2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第12讲函数模型及其应用(含解析)

第12讲函数模型及其应用
考试说明 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数
增长等不同函数类型增长的含义.
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
考情分析
考点考查方向考例考查热度
一次、二次函数模型解决最值、变化趋势分
析等问题
★☆☆
指数、对数函数模型变化趋势分析、最值等
问题
★☆☆
分段函数模型变化趋势分析、最值等
问题
★☆☆
真题再现
■ [2017-2013]课标全国真题再现
■ [2017-2016]其他省份类似高考真题
1.[2017·北京卷]根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子
总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48) ()
A.1033
B.1053
C.1073
D.1093
[解析] D lg=lg M-lg N=lg 3361-lg 1080=361×lg 3-80≈361×0.48-80=173.28-80=93.28,lg 1093=93,与93.28最接近,故选D.
2.[2016·四川卷]某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()
(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
A.2018年
B.2019年
C.2020年
D.2021年
[解析] B设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元.由题可知,130(1+12%)x=200,
解得x=log 1.12=≈3.80.
又资金需超过200万元,所以x的值取4,即该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.【课前双基巩固】
知识聚焦
1.递增递增递增
对点演练
1.y3>y1>y2[解析] 根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得.
2.在[0,t0]时间段内汽车行驶的路程[解析] 根据速率与时间的关系可得.
3.S=+[解析] 由题意知,每件产品的生产准备费用是元,仓储费用是×1元,所以每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S=+.
4.[解析] 物体的温度总不低于2摄氏度,即Q≥2恒成立,
即m·2t+≥2恒成立,即m≥2恒成立.
令=x,则0<x≤1,所以m≥2(x-x2),
由于x-x2≤,所以m≥.
因此,当物体的温度总不低于2摄氏度时,m的取值范围是.
5.330元[解析] 根据题意,获得的优惠额为1000×0.2+130=330(元).
6.8℃[解析] 由题意知,上午8时即t=-4,因此所求温度T=(-4)3-3×(-4)+60=8(℃）.
7.[0,26][解析] 令h≥0,解得0≤t≤26,故所求定义域为[0,26].
8.S=[解析] 当0≤t≤2.5时,S=60t;当2.5<t≤3.5时,S=150;当3.5<t≤6.5时,S=150-50(t-3.5)=325-50t.
【课堂考点探究】
例1[思路点拨] (1)由A产品的利润与投资额成正比,B产品的利润与投资额的算术平方根成正比,结合函数图像,可以利用待定系数法来求两种产品的利润与投资额的函数关系;(2)由(1)的结论,设B产品的投资额为x万元,则A产品的投资额为(10-x)万元,这时可以构造出一个关于利润y的函数,然后利用求函数最大值的方法进行求解.
解:(1)由A产品的利润与投资额成正比,可设f(x)=kx,将点(1,0.25)代入,得f(x)=x(x≥0).
由B产品的利润与投资额的算术平方根成正比,可设g(x)=t,将点(4,2.5)代入,得g(x)=(x≥0). (2)设B产品的投资额为x万元,则A产品的投资额为(10-x)万元,创业团队获得的利润为y万元,
则y=g(x)+f(10-x)=+(10-x)(0≤x≤10).
令=t,则y=-t2+t+(0≤t≤),即y=-+(0≤t≤),
当t=,即x=6.25时,y取得最大值4.062 5.
答:当B产品的投资额为6.25万元时,创业团队获得的最大利润为4.062 5万元.
变式题解:(1)设CF=x,则BF=40-x.
因为∠ABC=60°,所以EF=(40-x),
所以S矩形CDEF=x(40-x).
由于矩形地块的面积不小于300平方米,
所以有x(40-x)≥300,
解得CF长度(单位:米)的取值范围为[10,30].
(2)由(1)可知S矩形CDEF=x(40-x)=-(x-20)2+400≤400(x∈(0,40)),
当x=20时,矩形地块的面积取得最大值400.
由题意可知,当矩形地块被分为面积之比为1∶3的两部分时,
则有S△CMN=S△CDF=100.
设CM=m,CN=n,则有mn=200(0<m<20,0<n<20),所以MN=≥=20,当且仅当
m=n=时,MN取得最小值,即为20米.
例2解:(1)保鲜时间y与储藏温度x间的关系符合指数型函数y=k·a x(k≠0),则解得
故所求函数解析式为y=192×0.93x.
(2)设f(x)=192×0.93x,因为f(x)是减函数,
且10>5,所以f(10)<f(5),
所以把牛奶储藏在 5 ℃的冰箱中,牛奶保鲜时间较长.
变式题(1)D(2)1000[解析] (1)设经过x年后全年投入的研发资金开始超过200万元,由题意可得130(1+0.12)x=200,则x=log1.12,即x==≈≈4,2016+4=2020,故选D.
(2)设8级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2,则8=lg A1-lg A0,5=lg A2-lg A0,两式相减得3=lg A1-lg A2=lg,所以=103=1000.
例3[思路点拨] (1)根据“年利润=年产量×每件商品的售价-投入成本-固定成本”建立年利润与年产量
的函数解析式;(2)分别计算0<x<80与x≥80时的年利润的最大值,从而确定生产中的最大利润.
解:(1)∵每件商品售价为0.05万元,
∴ｘ千件商品销售额为0.05×1000x万元.
①当0<x<80时,L(x)=(0.05×1000x)-x2-10x-250=-x2+40x-250;
②当x≥80时,L(x)=(0.05×1000x)-51x-+1450-250=1200-x+.
综合①②可得,L(x)=
(2)由(1)可知,L(x)=
①当0<x<80时,L(x)=-x2+40x-250=-(x-60)2+950,
∴当x=60时,L(x)取得最大值,即L(60)=950;
②当x≥80时,L(x)=1200-x+≤1200-2=1200-200=1000,
当且仅当x=,即x=100时,L(x)取得最大值1000.
综合①②可得,当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.变式题解:(1)依题设知,总成本为(20 000+100x)元,
则y=
(2)当0<x≤400时,y=-(x-300)2+25 000,
故当x=300时,y max=25 000;
当x>400时,y=60 000-100x是减函数,
故y<60 000-100×400=20 000.
所以当月产量为300辆时,自行车厂的利润最大,最大利润为25 000元.
【备选理由】例1为二次函数模型,需结合几何图形具体分析;例2为构建含一次函数、二次函数的分段函
数模型问题,题目文字较多,所给条件较复杂,需要认真审题,正确构建函数模型求解.
1[配合例1使用] 某人准备定制一批地砖,每块地砖是边长为1米的正方形(如图所示),点E,F分别在边BC和CD上,且CE=CF,△CFE,△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成,制作△CFE,△ABE和四边形AEFD 的三种材料每平方米价格依次为30元、20元、10元.问点E在什么位置时,每块地砖所需的材料费用最少?
解:设CE=x,则BE=1-x,
设每块地砖的费用为W,
则W=x2·30+×1×(1-x)×20+1-x2-×1×(1-x)×10=10x2-5x+15=10x-2+,
当x=时,W取得最小值,即费用最少.
故当点E在距点C为0.25米的位置时,每块地砖所需费用最少.
2[配合例3使用] 某电影院共有1000个座位,票价不分等次,根据影院的经营经验,当每张票价不超过10元时,票可全部售出;当每张票价高于10元时,每提高1元,将有30张票不能售出.为了获得更好的收益,需确定一个合适的票价,票价需符合的基本条件是:①为了方便找零和算账,票价定为1元的整数倍;②电影院放映一场电影的成本支出为5750元,票房的收入必须高于成本支出.用x(元)表示每张票价,用y(元)表示该影院放映一场电影的净收入(除去成本支出后的收入).
(1)把y表示为关于x的函数,并求其定义域.
(2)试问在符合基本条件的前提下,票价定为多少时,放映一场的净收入最多?
解:(1)∵电影院共有1000个座位,放映一场电影的成本支出为5750元,票房的收入必须高于成本支出,
∴1000x>5750,即x>5.75,
又x∈N*,∴票价最低为6元.
当票价不超过10元时,
y=1000x-5750(6≤x≤10,x∈N*).
当票价高于10元时,
y=x[1000-30(x-10)]-5750=-30x2+1300x-5750,
由
解得5<x<38,
∴y=-30x2+1300x-5750(10<x≤38,x∈N*).
∴y=
(2)对于y=1000x-5750(6≤x≤10,x∈N*),
当x=10时,y取得最大值,为4250;
对于y=-30x2+1300x-5750(10<x≤38,x∈N*),
当x=-≈21.7,即x=22时,y取得最大值,为8330.
综上可知,当票价定为22元时,放映一场的净收入最多,为8330元.。