2019秋高中数学第三章导数及其应用3.3.3函数的最大小值与导数练习含解析新人教A版选修1_1

3.3.3 函数的最大（小）值与导数
A 级 基础巩固
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A ．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值
B ．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值
C ．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值
D ．若函数在给定区间上有最大(小)值，则有且仅有一个最大(小)值，但若有极值，则可有多个极值
解析：由极值与最值的区别知选D. 答案：D
2．函数f (x )＝ln x
x
的最大值为( )
A ．e －1
B ．e
C ．e 2
D ．10
解析：令f ′(x )＝1－ln x x
2
＝0(x >0)，解得x ＝e.当x >e 时，f ′(x )<0；当0<x <e 时，f ′(x )>0，所以f (x )极大值＝f (e)＝e －1，在定义域内只有一个极值，所以f (x )max ＝e －1
.
答案：A
3．函数f (x )＝12x 2
－ln x 的最小值为( )
A.12
B ．1
C ．不存在
D ．0
解析：f ′(x )＝x －1x ＝x 2
－1
x
，且x >0，
令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1. 所以f (x )在x ＝1时取最小值f (1)＝12－ln 1＝12.
答案：A
4．函数f (x )＝x 3
－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围是( ) A ．[0，1) B ．(0，1)
C ．(－1，1)
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 解析：因为f ′(x )＝3x 2
－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2
， 又因为x ∈(0，1)，所以 0＜a ＜1.
答案：B
5．已知函数f (x )、g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )＜g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )
A ．f (a )－g (a )
B ．f (b )－g (b )
C ．f (a )－g (b )
D ．f (b )－g (a )
解析：令u (x )＝f (x )－g (x )， 则u ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＜0， 所以 u (x )在[a ，b ]上为减函数，
所以 u (x )的最大值为u (a )＝f (a )－g (a )． 答案：A 二、填空题
6．函数f (x )＝ln x －x 在(0，e)上的最大值为________．
解析：f ′(x )＝1x －1＝1－x
x
(x >0)，令f ′(x )>0得0<x <1，令f ′(x )<0得x <0(舍去)或
x >1，所以f (x )在(0，1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．所以当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝－1.
答案：－1
7．已知函数f (x )＝x 3
－12x ＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________．
解析：由题意，得f ′(x )＝3x 2
－12，令f ′(x )＝0，得x ＝ ±2，又f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝ －1，所以M ＝24，m ＝－8，M －m ＝32. 答案：32
8．如果函数f (x )＝x 3
－32x 2＋a 在[－1，1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1，1]上的
最小值是________．
解析：f ′(x )＝3x 2
－3x ， 令f ′(x )＝0得x ＝0，或x ＝1. 因为f (0)＝a ，f (－1)＝－5
2
＋a ，
f (1)＝－12
＋a ，所以 f (x )max ＝a ＝2.
所以 f (x )min ＝－52＋a ＝－1
2.
答案：－1
2
三、解答题
9．已知函数f (x )＝a
x
2＋2ln x ，若当a >0时，f (x )≥2恒成立，求实数a 的取值范围．
解：由f (x )＝a x 2＋2ln x ，得f ′(x )＝2（x 2
－a ）
x 3
.又函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，
且a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝－a (舍去)或x ＝a .当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0.故x ＝a 是函数f (x )的极小值点，也是最小值点，且f (a )＝ln a ＋1.要使f (x )≥2恒成立，需ln a ＋1≥2恒成立，则a ≥e.
所以实数a 的取值范围是[e ，＋∞)．
10．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝(2＋x ＋ax 2
)ln(1＋x )－2x . (1)若a ＝0，证明：当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0； (2)若x ＝0是f (x )的极大值点，求a .
(1)证明：当a ＝0时，f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x ，
f ′(x )＝ln(1＋x )－
x
1＋x
.
设函数g (x )＝f ′(x )＝ln(1＋x )－x
1＋x ，
则g ′(x )＝
x
（1＋x ）
2
.
当－1<x <0时，g ′(x )<0；当x >0时，g ′(x )>0，故当x >－1时，g (x )≥g (0)＝0，当且仅当x ＝0时，g (x )＝0，从而f ′(x )≥0，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0.
所以f (x )在(－1，＋∞)单调递增．
又f (0)＝0，故当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0. (2)解：(ⅰ)若a ≥0，由(1)知，
当x >0时，f (x )≥(2＋x )ln(1＋x )－2x >0＝f (0)， 这与x ＝0是f (x )的极大值点矛盾． (ⅱ)若a <0，
设函数h (x )＝f （x ）2＋x ＋ax 2＝ln(1＋x )－2x
2＋x ＋ax
2.
由于当|x |<min ⎩⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪⎫1，
1|a |时，2＋x ＋ax 2
>0， 故h (x )与f (x )符号相同．
又h (0)＝f (0)＝0，故x ＝0是f (x )的极大值点， 当且仅当x ＝0是h (x )的极大值点．
h ′(x )＝11＋x －2（2＋x ＋ax 2
）－2x （1＋2ax ）
（2＋x ＋ax 2）
2
＝
x 2（a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1）
（x ＋1）（ax 2＋x ＋2）
2.
若6a ＋1>0，则当0<x <－6a ＋1
4a ，且|x |<min ⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪
⎬⎪⎫
1，
1|a |时，h ′(x )>0，故x ＝0不是h (x )的极大值点．
若6a ＋1<0，则a 2x 2
＋4ax ＋6a ＋1＝0存在根x 1<0，
故当x ∈(x 1，0)，且|x |<min ⎩
⎪⎨⎪
⎧⎭⎪
⎬⎪⎫
1，
1|a |时，h ′(x )<0， 所以x ＝0不是h (x )的极大值点．
若6a ＋1＝0，则h ′(x )＝x 3（x －24）
（x ＋1）（x 2－6x －12）
2，
则当x ∈(－1，0)时，h ′(x )>0；当x ∈(0，1)时，h ′(x )<0. 所以x ＝0是h (x )的极大值点，从而x ＝0是f (x )的极大值点． 综上，a ＝－1
6
.
B 级 能力提升
1．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2
，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则|MN |达到最小值时t 的值为( )
A ．1
B.12
C.52
D.22
解析：由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN |＝
y ＝t 2－ln t (t ＞0)．
y ′＝2t －1t ＝2t 2
－1
t
＝
2（t ＋
22）（t －22
）t
.
当0＜t ＜22时，y ′＜0，可知y 在⎝
⎛
⎭⎪⎫0，22上单调递减； 当t ＞
22时，y ′＞0，可知y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫
22，＋∞上单调递增． 故当t ＝2
2
时，|MN |有最小值． 答案：D
2．已知函数f (x )＝x ln x . (1)求f (x )的最小值；
(2)若对所有x ≥1都有f (x )≥ax －1，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x )＝1＋ln x ，
令f ′(x )>0，解得x >1
e ；
令f ′(x )<0，解得0<x <1
e ，
所以当x ＝1e 时f (x )取得最小值－1
e
.
(2)依题意，得f (x )≥ax －1在[1，＋∞]上恒成立， 即不等式a ≤ln x ＋1
x
对于x ∈[1，＋∞]恒成立．
令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1
x
2，
当x >1时，g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上是增函数， 所以g (x )的最小值是g (1)＝1. 因此a ≤g (x )min ＝g (1)＝1， 故a 的取值范围为(－∞，1]．
3．设函数f (x )＝x －x 2
＋3ln x ．证明：f (x )≤2x －2. 证明：f (x )的定义域为(0，＋∞)， 设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2
＋3ln x 则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－（x －1）（2x ＋3）
x
.
令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－3
2
(舍去)．
当0＜x＜1时，g′(x)＞0，
当x＞1时，g′(x)＜0.
所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g(1)＝0，
所以f(x)－(2x－2)≤0.
所以f(x)≤2x－2.。