2020年普通高等学校招生全国统一考试压轴(一)数学(理)试题(解析版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试压轴（一）数学（理）
试题
一、单选题
1．已知集合{
1A y y ==+，{}30B x x =-≤，则A B =I （ ）
A ．[]1,2
B ．[]1,3
C ．[]2,3
D ．()2,+∞
【答案】B
【解析】首先分别化简集合A ，B ，再求交集即可. 【详解】
{{}
11A y y y y ==+=≥，{}{}303B x x x x =-≤=≤，
所以[]
1,3A B ⋂=. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查集合的交集运算，同时考查了函数的值域，属于简单题.
2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，设复数cos sin
3
3
z i π
π
=+，
则3z 等于（ ）
A ．
12- B ．1- C ．12-
D ．12-
+ 【答案】B 【解析】
根据欧拉公式得到3i z e π
=，再计算3z 即可. 【详解】
由题意得3cos
sin
3
3
i
z i e π
π
π
=+=，
3
33()cos sin 1i
i z e e i ππππ====-＋.
故选：B
本题主要考查三角函数求值问题，同时复数的概念，属于简单题.
3．月形是一种特殊的平面图形，指有相同的底，且在底的同一侧的两个弓形所围成的图形.月形中的一种特殊的情形是镰刀形，即由半圆和弓形所围成的图形（如下图），若半圆的半径与弓形所在圆的半径之比为1:2，现向半圆内随机取一点，则取到镰刀形中的一点的概率为（）
A．423 3π-
B．
231
3
π
-C．
3
π
D．
3
1
π
-
【答案】B
【解析】首先设半圆半径为r，分别计算半圆的面积和弓形的面积，再代入几何概型公式计算即可.
【详解】
如图所示：
设半圆半径为r，半圆面积为
2
2
rπ
，22
1
(2)3
OO r r r
=-=
弓形面积为()222
112
2233
623
r r r r r
ππ
⨯⨯-⨯=-，
概率为
2
22
2
2
3231
23
3
2
r
r r
r
π
π
π
-+
=-.
故选：B
本题主要以数学文化为背景考查几何概型，同时考查学生的逻辑思维能力，属于中档题. 4．数列{}n a的前几项是：0、2、4、8、12、18、24、32、49、50⋅⋅⋅其规律是：偶数项是序号平方再除2；奇数项是序号平方减1再除2.如图所示的程序框图是为了得到该数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入（）
n≤？
A．n是偶数？，100
n≤？
B．n是奇数？，100
n<？
C．n是偶数？，100
n<？
D．n是奇数？，100
【答案】A
【解析】模拟程序框图的运行过程，结合输出的条件，即可得到答案.
【详解】
根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，
可知第一个框应该是“n是偶数？”；
n=>结束，
执行程序框图，当101100
n≤？.
所以第二个框应该填100
故选：A
【点睛】
本题主要考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，属于简单题.
5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*N n ∈都有21n n S a =-，设2log n n b a =，则数列{}n b 的前6项之和为（ ） A ．11 B ．16 C ．10 D ．15
【答案】D 【解析】
首先根据21n n S a =-得到1
2n n a -=，代入2log n n b a =，再计算数列{}n b 的前6项之
和即可. 【详解】
因为21n n S a =-，
当1n =时，11121S a a =-=，所以11a =.
当2n ≥时，1n n n a S S -=-，所以121(21)n n n a a a -=---，即12n n a a -=. 所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，
所以12n n a -=，1
2log 21n n b n -==-，
11(2)1n n b b n n --=---=，
所以数列{}n b 是以0为首项，以1为公差的等差数列， 数列{}n b 的前6项之和为165
6152
b d ⨯+= 故选：D 【点睛】
本题主要考查由n S 求通项公式n a ，同时考查了等差数列的求和，属于中档题. 6．声音中包含着正弦函数.音的四要素：音调、响度、音长和音色都与正弦函数的参数有关.我们平时听到的音乐不只是一个音在响，是由基音和许多个谐音的结合，其函数可以是()11
sin sin 2sin 323
f x x x x =+
+，则()f x 的图象可以是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】首先根据()f x 为奇函数，排除C ，根据42f f ππ⎛⎫⎛⎫
>
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，排除B ，根据()1111
1=236
f x <++，排除A ，排除法即可得到答案.
【详解】
因为()f x 的定义域为R ，
1111
()sin()sin(2)sin(3)sin sin 2sin 3()2323
f x x x x x x x f x -=-+-+-=---=-，
所以()f x 为奇函数，排除C .
221
432f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，223f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故42f f ππ⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，排除B ； 因为()1111
1=236
f x <++，而A 选项的()max 2f x =，排除A. 故选：D 【点睛】
本题主要考查根据解析式判断函数的图象，同时考查了函数的奇偶性，特值法以及函数的最值，属于中档题.
7．过双曲线M ：()2
2
210y x b b
-=>的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的
渐近线分别交于B 、C 两点，且54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r
，则双曲线的离心率是（ ） A ．10B ．
132
C 13
D ．
133
【答案】B
【解析】首先设出直线l 的方程为1y x =+，与渐近线方程联立得到1(,)11
b
B b b -
++， 1(
,)11
b
C b b --.根据54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r 得到32b =，再计算离心率即可.
【详解】
由题可知(1,0)A -，所以直线l 的方程为1y x =+. 因双曲线M 的两条渐近线方程为y bx =或y bx =-.
由1y bx y x =-⎧⎨=+⎩
，解得1(,)11b B b b -
++；同理可得1(,)11b
C b b --. 又()1,0OA =-u u u r ，1,11b OB b b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭u u u r ，1,11b OC b b ⎛⎫
= ⎪--⎝⎭
u u u r
因为54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r
， 所以
511b b b b =+-，解得32b =
，2
c =
，2e =.
故选：B 【点睛】
本题主要考查双曲线离心率的求法，根据题意解出b ，c 的值为解题的关键，属于中档题.
8．已知定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，且x R ∀∈，
()20192020x
f f x ⎡=⎤⎣⎦-.若()2sin 6
g x x mx π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上与函数()f x 的单调性相同，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,-+∞ C ．(],2-∞-
D ．[]
2,1--
【答案】B
【解析】首先设()2019x
t f x =-，得到()2019x
f x t =+在R 上的增函数，从而得到
()g x 在3,22ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为增函数.再利用导数转化为max [2cos()]6m x π≥-+，即可得到答
案. 【详解】
由于()f x 连续可导且无极值，故函数()f x 为单调函数， 可令()2019x
t f x =-（t 为常数），使()2020f t =成立，
故()2019x
f x t =+，故()f x 为R 上的增函数.
故()g x 在3,22ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上为增函数.
()2cos 06g x x m π⎛⎫'=++≥ ⎪⎝
⎭在3,22x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立， 即max [2cos()]6
m x π
≥-+. 因为3,22x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦所以513,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，
故61cos ,12x π⎛⎫⎡⎤
∈ ⎪⎢⎝
⎭⎣+
⎥⎦，[]2cos 2,16x π⎛
⎫-+∈-- ⎪⎝⎭
， 所以1m ≥-. 故选：B 【点睛】
本题主要考查三角函数的值域问题，同时考查了导数的单调区间和极值，属于中档题. 9．在平面四边形ABCD 中，AB BD ⊥，60BCD ∠=︒，223424AB BD +=，若将
ABD △沿BD 折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BDC -外接球的表面积是
（ ） A ．4π B ．5π
C ．6π
D ．8π
【答案】D
【解析】首先根据二面角A BD C --为直二面角得到AB ⊥平面BCD .再将三棱锥的外接球转化为直三棱柱的外接球即可得到表面积. 【详解】 如图所示：
因为二面角A BD C --为直二面角，且AB BD ⊥， 所以AB ⊥平面BCD .
将三棱锥A BDC -放入三棱柱中，如图所示：
1O ，2O 为底面外接圆的圆心，
12O O 的中点O 为三棱锥A BDC -外接球的球心.
在BDC V 中，
2sin 60BD r =o
，所以3
r =. 因为222
222221111
()3234
R r OO BD AB BD AB =+=
+=+ 又因为223424AB BD +=，所以22
11234
BD AB +=
所以22R =，外接球表面积 248S R ππ==. 故选：D 【点睛】
本题主要考查三棱锥外接球的表面积，同时考查了二面角，将三棱锥的外接球转化为直三棱柱的外接球为解题的关键，属于中档题.
10．若e a =π，3e b =，3c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c a b << D ．b c a <<
【答案】A
【解析】首先利用指数函数和幂函数的单调性得到b c <和a b >，再构造函数，利用导数得到函数的单调性得到a c <，即可得到答案. 【详解】
因为3x
y =在R 上为增函数，所以33e π<，即b c <. 因为e y x =在(0,)+∞为增函数，所以3e e π>，即a b >. 设ln ()x
f x x
=
，
2
1ln ()x
f x x
-'=
，令()0f x '=，x e =. (0,)x e ∈，()0f x '>，()f x 为增函数， (,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 为减函数.
则()(3)f f π<，即
ln ln 3
3
π
π
<
，因此3ln ln3ππ<， 即3ln ln 3ππ<，33ππ<.又33e πππ<<，所以a c <. 所以b a c <<. 故选：A 【点睛】
本题主要考查指数和幂的比较大小，利用导数得到函数的单调性来比较大小为解决本题的关键，属于中档题.
11．已知F 为抛物线C ：28y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则AD EB ⋅u u u r u u u r
的最小值为（ ） A ．60 B ．62
C ．64
D ．66
【答案】C
【解析】首先设出()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，()44,E x y ，联立直线1l ，2l 和抛物线得到(
)212
2
42
k x x k
++=，12
4x x
=，()
234412x x k +=+，344x x =.利用向量
的减法化简AD EB ⋅u u u r u u u r
得到FD FE FA F AD B B E ⋅+⋅=⋅u u u r u u u r ，再利用焦半径公式和基本
不等式从而得到最小值. 【详解】 如图所示：
设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，()44,E x y ， 直线1l 方程为()()20y k x k =-≠，则直线2l 方程为()1
2y x k
=--， 联立()2
28y k x y x
⎧=-⎨
=⎩得(
)
22
2
2
4840k x k x k -++=，
(
)2122
42k x x k
++=
，12
4x x
=；
同理()22342
4211412k x x k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+==+，344x x =. ()()
AD EB FD FA FB FE FD FE FA FB ⋅=-⋅-=-⋅-⋅=
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()()()12342222FD FE FA FB x x x x +++++⋅=+⋅()()12341234822x x x x x x x x =++++++
()(
)2222
282161681232163264k k k k k +=+
++=++
≥+=. 当且仅当1k =±时，取“=”. 故选：C 【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，同时考查了抛物线的焦半径公式和基本不等式，属于中档题.
12．已知函数()f x ，()g x 定义域为R ，()()1f x g x +=.若
()()()()()()(),, ,,
f x f x
g x F x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩且()()22
22F x x a x a a R =-+∈，则关于x 的方程
()()1f x g x -=有两解时，a 的取值范围为（ ）
A
．{}1122⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭
B
．2⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
C
．{}112⎛⎤
-⋃ ⎥ ⎝⎦
D ．1,12⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
【答案】C
【解析】由题知()()()()()
2
f x
g x f x g x F x ++-=
，根据题意得到：()12
F x ≥
恒成立且()1F x =有两解.分别讨论0a <和0a >时的情况，根据图象即可得到a 的取值范围. 【详解】
由题意知：()()()()()
2
f x
g x f x g x F x ++-=
，
则()()()210f x g x F x -=-≥对任意的x ∈R 恒成立， 又()()1f x g x -=有两解， 则()1
2
F x ≥
恒成立且()1F x =有两解. ()222222()F x x a x a x a a =-+=-+.
当0a <时，如图所示：
只需
21212a ≤<，解得2122
a -<≤-. 当0a >时，如图所示：
只需2
1
2
a ≥
且221a <
或者21a =即可，解得1a =. 综上所述：{}21,122a ⎛⎤
∈--⋃ ⎥ ⎝
⎦
. 故选：C 【点睛】
本题主要考查函数的零点问题，同时考查了分类讨论的思想，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.
二、填空题
13．变量x ，y 满足约束条件220,240,10,x y x y x y +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-+≥⎩
则目标函数232z x y =--的取值范
围是______. 【答案】[]
3,2-
【解析】首先根据不等式组画出可行域，根据可行域化简目标函数得到
2633
z y x +=-
+，再根据z 的几何意义结合可行域即可得到z 的取值范围. 【详解】
不等式的可行域如图所示：
由图知：0x ≥，02y ≤≤，因此23(2)236z x y x y =+-=+-，
此时26
33
z y x +=-
+，直线的纵截距越大，z 越大，纵截距越小，z 越小. 当直线经过点()0,1A 时，min 363z =-=-，
联立240
10
x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得(1,2)C .
当直线经过点(1,2)C 时，max 2662z =+-=， 所以z 的范围为[]
3,2-. 故答案为：[]
3,2- 【点睛】
本题主要考查线性规划，根据不等式组画出可行域为解题的关键，属于中档题.
14．设1e u r ，2e u u r 为单位向量，非零向量()12,a xe ye x y R =+∈r u r u u r ，若1e u r ，2e u u r 的夹角为3
π
，
则y
a
r 的最大值等于______.
【答案】
3
【解析】首先计算2
a r ，化简2
2y a
r 得到2
221()1x x y y y a =++r ，再利用二次函数的最值得到y
a
r 的最大值. 【详解】
当0y =时，0y
a
=r . 当0y ≠时，22222
2
211222=a x e xye e y e x xy y =++++r u r u r u u r u u r g
， 则2
222221
()1
y x x x xy y y
y a y ==++++r ， 因为2
2133()1()244
x
x x y
y y +
+=++≥ 所以()2
22140133()24y a y x y =≤≠++
r
所以y a r
【点睛】
本题主要考查平面向量模长的计算，同时考查了二次函数的最值，属于中档题.
15．在数列{}n a ，{}n b 中，(
)12n n n a a b +=++，(
)1
2n n n b a b +=+-11a =，11b =.设11n n m
c a b +=
，则数列{}n c 的通项公式n c =______. 【答案】22n -
【解析】首先让两式(
)12n n n a a b +=++和(
)12n n n b a b +=+-别相加和相乘得到212n n n a b -+=和13382n n n n a b --⋅==，再代入n c 即可得到通项公式.
【详解】
由(
)12n n n a a b +=++，(
)12n n n b a b +=+-两式相加可得：()114n n n n a b a b +++=+. 112a b +=，故数列{}n
n a b +是以2为首项，4为公比的等比数列.
212n n n a b -+=.
两式相乘得：()()
2
22
11448n n n n n n n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=⋅，
111a b =，故{}n n a b ⋅是以1为首项，8为公比的等比数列， 13382n n n n a b --⋅==，
所以21
23311222
n n n n n n n n n n a b c a b a b ---⎛⎫+=+==
=⎪⋅⎝⎭. 故答案为：22n - 【点睛】
本题主要考查利用定义求等差数列和等比数列的通项公式，同时考查了学生分析问题的能力，属于中档题.
16．已知a R ∈，函数()sin 2cos x f x a a x =-++在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值为1
2，则a
的取值范围为______.
【答案】1(,]4
-∞ 【解析】首先令()sin 2cos x
g x x
=
+，利用导数求出函数的单调区间和最值，再分类讨论
a 的范围即可得到答案.
【详解】 令()sin 2cos x g x x
=
+，()()22cos 12cos x g x x +'=+， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，则()0g x '>，()g x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦为增函数，
()00g =，1
22
g π⎛⎫=
⎪⎝⎭，()102g x ≤≤，()12a g x a a -≤-≤-.
若0a ≤，()()1
[0,]2
f x
g x =∈，此时()f x 最大值为
1
2
，成立； 若12
a ≥，()()1
2[2,2]2f x a g x a a =-∈-，
则()max 1
22x f a ==，14
a =，不成立，舍去.
若1
02a <<
，()max 1max 2,2f x a ⎧⎫=⎨⎬⎩
⎭，只需122a ≤，即104a <≤. 综上所述：1
4a ≤. 故答案为：1
(,]4
-∞
【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的最值问题，构造函数()g x 为解题的关键，属于难题.
三、解答题
17．已知ABC V 的内角为A ，B ，C ，它们的对边分别为a ，b ，c ，已知
sin
sin 2
A C
a b A +=. （1）求角B 的大小；
（2）若1cos 7
A =，BA BC +=u u
u r u u u r ABC V 的面积.
【答案】（1）3
B π
=
（2）【解析】（1）首先利用三角函数的诱导公式得到sin cos
sin 2
2
B
B
a a
b A π-==，再利用正弦定理的边化角即可得到1sin
22
B =，3B π=.
（2）首先根据已知1cos 7A =
和3B π=得到53sin 14
C =，利用余弦定理得到2211129474
c b cb +-=，再根据sin 7
sin 5b B c C =
=算出b ，c 值求面积即可. 【详解】 （1）因为sin
sin 2
A C
a b A +=，所以sin cos sin 22B B a a b A π-==， 由正弦定理：
sin sin sin a b c
A B C ==知，sin cos sin sin 2
B A B A =， 而sin 0A ≠，则cos sin 2sin cos 222
B B B
B ==， 又0B π<<，022B π
<
<，cos 02B ≠，所以1sin 22
B =. 26B π
=，3
B π=. （2）设AB
C V 三边分别为a ，b ，c ，AC 中点为M ， 如图所示：
因为1cos 7A =
，所以43
sin A =. 又因为3
B π
=
，()53
sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=
. 因为1292BA BC BM +==u u u r u u u r u u u u r ，所以1292
BM =.
由余弦定理知
2222cos BM AB AM AB AM A
=+-⋅⋅2222111111292427474
c b c b c b cb =+-⋅⋅=+-=，
因为
3
sin7
2
sin5
53
b B
c
C
===，
7
5
b c
=.
得到22
1717129
()
45754
c c
+⨯-⨯=
解得5
c=，7
b=.
1143
sin57103
22
S bc A
==⨯⨯⨯=.
【点睛】
本题第一问考查利用正弦定理的边化角求角，第二问考查余弦定理解三角形，同时考查正弦定理的面积公式，属于中档题.
18．如图，三棱柱111
ABC A B C
-中，CA CB
=，1
AA BC
⊥，
1
45
BAA
∠=︒.
（1）求证：平面11
AA C C⊥平面
11
AA B B；
（2）若
1
22
BB==，直线11
B C与平面
11
ABB A所成角为45°，D为
1
CC的中点，求二面角11
B AD C
--的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
314
14
【解析】（1）首先过点C作1
CO AA
⊥，垂足为O，根据
1
CO AA
⊥，
1
AA BC
⊥得到1
AA⊥平面BOC，从而得到
1
AA OB
⊥.又因为Rt AOC Rt BOC
△≌△得到
CO OB
⊥，CO AO
⊥，从而得到CO⊥平面11
ABB A，由此即证平面
11
AA C C⊥平面11
AA B B.
（2）首先以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O xyz
-，根据直线
11
B C与平面
11
ABB A所成角为45o得到2
AB=，
1AO BO CD ===，再利用向量法求二面角11B AD C --的余弦值即可.
【详解】
（1）
过点C 作1CO AA ⊥，垂足为O . 因为1AA BC ⊥，BC 交CO 于点C ， 所以1AA ⊥平面BOC .
又因为OB ⊂平面BOC ，故1AA OB ⊥. 因为145A AB ∠=︒，1AA OB ⊥，
所以AOB V 为等腰直角三角形，则OA OB =. 又因为CA CB =，CO CO =，
所以Rt AOC Rt BOC △≌△，故90COA COB ∠=∠=︒， 故CO OB ⊥，CO AO ⊥.
因为BO ，AO ⊂平面11ABB A ，BO AO O =I ，所以CO ⊥平面11ABB A . 又因为CO ⊂平面11AAC C ，故平面11AAC C ⊥平面11AA B B . （2）由（1）知CO ⊥平面11AA B B .
以O 为坐标原点，OA ，OB ，OC 所在直线为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系O xyz -.
因为直线11B C 与平面11ABB A 成角为45°，而11//BC B C ， 所以直线BC 与平面11ABB A 成角为45︒，
而CBO ∠是直线BC 与平面11AA B B 所成角，故45CBO ∠=︒.
所以AB =
，1AO BO CD ===，()1,0,0A ，()0,1,0B ，
()0,0,1C ，()11,0,0A -，()12,1,0B -，()1,0,1D - ()2,0,1AD =-u u u r ，()11,1,1B D =-u u u u r
设平面1AB D 的法向量为()111,,n x y z =r
，
则111111200
n AD x z n B D x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，令11x =，得()1,3,2n =r .
因为OB ⊥平面11AAC C ，所以OB uuu r
为平面1AC D 的一条法向量，()0,1
,0OB =u u u r .
所以cos ,14n OB n OB n OB
⋅<>===⋅r u u u r
r u u u r r u u u r ，
二面角11B AD C --
的余弦值为14
. 【点睛】
本题第一问考查面面的垂直的证明，第二问考查向量法求二面角，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.
19．某工厂质检部门要对该厂流水线生产出的一批产品进行检验，如果检查到第0n 件仍未发现不合格品，则此次检查通过且认为这批产品合格，如果在尚未抽到第0n 件时已检查到不合格品则拒绝通过且认为这批产品不合格.设这批产品的数量足够大，可以认为每次检查查到不合格品的概率都为p ，即每次抽查的产品是相互独立的. （1）若05n =，求这批产品能够通过检查的概率；
（2）已知每件产品质检费用为50元，若04n =，设对这批产品的质检个数记作X ，求X 的分布列；
（3）在（2）的条件下，已知1000批此类产品，若11,2010p ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣
⎦，则总平均检查费用至少需要多少元？（总平均检查费用=每批次平均检查费用⨯批数）
【答案】（1）()5
1p -（2）详见解析（3）171950元
【解析】（1）根据05n =，这批产品能够通过检查说明前5次都通过检查，即可得到
()()5
1P A p =-.
（2）根据题意得到1X =，2，3，4，分别计算概率再列出分布列即可.
（3）首先计算数学期望，令()()3
2
464f p E X p p p ==-+-+，利用导数求出其最
小值，即可得到答案. 【详解】
（1）因为05n =，记事件A 为“当05n =时，这批产品能够通过检查”， 则由题意知：()()5
1P A p =-. （2）由题可知1X =，2，3，4
()1P X p ==，()()21P X p p ==-，
()()2
31P X p p ==-，()()3
41P X p ==-
所以X 的分布列为：
（3）由（2）可知X 的数学期望为：
()()()()23
32213141464E X p p p p p p p p p =+-+-+-=-+-+.
设()3
2
464f p p p p =-+-+，()2
386f p p p '=-+-，
因为64720∆=-<，所以()0f p '<， 所以()f p 在11,2010p ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
单调递减， 所以()min 11464 3.43910100010010f p f ⎛⎫==-+-+=
⎪⎝⎭
所以每批次平均检查费用至少为50 3.439171.95⨯=（元）
所以1000批次此类产品总平均检查费用至少需要1000171.95171950⨯=（元）
【点睛】
本题主要考查离散型随机变量，同时考查了数学期望的应用，利用导数思想求最值为解题的关键，属于中档题.
20．平面内与两定点()12,0A -，()22,0A 连线的斜率之积等于1
4
-
的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线为C .若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相
异两点A 、B 满足0MA MB ⋅=u u u r u u u r
.
（1）求曲线C 的轨迹方程； （2）求ABM V 面积S 的最大值.
【答案】（1）2
214
x y +=（2）6425
【解析】（1）首先设出(),P x y ，根据斜率之积等于1
4
-
得到()1212224
A P A P y y k k x x x ⋅=
⋅=-≠±+-，再化简即可得到曲线C 的轨迹方程. （2）分别讨论AB 的斜率存在和不存在时，根据0MA MB ⋅=u u u r u u u r
，设出直线方程与椭圆联
立，利用根系关系得到直线恒过30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，再将ABM V 面积转化为
ABM AMN BMN S S S =+V V V ，利用根系关系和对勾函数的单调性即可得到面积的最大值.
【详解】
（1）设曲线C 上任意一点(),P x y ，12A P y k x =
+，22
A P y k x =-， ()121
2224
A P A P y y k k x x x ⋅=
⋅=-≠±+-， 整理得：()2
2124
x y x +=≠±.
又曲线C 加上1A ，2A 两点，所以曲线C 的方程是：2
214
x y +=.
（2）由题意可知()0,1M ，设()11,A x y ，()22,B x y ， 当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =＋，
联立方程组：2
214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得到()222
148440k x kmx m +++-=，
则122814km x x k -+=+，2122
44
14m x x k -⋅=+.
()11,1MA x y =-u u u r ，()22,1MB x y =-u u u r
，
因为0MA MB ⋅=u u u r u u u r
，所以有()()1212110x x kx m kx m ⋅++-+-=，
()()()()2
2
12121110k x x
k m x x m +⋅+-++-=，
()()()22
2
2244811101414m km k k m m k k
--++-+-=++， ()()()()()2
2
2
22144811140k m
k m m m k +---+-+=
化简得到()()1530m m -+=，解得：3
5
m =-或1m =（舍）. 当AB 的斜率不存在时，
易知满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r
的直线AB 为：0x =.
因此，直线AB 恒过定点30,5N ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.
所以
1212ABM AMN BMN S S S MN x x =+=
-=V V V
1212MN x x =
=-
ABM
S =V ， 因为35m =-
，所以2
322514ABM S k =+
V .
设2t =≥，()2
3232
29494t S t t t t
=
=≥++. 由对勾函数的单调性得到9
4y t t
=+在[2,)+∞为增函数，
所以92542
t t +
≥. 即：64
25
S ≤
（0k =时取到最大值）. 所以ABM 面积S 的最大值为
6425
.
【点睛】
本题第一问考查圆锥曲线的轨迹方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的计算能力，属于难题.
21．已知函数()()ln f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >. （1）求a 的值；
（2）若对任意的[)0,x ∈+∞，有()2
f x kx ≤恒成立，求实数k 的最小值；
（3）记()1
2
ln 2121n
n i S n i ==
-+-∑，[]x 为不超过x 的最大整数，求[]n S 的值. （参考数据：ln 20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈） 【答案】（1）1a =（2）
1
2（3）[]0,1,1, 2.
n n S n =⎧=⎨≥⎩ 【解析】（1）首先求导()1
x a f x x a
+-=+'，求出函数的单调区间，根据单调区间得到最
小值，即可得到a 的值.
（2）当0k ≤时，易证不合题意，当0k >时，令
()()()22ln 1g x f x kx x x kx =-=-+-，()()2121
x kx k g x x ⎡⎤---⎣⎦
'=
+，令()0g x '=，
可得10x =，2122k x k
-=.分类讨论12k ≥和1
02k <<时()g x 的单调性和最值即可得到
实数k 的最小值.
（3）当1n =时，()12ln30,1S =-∈，[]
10S =.当2n ≥时，()1
1
22ln 212121n
n
n i i f n S i i ==⎛⎫
==-+= ⎪
--⎝⎭∑
∑，取12k =，得()21()20f x x x ≤≥，从而得到(
)()()
*222,N 212321f i i i i i ⎛⎫<≥∈ ⎪---⎝⎭，所以12ln 31221n
S n <-+-<-.又因为
10n n S S -->，得到123012n S S S S <<<<<⋅⋅⋅<<，即可得到[]0,1
1,2n n S n =⎧=⎨≥⎩
.
【详解】 （1）()()11
1x a x a x a f x x a
+-=-
+'=>-+，
令()0f x '=，得1x a =-，
()f x 在(),1a a --单调递减，()1,a -+∞单调递增，
()()min 110f x f a a =-=-=，所以1a =.
（2）当0k ≤时，取1x =，有()11ln 20f =->，故0k ≤不合题意. 当0k >时，令()()()2
2
ln 1g x f x kx x x kx =-=-+-，
求导函数可得()()21211211
x kx k g x kx x x ⎡⎤---⎣⎦'=-
-=++，
令()0g x '=，可得10x =，21212k
x k
-=>-. ①当1
2k ≥
时，
1202k k
-≤， 所以[)0,x ∈+∞，()0g x '≤恒成立， 因此()g x 在[)0,+∞上单调递减，
从而对任意的[)0,x ∈+∞，总有()()00g x g ≤=，
即对任意的[)0,x ∈+∞，有2
()f x kx ≤成立，故1
2
k ≥
符合题意； ②当1
02k <<
时，
1202k k
->， 对于120,
2k x k -⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭，()0g x '>，因此()g x 在120,2k k -⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增， 从而当0120,
2k x k -⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()()000g x g ≥=， 即有()2
00f x kx ≤不成立，故1
02
k <<
不合题意.综上， k 的最小值为
12
. （3）当1n =时，()12ln30,1S =-∈，[]
10S =. 当2n ≥时，11222ln 1212121n
n i i f i i i ==⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎣
⎦∑∑ ()12
ln 2121
n
n i n S i ==-+=-∑
由（2）知，取12k =
，得()2
1()2
0f x x x ≤≥，
从而()
()()()
2
*2
212222,N 21221232121f i i i i i i i ⎛⎫⎛⎫
≤=<≥∈ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭-， 所以()()()12
2
22222ln 233212211n
n
n
n i i i S f f f
i i i i ===⎛⎫
⎛⎫
==+<-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝--⎭∑∑∑ 21
112ln 32ln 31223
2121n
i i i n =⎛⎫=-+-=-+-< ⎪
---⎝⎭∑. 又()()1
11
2
ln 21221n n i S n n i --==
--≥-∑， 所以122122ln ln 121212121n n n S S n n n n -+⎛
⎫-=-=-+ ⎪----⎝⎭
. 令2
21
t n =
-，则()0,1t ∈，设()()ln 1h t t t =-+， ()11011t
h t t t
'=-=>++，
所以()h t 在()0,1单调递增，则()()00h t h >=，
所以{}n S 单调递增，即1230n S S S S <<<<⋅⋅⋅<，又22
2ln 513
S =+->， 所以123012n S S S S <<<<<⋅⋅⋅<<，
所以[]0,1
1,2n n S n =⎧=⎨≥⎩
. 【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的最值，利用导数解决恒成立问题，同时考查了分类讨论和构造函数的思想，属于难题.
22．已知在极坐系中，点(),P ρθ绕极点O 顺时针旋转角α得到点(),P ρθα'-.以O 为原点，极轴为x 轴非负半轴，并取相同的单位长度建立平面直角坐标系，曲线E ：
1xy =绕O 逆时针旋转
4
π
得到曲线C . （1）求曲线E 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）点M 的极坐标为4,4π⎛⎫
⎪⎝⎭
，直线l 过点M 且与曲线E 交于A ，B 两点，求MA MB
⋅的最小值.
【答案】（1）2
sin 22ρθ=；22
122
y x -=（2）14
【解析】（1）首先根据题意得到E 的极坐标方程为2sin 22p θ=，设(),P ρθ为曲线C 上任意一点，得到点,4P πρθ⎛
⎫
'-
⎪⎝
⎭
在曲线E 上，即2
sin 222πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，再化简得到曲线C 的直角坐标方程为22
122
y x -=.
（2）首先设l
：cos ,
sin x t y t αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），代入1xy =
得到
()2cos sin sin cos 70t αααα+++=，利用直线参数方程的几何意义得到
1214
sin 2MA MA t t α
⋅==
，再利用三角函数的性质即可得到最小值.
【详解】
（1）由E 的直角坐标方程为1xy =可得cos sin 1ρθρθ⨯=
即：2
sin 22p θ=，
设(),P ρθ为曲线C 上任意一点， 则P 绕O 顺时针旋转
4π得到点,4P πρθ⎛
⎫'- ⎪⎝
⎭在曲线E 上，
则2
sin 222πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，即2
cos 22ρθ=-， ()22222si cos n 2x y ρθθ-=-=-
所以曲线C 的方程为22
122
y x -=.
（2）M
的直角坐标为(，设l
：cos ,
sin x t y t αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），
代入1xy
=
，整理后可得()2cos sin sin cos 70t αααα+++=.
127
cos sin t t αα
=
g
所以12714
14cos sin sin 2MA MA t t ααα
⋅===≥.
当且仅当4
k π
απ=+
或()4
k k Z π
απ=-
∈时取等号，此时>0∆，符合条件.
故MA MB ⋅的最小值为14
【点睛】
本题第一问考查直角坐标方程和极坐标方程的互化，第二问考查直线参数方程的几何意义，属于中档题.
23．已知函数()21f x x x =+-的最小值为M . （1）求M ；
（2）若正实数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：222222
1a b a c b c
c b a
+++++≥.
【答案】（1）1
2
M =（2）证明见解析； 【解析】
（1）首先化简解析式得到()31,01=1,02131,2x x f x x x x x ⎧
⎪-+<⎪
⎪
-≤<⎨⎪
⎪
-≥⎪⎩
，根据函数的单调性即可得到()
f x 的最小值.
（2）首先利用重要不等式得到222222222a b a c b c ab ac bc
c b a c b a
+++++≥++
，再根据均值不等式和1
2
a b c ++=即可证明. 【详解】
（1）()31,0,1=211,0,2131,.2x x f x x x x x x x ⎧
⎪-+<⎪
⎪
+-=-≤<⎨
⎪
⎪
-≥⎪⎩
因为函数13(0)y x x =-<是减函数，1
1(0)2
y x x =-≤<是减函数；
1
31()2y x x =-≥是增函数，
故当12
x =时，()f x 取得最小值11
()22M f ==.
（2）222222222a b a c b c ab ac bc
c b a c b a
+++++≥++
()()()2()1b c a c c b
a b c a b c c b c a b a
=+++++≥++=，
当且仅当1
6
a b c ===取等号.
【点睛】
本题第一问考查求绝对值函数的最值，把绝对值函数变为分段函数为解题的关键，第二问考查利用均值不等式的性质证明不等式，属于中档题.。