数学人教A版选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算

若 a ，b 是锐角，则 a b >0 若 a ，b 是钝角，则 a b <0
2
2
a a 即a a
2
问题2.空间向量数量积的运算律有哪些？
平面向量数量积的运算律
数乘向量与向量
数量积的结合律
ab a b
交换律
a b b a
分配律
a b c a b a c
2
2
[针对训练]已知在长方体 − 中, = = ,
= , 为侧面的中心,为的中点.求下列向量的数
量积. →
→
→
→
(1)· ;
(2)· .
例2 如图1.1 12, 在平行六面体ABCD A BC D中, AB 5, AD 3,
存在唯一的有序实数对( x , y ), 使 g xm yn,
将上式两边分别与向量l作数量积运算 ,
l
得 l g xl m yl n.
因为l m 0, l n 0, 所以l g 0. 所以l g
g
n

m
m
l
n
g
这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线, 所以l .
[解析]
―→ ―→ ―→
―→ ―→
在正四面体 OABC 中，| OA |＝| OB |＝| OC |＝1，〈 OA ， OB 〉
―→ ―→
―→ ―→
＝〈 OA ， OC 〉＝〈 OB ， OC 〉＝60°.
―→ ―→ ―→ ―→
(1) OA ·OB ＝| OA || OB |·
cos∠AOB
1
＝1×1×cos 60°＝ .
判断或证明垂直问题
[例4] 如图所示,在正方体 − 中,O为与的
交点,G为的中点,求证: ⊥平面.
a
a
如图1.1 11(1), 在空间,向量a向向量b投影 , 由于它们是自由向量, 因此
可以先将它们平移到同一个平面内, 进而利用平面上向量的投影 , 得
b
到与向量b共线的向量c , c a cos a , b
, 向量c称为向量a在向量b上
b
的投影向量.类似地, 可以将向量向直线l 投影(图1.1 11(2))

例3 如图1.1 13, m , n是平面内的两条相交直线, 如果l m , l n,
l
求证：l .
g
n

m
证明：在平面内作任意一条直线g , 分别在直线l , m, n, g上取非零向量
l , m, n, g .
因为直线m与n相交 , 所以向量m , n不平行.由向量共面的充要条件可知,
2
(2)因为 a·a=|a| ,所以|a|= ·,这是利用向量解决长度或距

离问题的基本公式.另外,该公式还可以推广为|a±b|= ( ± ) =
± · + .
变式 2-2．已知线段 AB 在平面α内，线段 AC⊥α，线段 BD⊥AB，且与α所成
的角是 30°，如果 AB＝a，AC＝BD＝b，求 C，D 间的距离．
b
b 的夹角，记法： a，
OB b ，则∠AOB叫做向量 a ，
b
范围：0 a ，
AOB a ，b
a
O
b
a
A
B
A
O
b
a
b
A
O
B
B
a，
b 同向 0
a b


2
a，
b 反向
二、空间向量的数量积
定义：已知两个非零向量a ，
b ，则 a b cos a ，
AA 7, BAD 60, BAA DAA 45.
求(1) AB AD; ( 2) AC 的长(精确到0.1).
D
(1) AB AD AB AD cos AB , AD
C
A
5 3 cos 60 7.5,
B
D
A
C
B
例2 如图1.1 12, 在平行六面体ABCD A BC D中, AB 5, AD 3,
AA 7, BAD 60, BAA DAA 45.
求(1) AB AD; ( 2) AC 的长(精确到0.1).
2
2


(2) AC ( AB AD AA )
2
2
D
2
AB AD AA 2( AB AD AB AA AD AA )
平面向量及其线性运算
平面向量的数量积运算
推 广
推பைடு நூலகம்广
空间向量及其线性运算
空间向量的数量积运算
1.1.2
空间向量的数量积
回忆 学习平面向量时，是如何研究它的数量积运算的？
夹角
数量积的定义
运算律
应用
一、空间两个向量的夹角
A
a
b
O
B
定义：已知两个非零向量 a 、b ，在空间任取一点O，作 OA a ，
量
k
积 可除吗？ 若a b k，则a
不除
b
运
不结合
算 可结合吗？ (a b ) c a (b c )
[典例 1]
如图所示，已知正四面体 OABC 的棱长为 1.求：
―→ ―→
(1) OA ·OB ；
―→ ―→ ―→ ―→
(2)( OA ＋ OB )·( CA ＋ CB )．
→
→
→
→
→
→
· =· =·=0,
→
2
→
→
→
2
→
→
2
2
因为| | = =(+ ) = + =1 +2 =5,
→
所以| |= ,
→
2
→
→
→
→
→
2
→
→
2
2
→
因为|| = =(-) = + =1 +1 =2,所以||= ,
与平面 所成的角.
a
B
A
A
图1.1-11 (3)

a
c B
问题1.如果空间向量 a, b 是两个非零向量，它们的数
量积有哪些性质呢？
ab
a ，b

2
a，
b 同向 a ，b 0
a，
b 反向
a ，b
a b 0
a b a b
a b - a b
=
+
利用数量积求向量的夹角
[例2] 如图,在直三棱柱 − 中,∠ = °, =
→
→
= , = .求 < , >的值.
[变式探究2] 本例中若点为的中点,求异面直线与夹
角的余弦值.
→
→
→
解:由已知得||=||=1,| |=2,

问题2.空间向量数量积的运算律有哪些？
空间向量数量积的运算律
数乘向量与向量
数量积的结合律
ab a b
交换律
a b b a
分配律
a b c a b a c

辨析
非零向量
数量积运算 误区
数 可约吗？ 若 a b a c ，则b c 不约
b 叫做
实数
a，
b 的数量积，记作a b.
即 a b a b cos a ，b
cos a ，
b
• 零向量与任意向量的数量积为 0 .
a b
ab
a b a b cos a ，b
b
投影向量
a
b 在 a 方向上的投影向量c为
c b cos a , b
三角形的知识求解.
(2)利用数量积求异面直线夹角
的余弦值.
[典例 2]
如图所示，P 为△ABC 所在平面外一点，PA＝
PB＝PC＝1，∠APB＝∠BPC＝60°，∠APC＝90°，若 G

为△ABC 的重心，则 PG 的长为______，异面直线 PA 与


BC 所成角的余弦值为________．
a
a

a
c

a
c
b
(1)
(2)
图1.1-11
l
如图1.1 11(3), 向量a向平面 投影 , 就是分别由向量a的起点A和终点B
作平面的垂线, 垂足分别为A, B, 得到向量 A B, 向量 A B称为向量a在
平面上 的投影向量. 这是,向量a , 向量 A B的夹角就是向量a所在直线
2
[典例 1]
如图所示，已知正四面体 OABC 的棱长为 1.求：
―→ ―→
(1) OA ·OB ；
―→ ―→ ―→ ―→
(2)( OA ＋ OB )·( CA ＋ CB )．
―→ ―→ ―→ ―→
(2)( OA ＋ OB )·
( CA ＋ CB )
―→ ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
＝( OA ＋ OB )·
→
→
→
→
→
又因为 ·=(+ )·(-)=- =-1,
→
→
所以 cos< ,>=
→
→
→
→
·
=
| |||
所以异面直线 CA1 与 AB
-

=- .
×

夹角的余弦值为 .
求两个非零向量夹角的两种途径
(1)转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解
( OA － OC ＋ OB － OC )
―→ ―→ ―→ ―→
―→
＝( OA ＋ OB )·
( OA ＋ OB －2 OC )
―→
―→ ―→ ―→ ―→ ―→
―→ ―→
＝ OA 2＋2 OA ·OB －2 OA ·OC ＋ OB 2－2 OB ·OC
1
＝1 ＋2× －2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1.
5 3 7 2(5 3 cos 60 5 7 cos 45 3 7 cos 45)
2
2
C
2
A
B
98 56 2
D
C
所以AC 13.3
A
B
利用向量方法求长度或距离的基本方法
(1)将相应线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模.