分布假设的检验

i 1
npi0
n i1 pi0
假设检验
例 1 按孟德尔的遗传定律，让开粉红花的豌豆随机交配，子代可分为红花、粉红花和白花三类，其 比例为 1∶2∶1．为检验这个理论，特别安排了一个实验：100 株豌豆中开红花的有 30 株，开粉红花的有 48 株，开白花的有 22 株．试问这些数据与孟德尔遗传定律是否一致？（取 0.05 ．）
知参数，又 k 6， 0.05 ，查表得 2 (k 1) 2 (5) 11.071 ，
0.05
则
2 6 (ni npi0 )2 4.8 11.071，
i 1
npi0
故接受 H0 ，认为这颗骰子是均匀对称的． 2 还可用以下公式计算．
2 k (ni npi0 )2 1 k ni2 n ．
假设检验
分布假设的检验
7.6.1 2 检验
上例中，若这颗骰子是均匀对称的，则 1～6 点中每点出现的可能性相同，都为1/6 ，如果用
Ai 表示第 i 点出现 (i 1，2， ，6) ，则待检验假设
H0 ：P(Ai ) 1/6 (i 1，2， ，6) ．
在 H0 成立的条件下，理论频率 pi0 P(Ai ) 1/6 ，由 n 120 得频率 npi0 20 ．由于分布不含未
解 从豌豆中任选一株，开红花、粉红花及白花分别设为事件 A1 ，A2 ，A3 ，则按孟德尔定律有
p1
P( A1 )
1 4
，
p2
P(A2 )
1 2
，
p3
P(A3 )
1 4
．
现假设检验
选择统计量
H0 ：孟德尔定律成立，H1 ：孟德尔定律不成立 ．
2 k (ni Ei )2 ~ 2 (k 1) ，
(ni
Ei )2 Ei
1 n
k i 1
ni2 pi0
n
1 586
2802
1/2
1472
1/4
862 1/8
382
1/16
152
1/32
132
1/64
பைடு நூலகம்72
1/64
586
5.57
12.592 ，
即 2 不在拒绝域内，此时接受原假设 H0 ，故此枚硬币是均匀的．
假设检验
分布假设的检验 7.6.1 2 检验
表 7-9
上抛次数 k
1
2
3
4
5
6
7
频数 nk
280
147
86
38
15
13
7
问此硬币是否均匀？（取 0.05 ．）
假设检验
解 由题意检验假设
则有
H0
：硬币是均匀的，即每次出现正面或反面的概率同为
1 2
，
H1
：硬币是不均匀的，
pk
P{X
k}
1 k 2
(k
1，2 ，3，4 ，5 ，6) ，
选择统计量
P{X
7} 1 P{X
6}
1
1 2
1 4
1 8
1 16
1 32
1 64
1 26
p6
．
2 k (ni Ei )2 ~ 2 (k 1) ，
i 1
Ei
假设检验
由于
0.05
，查表得
2
(k
1)
2 0.05
(6)
12.592
，故拒绝域为
{ 2 12.592} ．
将所给数据代入公式得
2
k i 1
1900 年英国统计学家卡尔·皮尔逊证明了如下结论：
2 k (ni Ei )2 ~ 2 (k 1) ，
i 1
Ei
（7-17）
因而拒绝域为 { 2 2 (k 1)} ，
且在实际应用中要求 n 必须充分大，以至于每类中的观察频数都不应小于 5，最好在 10 以上．若 某个 ni 不满足 ni 5 ，应适当合并相邻的小区间，使其满足要求．
上面讨论的 p1 ，p2 ， ，pk 是已知的情况，但是在实际问题中， p1 ，p2 ， ，pk 通常依赖于 l 个 未知参数，而这 l 个未知参数需要用样本进行估计．我们可以先用极大似然估计法估计这 l 个未知 参数，此时统计量为
概率论与数理统计
假设检验
分布假设的检验 7.6.1 2 检验
前面我们讨论的假设检验问题总是在假定总体分布形式已知的前提下，对未知参数提 出相应的假设检验问题，而这个假定是根据以前的经验作出的．如果没有过去的经验，或 者对过去的经验有所怀疑，此时就需要验证这个假定，这就是分布假设检验问题．
为了利用统计资料作出推断，我们常常需要选择某种已知的概率分布来近似所研究的 频率分布，但需分析其存在的误差程度．而 2 检验就能够检验某种频率分布是否服从于某 种理论分布，以便我们掌握这种分布的特性．同时，这种检验反过来也确定了用某种理论 分布来研究某一实际问题时的适应性． 2 检验用于这方面的检验称作拟合优度检验．
i 1
Ei
E1
E2
E2
(30 25)2 (48 50)2 (22 25)2 1 0.08 0.36 1.44 5.991，
25
50
25
即 2 不在拒绝域内，此时接受原假设 H0 ，故孟德尔定律是成立的．
假设检验
例 2 连续上抛一枚硬币，直到出现正面为止，即为完成一局． X 是指在一局中第一次出现正面的上 抛次数．设完成 586 局，对应不同的上抛次数 k ，其频数分布数据如表 7-9 所示．
假设检验
分布假设的检验 7.6.1 2 检验
例如，将一颗骰子掷 120 次，得到的数据如表 7-8 所示，问这颗骰子是否均匀对称？（取
0.05 ．）
表 7-8
投得点数
1
2
3
4
5
6
观测次数
23
26
21
20
15
15
为检验骰子是否均匀，要重复地进行抛掷骰子的试验，并统计各点出现的频率与1/6 的 差距，问题归结为如何利用得到的统计数据对“骰子是否均匀”的假设进行检验．
i 1
Ei
假设检验
由于
0.05
，查表得
2 0.05
(2)
5.991
，故拒绝域为
{ 2 5.991} ．
已知 n1 30，n2 48，n3 22，n 100，E1 np1 25，E2 np2 50，E3 np3 25，则有
2 3 (ni Ei )2 (n1 E1)2 (n2 E2 )2 (n2 E2 )2
假设检验
分布假设的检验 7.6.1 2 检验
对各类比例 p1 ，p2 ， ，pk 分别派定 p10 ，p20 ， ，pk0 ，从总体中随机抽出 n 个个体，发现其中含 有 ni 个 Ai 类个体 (i 1，2， ，k) ．根据观察结果检验原假设
H0 ：p1 p10 ，p2 p20 ， ，pk pk0 ， Ei npi0 称为 Ai 类的理论频数（或理论值）， ni 称为 Ai 类的观察频数（或实际值）．