高等代数发展简史

《高等代数》发展简史
代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学加走过了一段不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。

人们很早就已经知道了一元一次方程和一元二次方程的求解方法。

关于三次方程，我国在公元七世纪也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通的《缉古算经》里就有论述。

到了十三世纪，宋代数学家秦九韶在他所著的《数学九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候已得到高次方程的一般解法。

在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由意大利数学家发现一元三次方程的公式—卡当公式。

在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的，后来被米兰地区的数学家卡尔达诺（1501－1576）骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。

所以现在人们还是称这个公式为卡尔达诺公式（或称卡当公式），其实，它应该叫塔塔里亚公式。

三次方程被解出来后，一般的四次方程很快被意大利的费拉里（1522－1560）解出。

这就很自然地促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。

遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间与精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。

到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔（1802－1829）证明了五次或五次以上的方程不可能有根式解；即这些方程的根不可能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来，阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。

后来，五次或五次以上的方程不可能有根式解的问题，由法国数学家伽罗瓦彻底解决了。

20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱， 1832年，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅21岁。

伽罗瓦在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出来，并附以论文手稿。

他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做了一些新发现，有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……。

公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见。

我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。

”
伽罗瓦死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。

他的论文手稿过了14年，才由刘维尔（1809－1882）编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐。

随着时间的推移，伽罗瓦的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。

伽罗瓦虽然十分年轻，但他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的根式解的问题，更重要的是他在这个问题中提出了“群”的概念，并由此发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新天地，直接影响了代数学研究方法的变革。

从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促进了代数学的进一步的发展。

在数学大师的经典著作中，伽罗瓦的论文是最薄的，但他的数学思想却是光彩夺目的。

代数学的研究对象，业已不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象都可以进行运算。

虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。

因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。

比如群、环、域等。

代数学从高等代数总的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数，线性代数等。

在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。

行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题法》的著作，标题的意思是“解行列式的方法”，书里对行列式和它的展开已经有了清楚的叙述。

欧洲第一个提出行列式的概念的数学家是德国数学家莱布尼兹。

德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。

矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的排列。

矩阵在线性代数的研究中是一个基本的工具，而且它在力学、物理、科技等方面都有十分广泛的应用。

现在看来，伽罗瓦所考虑的仅仅是有限置换群；伽罗瓦之后，群的概念本身进一步发展，除了有限的，离散的群，又出现了无限群，连续群等。

这方面的探索者有：凯莱，他在1949－1854年间首先指出群可以是一个普遍的概念，不必拘泥于置换群，从而引进了（有限）抽象群；弗罗贝乌斯
（F.G.Frobenius, 1849-1917), 他从1895年开始发展了研究抽象群的有力工具－群表示论；韦伯（H.Weber， 1842－1913），他在1893年提出了域的抽象理论，等等。

但所有这些抽象化尝试都是局部的和不彻底的。

代数学中的公理化方法的系统运用是在希尔伯特关于几何基础的工作出现之后。

20世纪初，亨廷顿（E.V.Huntington)与狄克森（L.E.Dickson)给出了抽象群的公理系统（1902年， 1905年）；斯坦尼兹（E.Steinitz)继承了韦伯的路线对抽象域展开了综合研究（《域的代数理论》， 1911年）；韦德玻恩(J.H.M.Wedderburn)则发展了线性结合代数（《论超复数》， 1907）等等。

特别是到了1920年左右，在希尔伯特直接影响下的诺特（Emmy Noether, 1882-1935）及其学派的工作，最终确立了公理化方法在代数领域的统治地位。