贝塞尔函数PPT演示课件

1
r 2 sin 2
2u
2
k 2u
0
设u(r, ,) R(r)( )()，代入原方程
''() m2() 0
1
s in
d
d
s in

d ( 2 d
m2
sin 2 ) 0
d r 2 dR (k 2r 2 2 )R 0
要使等式两边成立，则x各次幂的系数为零
(1) (c2 v2 ) C0 0 (k 0)
(c2 v2 ) 0
c v
(2) [(c 1)2 v2 ]C1 0 (k 1)
(3) [(c k)2 v2 ]Ck Ck2 0 (k 2)
将c=v代入(2)，得C1=0
k 2u

0
u(,, z) R()()Z(z)
''() m2() 0
Z''(z) 2Z(z) 0
2
d 2R
d 2


dR
d

(k 2
2 ) 2

m2
R

0
x (k 2 2) y(x) R()
贝塞尔方程
x2
0
0
0
0

(1) etdt et 1 0 0
(2) 1 (1) 1
(3) 2 (2) 2!
(4) 3(3) 3! (n 1) n!
求证： 1 2

(x) ett x1dt
令t=u2

(1)m
2(2mv) m ! (m 1 v)
J
v
(
x)

m0
m
!
(1)m (m 1

v)

x 2
2mv

v阶第一类 贝塞尔函数
令
y1

Jv (x)


um (x)
m0

m0
(1)m m !(m 1
v)

x 2
2mv

对于任意x(-,+)，
第四章：贝塞尔函数
本章提要:
• 几个微分方程的引入 • 伽马函数的基本知识 • 贝塞尔方程的求解 • 贝塞尔函数的基本性质 • 贝塞尔函数应用举例
参考了孙秀泉教授的课件
贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。除初等函数外，
在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们 以19世纪德国天文学家 F.W.Bessel 的姓氏命名，他 在1824年第一次描述过它们。

x2
)
dy dx


y

0
勒让德方程
二、伽马函数的基本知识
定义：

(x) ett x1dt (x 0)
0
基本性质： (x 1) x(x)
证明：


(x 1） ett x11dt t xd (et ) t xet x ett x1dt x(x）
22m m
!
C0 (1 v)(2 v)(3 v)
(m 1 v)(m v)

2v
1 (1

v)
(1)m
22m m
!
1 (1 v)(2 v)(3 v)
(m 1 v)(m v)

2(2mv) m
!
(1)m (v)(m v)
J
n
(
x)

m0
m

Ck xck
k 0

C0
m0
(1)m 22m m!(1 v)(2 v)(3 v)(m v)
x2mv
C0为任意常数，通常取
C0

2v
1 (1
v)
(m v)(m v 1)(2 v)(1 v)(1 v) (m v 1)
C2m
(1)m
都能在x=0附近展开成幂级数，则在这个邻域内方程有
广义幂级数解 y Ck xck k 0
(C0 0)
Ck是展开系数， c是待定常数

y(x) xc (C0 C1x C2 x2 Ck xk ) Ck xck k 0

y(x) Ck (c k)xck1 k 0
一、几个微分方程的引入
三维波动方程：
2
t 2

a
2

2
x2

2
y 2

2
z 2


a22
三维热传导方程： t

a
2

2
x2

2
y 2

2
z 2


a22
分离变量： (r,t) u(r)T (t)
对u(r)，
得到： 2u k 2u （0 亥姆霍兹方程）
球坐标下：
z
r

x
x r sin cos

y

r
sin

sin

y z r cos
2u k 2u 0
1 r2
r
r 2
u r
1
r 2 sin


s in

u

C2 4(4 2v)

C0 242!(1 v)(2
v)
C6

C62 6(6 2v)

C4 6(6 2v)

263!(1
C0 v)(2
v)(3 v)
C2m

(1)m
22m
m!(1
v)(2
C0 v)(3
v)(m

v)
一个特解为
y

于天文计算的贝塞尔公式，较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还
编制大气折射表和大气折射公式，以修正其对天文观测的影响。他在数学研
究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其求值方法，为解决
物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。此外，他在大地测量学方面也
做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。贝塞尔重新订正了《布拉德

y(x) Ck (c k 1) (c k)xck2 k 0
代入贝塞尔方程
x2
d2y dx2

x
dy dx
（x2

v2）y

0



x2 Ck (c k 1) (c k)xck2 x Ck (c k)xck1 (x2 v2 ) Ck xck 0
k 0
k 0
k 0



Ck (c k 1) (c k)xck Ck (c k)xck v2 Ck xck S 0
k 0
k 0
k 0


S Ck xck2 Cm2 xcm
k 0
m2
(m k 2)




Ck (c k 1) (c k)xck Ck (c k)xck v2 Ck xck Cm2 xcm

1 2
2



4
0

e( x2 y2 )dxdy
0

2
4
0

er2 rdrd
r0

2
4


0
1 er2 2

d
0

其它结论 n

1 2


(2n)! 22n n!


n

1 2
1
莱星表》，并加上了岁差和章动以及光行差的改正 ; 还编制了包括比九等星 更亮的75000多颗恒星的基本星表，后来由他的继承人阿格兰德扩充成著名的 《波恩巡天星表》。
1837年，贝塞尔发现天鹅座61正在非常缓慢地改变位置， 第二年，他宣布这颗星的视差是0.31弧秒，这是世界上最早 被测定的恒星视差之一。
x2)
dy dx

( 2

m2 1 x2
)y

0
m=0
勒让德方程：
d dx
(1

x2
)
dy dx



2
y

0
柱坐标下：
z
r

x
x cos

y


sin

y
z z
2u k 2u 0
1



(
u )

1
2
2u
2

2u z2
k 0
k 0
k 0
m2

C0 (c 1) cxc C1c (c 1)xc1 Ck (c k 1) (c k)xck k 2

C0cxc C1(c 1)xc1 Ck (c k)xck k 2


v2C0 xc v2C1xc1 v2 Ck xck Ck2 xck
先考虑c=v情况，代入(3)，得
Ck

Ck2 k(k 2v)
(k 2)
(4)
C3

C32 3(3 2v)

C1 3(3 2v)

0
C1 C3 C5 C7 0
C2

C22 2(2 2v)

C0 22 (1 v)
C4

C42 4(4 2v)
亥姆霍兹方程
取：k(x) x、q (x) m2 、 (x) x
x
d dx

x
dy dx


m2 x
y xy
0
参数形式的 贝塞尔方程
=1
d dx
x
dy dx


m2 x
y
xy
0
贝塞尔方程
取： k(x) 1 x2、q 0、 1
d dx
(1
d2y dx2

x
dy dx

x2
m2
y0
另一途径：
d dx
k(x)
d d
y x


q
(x)
y



(x)
y

0
,
(a x b)
Sturm-Liouville（ 施 图姆-刘维尔）型方程
取：k(x) 1、q (x) 0、 (x) 1
d2y dx2

y

0
0

1



ett
1
2dt


eu2
(u 2
)1
2d
(u 2
)


2
e u 2
du
2 0
0
0

1 2
2



2 eu2 du 2 ev2 dv
0
0


4
0

e( x2 y2 )dxdy
0
r2 x2 y2
dxdy rdrd
k 2
k 2

C0 (c2 v2 ) xc C1[(c 1)2 v2 ]xc1 [Ck (c k 1) (c k) Ck (c k) v2Ck Ck2 ]xck k 2

C0 (c2 v2 ) xc C1[(c 1)2 v2 ]xc1 {Ck [(c k )2 v2 ] Ck2}xck 0 k 2
德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人。1784 年7 月22日生于 明登 ，1846 年3月17日卒于柯尼斯堡。15岁辍学到布莱梅一家商行学徒，业 余学习天文、地理和数学。20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。1810年 任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。1812年当选为柏林科学院院士。
贝塞尔的主要贡献在天文学，以《天文学基础》（1818）为标志发展了 实验天文学 ，还编制基本星表 ，测定恒星视差， 预言伴星的存在，导出用

m0
(1)m m !(m 1
v)

x 2
2mv

贝塞尔方程的通解为：
y AJ v (x) BJ v (x)
其中v为实数（不是整数），A、B为待定系数
Jv (x)和Jv (x)称为第一类贝塞尔函数
当 v 为正整数或零时， (m 1 n) (m n)!，故有
dr dr
k=0
d r 2 dR 2R 0
dr dr
球贝塞尔方程
k=0
欧拉方程
1
s in
d
d
s in

d ( 2 d
m2 ) 0
sin 2
x cos y(x) ( )
连带勒让德方程：
d dx
(1

(2n 1)! 22n1 n!

三、贝塞尔方程的求解
x2
d2y dx2

x
dy dx
（x2

2）y

0
(x 0)
阶贝塞尔方程
变系数的二阶线性常微分方程，其解称为贝塞尔函数
y' '
1 x
y'
x2 2
x2
y
0
不能在x=0附近展开成幂级数，因为x=0是它的 正则奇点
对于变系数方程y+p(x)y+q(x)y=0，如果xp(x)、x2q(x)
lim
um1 ( x)


x
2

lim
1
0
m um (x) 2 m (m 1)(m 1 v)
因此级数y1的收敛区间为 (-,+) 在x=0时，
Jv (0) 1 (v 0) Jv (0) 0 (v 0)
再考虑c=-v情况，得到
y2

Jv (x)