数学培优卷9答案

培优卷9. 探索定值（2）答案
1. 分析：点P 可以在三角形内任意运动，当P 点运动到正三角形的一个顶点时，显然就是
正三角形的高，因此，PD ＋PE ＋PF 必取定值，这个定值，就是∆ABC 的高h 。

证明：连结PA 、PB 、PC 显然有：
a h PF PE PD CA
BC AB PF AC PE BC PD AB h BC S S S S PAC
PBC PAB ABC 2
321
212121=
=++∴==⋅+⋅+⋅=⋅∴++=∆∆∆∆
2. 分析：这是定值问题，既然AB 是⊙O 的动弦，而且与⊙O 的定直径 CD 保持夹角为45︒
，则可把这些动弦视为一组平行移动的弦，显然， 做一条过圆心且平行于AB 的弦A B 11，则E 点与O 点重合，这时
A E
B E R R R 12122222+=+=，于是探求到定值为22R ，这里的A B 11是特殊位置，一
般情况就比较好证了。

3.证明：OAM ∠=NCO ∠.
AOM ∆∽CNO ∆,AO AM =CN
CO ,故AM ·CN=AO ·CO=AO 2
为定值。

4. 证明： 连结AB ，作直径AE 、AF ，连结CE 、DF ，证Rt ACE ∆∽Rt ADF ∆,得AC ：AD=AE ：AF=定值
5. 分析：用运动法令P 与D 重合，则(PC ＋PA)： PB 变为(DA ＋ DC)：DB ，显然其定值为2。

由于图中直角比较多，所以可做垂线构造相似形证明。

证明：由A 引AE PB APC AEB ⊥∠=∠=︒， 90
且∽∠=∠∴∴
==ABE ACP
ABE ACP
PA AE PC BE AC
AB
∆∆()1
∠=∠=︒∠=︒
∴=++=+==
=∴+APB ACB AEP AE PE PA PC PE BE PA PC PB AC
AB AB
AB
PA PC PB 4590122，代入式得：：为定值
()()
B E
C
C
B
6. 分析：用运动法探求定值，先考虑特殊情况，令P 在MN 上向M 运动，此时D 点向A 运动，P 点运动到M 时，D 点将与A 点重合，而AM ＝MB ，于是AD DC AE EB AC AM
MB
+=+=+=0011，于是转入一般证明。

证明：连结AP
AE EB S S S S S S S S AE EB S S AD DC S S AEC BEC AEP BEP AEC AEP
BEC BEP
APC BPC APB BPC
===
--==∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆即同理：
∴
+=+=
-AE EB AD DC S S S S S S S APC BPC APB BPC ABC BPC
BPC
∆∆∆∆∆∆∆ S BC h S BC h S S AE EB AD DC S S ABC BPC ABC BPC BPC
BPC
∆∆∆∆∆∆=⋅=⋅∴=∴
+==12121
221，
7.
8.证明：(1)∵AE ⊥BD ，∴BE ⌒ =DE ⌒ ，∴∠EBD=∠ECB.∵∠ABH=∠DBH ，∠BHE=∠ECB+∠CBH ，∠HBE=∠DBH+∠EBD ，∴∠BHE=∠HBE. ∴BE=HE.
解： (2)连结QC 、TB ，则∠BCQ+∠CBQ=90°，又∠BDQ+∠ATD=90°，而∠BCQ=∠BDQ ，∴∠CBQ=∠ATD=∠ATB ，∴ΔABG ∽ΔATB ，∴AB 2
=AG •AT ，∵AH ⊥CE ，∴H 为CE 的中点，∴BE=12 EC ，
∴ΔBEO ∽ΔCBE ，∴OE BO =BE EC =12
. 设⊙A 的半径为R ，由AB 2－OA 2=BO 2，OE=R －3，得R 2－32
=4(R
B C
－3)2，解得，R=5，或R=3(不合题意，舍去).∴AT •AG=AB 2
=25.
(方法二提示:可连结AD,CD 证ΔBAG ∽ΔTAD)
(3)答：②MN
R
的值不变.
证明：作O 1K ⊥MN 于K ，连结O 1N 、PN 、BM ， 则MN=2NK ， 且∠N O 1K=∠NPM ， ∴MN R =2NK
O 1N =2sin ∠NO 1K=2sin ∠NPM ， 由直线y=3
4 x+3 得 OB=OD=4，OM ⊥BD ，
∴∠BMO=∠DMO ，
又∠BMO=∠ABM+∠BAM ，∠DMO=∠MPN+∠PNM ， ∵∠ABM=∠PNM ，
∴∠MPN=∠BAM=∠NO 1K ，MN R =2sin ∠BAM=2×BO AB = 8
5
，
所以MN R 的值不变，其值为 8
5 .。