12
x ；
p 4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪
⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜log 13x . 其中真命题是________．
解析 根据幂函数的性质，对∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫13x
，故命题p 1是假命题；由于log 12
x
－log 13
x ＝
lg x －lg 2－lg x －lg 3＝
lg x lg 2－lg 3
lg 2lg 3
，故对∀x ∈(0,1)，log 12
x ＞log 1
3x ，所以
∃x ∈(0,1)，log 12x ＞log 13 x ，命题p 2是真命题；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜1，log 12
x ＞1，故⎝ ⎛⎭⎪
⎫12x
＞log 12x 不成立，命题p 3是假命题；∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜1，log 13x ＞1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
＜log 13
x ，命
题p 4是真命题． 答案 p 2，p 4
规律方法 对于存在性命题的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判断该命题成立，对于全称命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立.
【训练3】 (2013·开封二模)下列命题中的真命题是________．
①∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝3
2；②∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1；③∃x ∈(－∞，0)，2x <3x ；
④∀x ∈(0，π)，sin x >cos x .
解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2<32，故①错误；当x <0时，y ＝2x
的图象在y
＝3x
的图象上方，故③错误；因为x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π4时有sin x <cos x ，故④错误．
答案 ②
1．逻辑联结词与集合的关系
“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题． 2．正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈p ”，只是否定命题p 的结论． 命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真．
答题模板1——借助逻辑联结词求解参数范围问题
【典例】 (12分)已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x
在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2
－
ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立．若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求a 的取值范围．
[规范解答] ∵函数y ＝a x
在R 上单调递增，∴p ：a ＞1. 不等式ax 2
－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立，且a ＞0， ∴a 2
－4a ＜0，解得0＜a ＜4，∴q ：0＜a ＜4.(5分)
∵“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，∴p 、q 中必有一真一假．(7分) ①当p 真，q 假时，{a |a ＞1}∩{a |a ≥4}＝{a |a ≥4}．(9分)
②当p 假，q 真时，{a |0＜a ≤1}∩{a |0＜a ＜4}＝{a |0＜a ≤1}．(11分) 故a 的取值范围是{a |0＜a ≤1，或a ≥4}．(12分)
[反思感悟] 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．
答题模板 第一步：求命题p 、q 对应的参数的范围． 第二步：求命题綈p 、綈q 对应的参数的范围．
第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题“p 真q 假”或“p 假q 真”． 第四步：根据新命题的真假，确定参数的范围． 第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范． 【自主体验】
(2014·泰州月考)命题p ：关于x 的不等式x 2
＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x
是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．
解 设g (x )＝x 2
＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2
＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点， 故Δ＝4a 2
－16＜0，∴－2＜a ＜2. 又∵函数f (x )＝(3－2a )x
是增函数， ∴3－2a ＞1，∴a ＜1.
又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．
(1)若p 真q 假，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
－2＜a ＜2，a ≥1，
∴1≤a ＜2；
(2)若p 假q 真，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ≤－2或a ≥2，
a ＜1，
∴a ≤－2.
综上可知，所求实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[1,2).
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、填空题
1．命题“∃x ∈∁R Q ，x 3
∈Q ”的否定是________．。