重积分

第九章 重积分
一、教学要点
1． 了解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的积分中
值定理. 2． 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标）. 3． 会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、质量、重心、转
动惯量、引力）.
二、重点、难点
1．二重积分的计算方法.
2．用重积分求几何量与物理量（图形面积、体积、质量、重心、转动惯量、引力）.
三、典型问题解析
例1．求二次积分
dx x
x
dy y
⎰
⎰20
2
sin π
π
的值. -------1 解：dx x x
dy y ⎰⎰202
sin π
π
dy x
x dx x ⎰⎰=200sin π
⎰⎰=-=2020sin )0(sin ππ
xdx dx x x
x
1)10(cos 2
=--=-=π
x
例2．求二次积分⎰⎰
--2
13
1
2
x y dy e dx 的值. ------(
)1(2
1
4--e ） 解：
⎰
⎰--2
1
31
2
x y dy e
dx ⎰
⎰+-=1
1
2
2
y y dx e
dy
⎰-=20
2
ydy e y
)1(2
1
2
1420
2
---=
-=e e y
例3．求⎰⎰D zdxdy ， 22
(,)14,
D x y x y x y ⎧⎫⎪⎪
=≤+≤≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭
.
解：21≤≤r ，⎩⎨
⎧==θ
θsin cos r y r x ， 36π
θπ≤≤
⎰⎰D
zdxdy θθπ
πd rdr ⎰
⎰=2
1
36
tan arctan
⎰=36
212
2
1
π
πθθd r
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=22)6()3(21)212(ππ
)36
9(432
2ππ-= 例4．若{}
(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤，求D
x ydxdy -⎰⎰
解：
D
x ydxdy -=⎰⎰1
D x y dxdy -+⎰⎰2
D x y dxdy -⎰⎰
1
()D y x dxdy =-+⎰⎰2
()D x y dxdy -⎰⎰
1110
()()x
x
dx y x dy dx x y dy =-+-⎰⎰⎰⎰
1
121200011()()22x x y xy dx xy y dx ⎡⎤=
-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 1
122
00111()222x x dx x dx =-++⎰⎰
12
01()2x x dx =-+⎰
0311111
()3223
x x =-+=
例5．计算积分
⎰⎰
+D
dxdy y x 22，其中{}
x y x x y y x D 2,0),(22≤+≤≤=.
解：利用极坐标 ⎩⎨
⎧==θ
θ
sin cos r y r x 则
原式=
⎰⎰
⎰
=40
3cos 20
40
cos 38
.π
θ
π
θθθd rdr r d
θθπ
s i n
)s i n 1(3840
2
d ⎰-= 2910sin 31sin 3840
3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=
π
θθ 例6．计算
2
D
xy d σ⎰⎰，其中D 是直线,23y x y x ==-+和2y =围成的闭区域. 解：三条直线的交点分别为()()1,2,1,1,2,22A B C ⎛⎫
⎪⎝⎭
. 将D 看作Y -型区域，把二重积分化为先对x 后对y 的二次积分。

由于()1
:
3,122
D y x y y -≤≤≤≤ 故
()
22
2
2
2
221
1
31
2
1(3)24y
y D
y xy d dy xy dx y y dy σ-⎡⎤-==-⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰
⎰⎰
5
3
42113
33201|220
4
880y
y
y ⎛⎫=
-
+
= ⎪⎝⎭
例7．设D 是由圆2
2
2x y x +=围成的闭区域，计算()D
x y d σ+⎰⎰.
解： 显然积分区域D 关于x 轴对称，故()D
D
D
x y d xd yd σσσ+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰
由于y 是奇函数，D 关于x 轴对称，所以
0D
yd σ=⎰⎰，从而
(
)2
20
2D
D
x y d xd xdx σσ+===⎰⎰⎰⎰⎰
⎰()2
220
2
221sin cos t tdt π
π-==+⎰⎰
2
22
22
2
2cos 2sin .cos tdt t tdt ππππ-
-
=+⎰⎰
22014cos 0422
tdt π
π
π=+=⨯⨯=⎰
例8
．计算
D
σ⎰⎰
，其中D 是闭区域：22221,2,0x y x y x y +≥+≤≥.
解：积分区域D 是圆域的一部分，考虑用极坐标计算 首先求出圆1r =与r=2cos θ的交点Q 的极坐标1,
3Q π⎛⎫
⎪⎝⎭
，于是
2cos 2
30
1
D
D
d r dr π
θ
σθθ==⎰⎰
3
301(cos )13d πθθ⎡⎤=-⎣
⎦⎰ ()32333000818cos 1s sin 3339
d d in d ππππθθθθθ=-=--⎰⎰⎰
33081sin sin |339ππθθ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭
9π=
例9． 求⎰⎰
+D
d y x σ)2(，其中D 由2
y x =和1x =所围成的平面区域. 解:
⎰⎰⎰⎰+=+D
D
xd d y x 02)2(σσ
=⎰⎰
100
22x
xdy
dx
=5
8
524221025
10
=⨯
=⎰
x dx x x 例10．求由曲面225y x z --=及z y x 422=+所围成的立体的体积.
解: ⎰⎰⎰
⎰⎰⎰-Ω
==
2
2
54
2
20
r r dz rdr d d v π
θυ
)455(3
2-=π
例11．设21
0(,)x x e e I dx f x y dy =
⎰⎰
，交换积分次序后I =--------- ln 1
1
ln 2(,)e y y
I dy f x y dx =+⎰⎰2
11
ln 2
(,)e e y
dy f x y dx ⎰⎰
因为积分区域D 为：2x x e y e ≤≤，01x ≤≤，曲线2x y e =，x y e =，与直线1x =的交点分别为2(1,)e ，(1,)e
例12．设积分区域D ：2
22a y x ≤+（a >0），若π3
128
222=
--⎰⎰
D
dxdy y x a ，试求a 的值
解： （1）令[]π2,0,sin cos ∈⎩
⎨⎧==t t a y t
a x ，
（2）由条件知
rdr r a dt dxdy y x a a
D
⎰
⎰⎰⎰
-=--0
2220
222π
⎰+---=a
a r d r a 0
2222)(π
0)(3
223
22a r a --=π
ππ3
128
323==
a 故 4=a
例13．计算二重积分
D
，其中D 是由直线,1,0y x y x === 所围成
的平面区域（2006-16-3）
解：
D
1
2001
()()dy xy y y =--+⎰⎰
3
1
2
2
012()()3y
y xy dy y =--⎰
1
30
2
()(0)3y dy y
=-
-⎰ 12022
39
y dy =
=⎰ 四、综合练习
1．设D 是422≤+y x ，则⎰⎰+D
d xy σ)1(3的值是 --------π4
2．设D 是由1,=+y x y x 轴及直线轴所围成的闭区域，且),(y x f 在D 上连续，则
⎰⎰D
dxdy y x f ),(=（ C ）
A 、⎰⎰y dy y x f dx 0
),(π； B 、⎰⎰y
dy y x f dx 0
10
),(；
C 、⎰
⎰-y
dx y x f dy 10
10
0,(； D 、⎰
⎰-1
10
),(y dx y x f dy
3. 由曲线2,y x = 直线0y =，121,2x x ==,围成的区域是D ，则(,)D
f x y d x d y
=
⎰⎰（A ）
A 、,),(2
1
2
dy y x f dx x ⎰⎰ B 、dx y x f dy y
⎰⎰
21
),( ,
C 、dy y x f dx x
⎰⎰
21
),( D 、.),(2
102
dx y x f dy y ⎰⎰
4.
=+⎰⎰dxdy y x
D
)6(2
------------(
C ) ,其中
D 是由
22y x =, 2y x =, 1x =,所
围成的区域.
A 、
54 B 、-54 C 、 2 D 、3
4 5．计算D
dxdy ⎰⎰ -----1，其中D 为以点(0,0),(1,0),(0,2)o A B 为顶点的三角形区域.
利用二重积分的几何意义即可求得.（画图）
6．交换积分次序120
(,)y
dy f x y dx +⎰⎰
331
(,)y
dy f x y dx -⎰⎰
.--------230
2
(,)x
x
dx f x y dy -⎰⎰
7．交换二次积分的次序
21
20
(,)x x
dx f x y dy -⎰
⎰
=100
(,)dy f x y dx ⎰221
(,)y
dy f x y dx -+⎰⎰
8．
交换二次积分的次序0
1
1
(,)x dx f x y dy -+⎰.
1
10
(,)y dy f x y dx -=
⎰
⎰
9．求dy e dx x
y ⎰⎰-10
1
2
.
解：原式=
⎰⎰-1
002
y y dx dy e =⎰----=
-=10
110
)1(2
1
2
122e e dy ye y y . 10．
计算1
+⎰
.-------（
2
π） 11．
计算二重积分(1D
dxdy ⎰⎰，其中D 是22
2x y x +=，
0,0x y ≥≥，0y =围成. --------（
16
29
π-） 12．设()f x 为连续函数，且(2)1f =，1
()(),(1)u
u
y
F u dy f x dx u =>⎰⎰
（1）交换()F u 的积分次序； （2）求'(2)F . 解： （1）()()D
F u f x dxdy =
⎰⎰
1
()u u y
dy f x dx =⎰⎰1
1
()u x
dx f x dy =⎰⎰
（2） 1
1
()()u
x F u dx f x dy =
⎰
⎰1
(1)()u
x f x dx =-⎰
∴'()(1)()F u u f u =-
∴'(2)(21)(2)(2)1F f f =-==
13．设),(y x f 为连续函数，且),(y x f =),(x y f ，求证：
⎰⎰⎰⎰
--=10
10
)1,1(),(x
x
dy y x f dx dy y x f dx .
证明：
dy y x f dx x
),(1
⎰
⎰
，令u y -=1
⎰⎰--=1
011)1,(x du u x f dx ⎰⎰
--=10
1
1)1,(u
dx u x f du （令v x -=1）
⎰⎰
--=1
00)1,1(u
dv u v f du
⎰
⎰--=
10
)1,1(u
dv v u f du ⎰⎰--=1
)1,1(x
dy y x f dx
14．设积分区域D ：2
22a y x ≤+ （a >0） 当a = 时，则有
π18222=--⎰⎰
D
dxdy y x a .
由条件知
rdr r a dt dxdy y x a a
D
⎰
⎰⎰⎰
-=--0
2220
222π
⎰
+---=a
a r d r a 0
2
2
2
2
)(ππππ18320)(32323
22==--=a a r a
故 3=a
15．求
⎰⎰⎰Ω
zdxdydz ，其中Ω是由122
=+y x
及1,0==z z 所围成的区域.
解：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
≤+=
10
1
22zdz dxdy zdv y x ⎰⎰⎰=πθ20
10
1
zdz rdr d 2
π
=
.
16．求旋转抛面224z x y =--被柱面222=+y x 与平面0z =所围的立体的体积。

解：22222
20
2
(4))x y V x y dxdy d r rdr πθ+≤=
--=-⎰⎰⎰
2)4(2
)4()4(2
222
2r r d r --
=+---=⎰π
π
= []ππ
61642
=--
17. 求
41:,)
sin(222
222≤+≤++⎰⎰
y x D dxdy y x y x D
其中π.
解：令[]π2,0,sin cos ∈⎩⎨
⎧==t t
a y t
a x ，
r d r dt dxdy y
x y x D
πππ
sin )
sin(2
1
202
2
22⎰
⎰⎰⎰
=++
41
2
cos 2sin 221-=-==⎰r r d r πππ
18. 求
2sin :,D
x
dxdy D y x y x x ==⎰⎰所围成.
解：原式2
1
120
0sin sin ()x
x
x
x dx dy x x dx x x
=
=-⎰
⎰⎰10sin xdx x =-⎰
12011cos sin 02x xd x =--⎰122011
11cos1sin cos 02
2x x x xdx =-+-⎰
1201
11cos1sin1cos 2
2x xdx =-+-⎰1sin 1-=
19．设D 由222
x y a +=，222()()22
a a x y -+=及y x =-所围成，如图中阴影部分
所示，将二重积分(,)D
I f x y d σ=
⎰⎰（a >0）
(1) 化为直角 坐标系下的二次积分; (2) 化为极坐标系下的二次积分.
解：（1）I=
⎰-
02
a dx ⎰
--2
2),(x a x
dy y x f +⎰⎰
--a
x a x ax dy y x f dx 0222
),( ；
（2）I=
⎰
20
π
θ
d ⎰
a
a r f θ
cos cos ()sin ,θθr rdr +⎰⎰a
rdr r r f d 0
4
32
)sin ,cos (θθθπ
π.
20．二次积分
2
321
1
y x dx e dy --⎰
⎰的值是41(1)2
e --.（91级） 21．计算积分120
()x f x dx ⎰
，其中2
3()x
y x
f x e dy -=⎰.（89级）
解：
2
2
3311
2
2
()x
x
y y x
x
x e
dy dx x dx e dy --=⎰
⎰⎰⎰
2
12
y y
e
d x d
x -=⎰
221132212000111()[(1)()]366y y y y y e dy y e e d y e
---=
-=----=⎰⎰.
五、达标测试
第九章 重积分测试题一
1．将
⎰⎰
e
x
dy y x f dx 1
ln 0),(交换积分次序后为-----------（ ）-----------------B
A 、
⎰
⎰e
x dx y x f dy 1
ln 0),( B 、⎰⎰10
),(e
e
y dx y x f dy
C 、⎰
⎰x
e
dx y x f dy ln 0
1),( D 、
⎰
⎰
e
x
dx y x f dy 1
ln 0
),(
2．⎰⎰
-=
10
2
),(x x dy y x f dx I 化为极坐标系下的二次积分为I =（ ）-------D
A 、1
202
(,)d f x y rdr π
πθ-⎰⎰
B 、1
20
2
(cos ,sin )d f r r rdr π
πθθθ-
⎰⎰
x
y -=a
-a
2
a
y
x
4
)2(22
2a y a x =
+-2
22a y x =+
C 、20
(,)COS d f x y rdr π
θ
θ⎰⎰
D 、cos 20
(cos ,sin )d f r r rdr π
θ
θθθ⎰⎰
3．
⎰⎰⎰Ω
++dv z y x
)(222
＝（ B ）其中Ω为222z y x ++≤１--------------B
A 、21
2
20
2
d d r dr π
π
πθϕ-
⎰⎰⎰
B 、
⎰
⎰⎰π
πϕϕθ20
1
4sin dr r d d
C 、
21
4
20
2
sin d d r dr π
π
πθϕϕ-
⎰
⎰⎰
D 、
⎰
⎰⎰π
πϕϕθ20
1
2sin dr r d d
4．已知Ω为正方体：1||,1||,1||≤≤≤z y x 则
⎰⎰⎰Ω
xdv ＝ -------- （ ）---C
A 、8
B 、2
C 、0
D 、1 5．设),(y x f 在区域D ：222a y x ≤+上连续，则
⎰⎰D
d y x f σ),(=（
）----C
⎰⎰π
θ20
),(a
rdr y x f d A 、
/20
0(cos ,sin )a
B d f r r dr πθ
θθ⎰⎰、
⎰⎰πθθθ
200
)sin ,cos (a rdr r r f d C 、 ⎰
⎰2
/0
)s i n ,c o s (πθθθa r d r r r f d D 、
6．设⎰⎰=2
2),(x x
dy y x f dx
I ，改变积分次序，则I =
------⎰⎰
⎰⎰+2
2
/4
2
2
2
/),(),(y
y y dx y x f dy
dx y x f dy
7．设Ω为长方体22,10,20≤≤-≤≤≤≤z y x ，则⎰⎰⎰Ω
-υd z y x )(的值
是 .-----------3 8．设D 是42
2
≤+y x ，则
⎰⎰+
D
d xy σ)1(3
的值是 ------4π
9．设31:≤≤-x D ，20≤≤y ，则
⎰⎰
+D
d y x σ1
2
的值是 3ln 328
10．
υd z y x ⎰⎰⎰
Ω
++2
221= ，其中Ω为22
22221R z y x R ≤++≤ )0(21R R <<. ------)(2212
2R R -π
11．
⎰⎰D
d y σ)sin(2
，其中D 由1y =，0x =及y x =围成. 解：
⎰⎰⎰⎰
=D
y
dx dy y d y
1
22
)sin()sin(σ
=
120
1
sin()(1cos1)2
y y dy =
-⎰
12．设平面区域D 由,2,x y x y ==及2
π
=x 所围成，已知
⎰⎰=+D
dxdy y x A 1)sin(，
求常数A . 解：⎰⎰⎰⎰+=+=D
x
x
dy y x A dx d y x A 2
2)sin()sin(1π
σ3
A
=
, ∴3A =. 13．求
⎰⎰+D
d y x σ)sin(2
2，其中{}
01),(22≥≤+=y y x y x D ，. 解：
1
22
2
sin()sin D
x y d d r r dr πσθ+=⎰⎰⎰⎰)1cos 1(2
-=π
.
14．计算⎰⎰=
D
d y y
I σsin ，其中区域D 为曲线x y =及直线y x =所围成. 解：⎰⎰=1
02sin y y dx dy y y I =⎰-10sin )1(ydy y =1sin 1- 15．求dv z y x
⎰⎰⎰Ω
++)(222
，其中Ω为球面1222=++z y x 所围成的闭区域.
解:
⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω⋅=++1sin 8)(2
2222θϕϕd drd r r dv z y x 1Ω为位于第一卦限的部分区域
＝1
4
2
20
8
sin d d r dr ππθϕϕ⎰
⎰⎰＝0
2
148[cos ]
2
55
π
π
πϕ⨯
-⋅=. 16．计算
⎰⎰⎰
Ω
zdxdydz ，其中Ω由曲面222y x a z --=及2
2y x z +=围成.
解：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
⋅=θϕϕϕd drd r r zdv sin cos 2
⎰⎰⎰=a
dr r d d 0
3
4
/020
sin cos ππϕϕϕθ
481a π=. 17．求曲面222y x z +=及2226y x z --=所围成的立体的体积. 解：V 22
2
2
226222
x y x y
x y dv dxdy dz --+Ω+≤=
=⎰⎰⎰⎰⎰
⎰22222
[63()]x y x y dxdy +≤=
-+⎰⎰
220
3)d r rdr π
θ=-⎰6π=. 18． 计算二重积分D
x yd σ-⎰⎰，其中(){}
2
2,1,0,0.D x y x
y x y =
+≤≥≥（93级）
解：
D
x yd σ-⎰⎰
12()()D D x y dxdy y x dxdy ⎡⎤
=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰⎰
112
242000
42(cos sin )(sin cos )1)3
d r dr d r dr ππ
πθθθθθθ⎡⎤=-+-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰
第九章重积分测试题二
一、选择题（7×4分）
1. 令{}
2
22),(R y x y x D ≤+=，则
=--⎰⎰
σd y x R D
222-------------------（ B ）
A 、331R π
B 、332R π
C 、3R π
D 、33
4
R π
2. 21,42:,)][ln(31≤≤≤≤+=
⎰⎰y x D d y x I D
σ，则------------------------（ C ） A 、21I I < B 、21I I = C 、21I I > D 、21,I I 大小无法比较
3. 由曲线2
,y x = 直线0y =，121,2x x ==,围成的区域是D ，则
dxdy y x f D
⎰⎰),(----（A ）
A 、,),(2
1
2
dy y x f dx x ⎰⎰ B 、dx y x f dy y
⎰⎰
21
),( ,
C 、dy y x f dx x
⎰⎰
21
),( D 、.
),(2
102
dx y x f dy y ⎰⎰
4. 设D 由x 轴，直线e x =及曲线x y ln =围成，则
⎰⎰D
d y x f σ),(=------------（ C ）
A 、ln 0
0(,)e x dx f x y dy ⎰⎰
B 、
10ln (,)x x dy f x y dx ⎰⎰
C 、ln 1
(,)e
x dx f x y dy ⎰⎰
D 、0
(,)y e e
e
dx f x y dx ⎰⎰
5. 以二重积分
⎰⎰+D
d y x f σ)(
22为极坐标下的二次积分，D 由2x y =及x y =围
成，正确的是-----------------------------------------------------------------------------（ C ）
A 、tan 40
()d f r rdr π
θθ⎰⎰
B 、tan sec 40
()d f r dr π
ϑθθ⎰⎰
C 、tan sec 40
()d f r rdr π
ϑθθ⎰⎰
D 、tan sec 240
()d f r dr π
ϑθθ⎰⎰
*6. 设
⎰⎰⎰Ω
=61dv ，其中Ω由三个坐标面及)0(>=++a a z y x 所围，则a =--（ A ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、6
7. 设(,)f x y 为连续函数，则
1
40
(cos ,sin )d f r r rdr π
θθθ⎰
⎰等于---------（ C ）
A 、0
(,)x
dx f x y dy B 、0
(,)f x y dy
C 、
(,)y
f x y dx D 、0
(,)f x y dx ⎰
二、填空题（3×4分）
1. 若{}
⎰⎰+=
≤≤≤≤=D
d y x I y x y x D σ2
)
(,10,30),(，则用估值定理，可估计出
I 的取值范围为 []48,0
2. 交换二次积分的积分次序：
011
2
(,)y dy f x y dx --⎰
⎰
=
211
(,)x dx f x y dy -⎰⎰
3. 设积分区域D ：2
22a y x ≤+ （a >0） 当（a = 3____时，则有
π18222=--⎰⎰
D
dxdy y x a
三、计算题（4×7分）
1. 求
⎰⎰D
xyd σ，D 由2
x y =及032=-+y x 与x 轴所围. 解：⎩⎨⎧=-+=0322
y x x y ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=-=⇒4923y x （舍去） ⎩⎨
⎧==1
1
y x ⎰⎰D
xyd σ
=1321230
017(9134)212
y dy xydx y y y dy -=-+=⎰⎰
2. 求
⎰⎰
+D
d y
x σ2
21，其中{}
.94),(22≤+≤=y x y x D 解：
⎰⎰
+D
d y
x σ221
23202132ln 2d d πθρρπρ=⋅=⎰⎰ *3.
dv z y x ⎰⎰⎰Ω
+++3)1(1
，其中Ω点有平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的四面体。

解：
dv z y x ⎰⎰⎰Ω
+++3)1(1
11130001(1)x x y dx dy dz x y z ---=+++⎰⎰⎰=2ln 21165+- 4.
改变
2
sin x dy dx x
π⎰
的积分次序并求值.
解：
2
sin x dy dx x
π∂⎰
=22
2000sin sin 1x x dy x dx x ==⎰ 四、（8分）求旋转抛面224z x y =--被柱面22
2=+y x 与平面0z =所围的立体的
体积。

解：22222
20
2
(4))x y V x y dxdy d r rdr πθ+≤=
--=-⎰⎰⎰；
2222
)(4)(4)2
r d r r π
π=---+=-
- = []ππ
61642
=--
五、（9分）设区域{
}
22
(,)1,0D x y x y x =+≤≥，计算二重积分
22
11D
xy
I dxdy x y +=++⎰⎰
解法1.
1
I
=2211D
xy
dxdy x y +++⎰⎰ =21
2
2
01
1d rdr r ππ
θ-
+⎰⎰
…………3分
=2ln(1)2
r π
+∣1
=
2
π
ln2 …………2分
2
I
=2211D
xy
dxdy x y +++⎰⎰ =2
1
2202
cos sin 1r d dr r π
πθθ
θ-+⎰⎰ =31
2
202
cos sin 1r d dr r π
πθθθ-
+⎰⎰
0= ----------------- 3分 所以
I =
1
I +2
I
=2
π
ln2 ……………1分 六、（8分）求由平面1,0,0=+==y x y x 所围成的柱面被平面0=z 及抛物面
)(622y x z +-=所截的立体的体积.
解：{}
10,10),(≤≤-≤≤=x x y y x D
6
17
)6()6(10
10
2222=
--=--=⎰⎰
⎰⎰-dy y x dx dxdy y x V x
D
七、（7分）（二选一） 1. 求
σd y x
D
⎰⎰-2
，其中(){}.10,11,≤≤≤≤-=y x y x D
解：
σd y x D
⎰⎰
-2
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-+-=⎰⎰⎰⎰12)()(22
2D D dxdy y x dxdy x y
2211122
000112()()15x x dx y x dy dx x y dy ⎡⎤=-+-=⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰⎰
2. 设函数)(x f 在]1,0[上连续，求证：()()11
(1).y dy f x dx x f x dx =-⎰⎰⎰
证明：
()()111
10
()(1).y x
dy f x dx dx f x dy x f x dx ==-⎰
⎰⎰⎰⎰。