北师大版数学高二-必修5教案 2.1.2《余弦定理》

2.1.2《余弦定理》教学设计
【学习目标】
1.了解向量知识应用；掌握余弦定理推导过程；会利用余弦定理证明简单三角形问题；
2.利用余弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；
3.通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.
【导入新课】
上一节，我们一起研究了正弦定理及其应用，在体会向量应用的同时，解决了在三角形已知两角一边和已知两边和其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决.
如图(1)在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.
新授课阶段
一、引入问题的解决
在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b，c，A来表示a.
分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD
垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理用CD、
DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用
AB—AD转化为AD，进而在Rt△ADC内求解.
解：
二、余弦定理的内容：
余弦定理内容：
形式一：
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ，
b 2＝
c 2＋a 2－2ca cos B ，
c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
形式二：
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
. 在余弦定理中，令C ＝90°，这时，cos C ＝0，所以c 2＝a 2＋b 2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进一步体会向量知识的工具性作用.
三、向量法证明余弦定理
如图，在△ABC 中，设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b .
由向量法证明：
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ，
b 2＝
c 2＋a 2－2ca cos B ，
c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
四、余弦定理解决的问题类型
利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：
(1) ；
(2) .
例1在△ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C (精确到1°).
分析：
解：
例2 在△ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个三角形(边长保留四个有效数字，角度精确到1′) .
解：
例3在△ABC中：
(1)已知b＝8，c＝3，A＝60°，求a；
(2)已知a＝20，b＝29，c＝21，求B；
(3)已知a＝3 3 ，c＝2，B＝150°，求b；
(4)已知a＝2，b＝ 2 ，c＝ 3 ＋1，求A
解：
例4根据下列条件解三角形(角度精确到1°)
(1)a ＝31，b ＝42，c ＝27；
(2)a ＝9，b ＝10，c ＝15
解：
课堂小结
1. ；
2. ；
3. .
作业
见同步练习部分
拓展提升
1. 在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，则∆ABC 的形状为（ ）
A ．锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
2. 在△ABC 中，a ＝1，b ＝7 ，B ＝60°，则边c 的长度为（ ）
A. 3
B. 2
C.
D. 5
3.在△ABC 中，已知：c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，则角C 的大小为
4. 在△ABC 中，已知A ＞B ＞C 且A ＝2C ，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，又2b ＝a ＋c 成等差数列，且b ＝4，求a 、c 的长.
5.在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝ 2 ，A ＝45°，解此三角形.
6.在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A
7. 在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形
参考答案
新授课阶段
一、引入问题的解决
在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b，c，A来表示a.
分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，
所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角
关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在
Rt△BDC中，边a可利用勾股定理用CD、DB表示，而CD可
在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用AB—AD转化为
AD，进而在Rt△ADC内求解.
解：过C作CD⊥AB，垂足为D，则在Rt△CDB中，根据勾股定理可得：
a2＝CD2＋BD2
∵在Rt△ADC中，CD2＝b2－AD2
又∵BD2＝(c－AD)2＝c2－2c·AD＋AD2
∴a2＝b2－AD2＋c2－2c·AD＋AD2＝b2＋c2－2c·AD
又∵在Rt△ADC中，AD＝b·cos A
∴a2＝b2＋c2－2bc cos A
类似地可以证明b2＝a2＋c2－2ac cos B
c2＝a2＋b2－2ab cos C
另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时a2＝b2＋c2也符合上述结论，这也正是我们这一节将要研究的余弦定理.
二、余弦定理的内容：
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
形式一：
a2＝b2＋c2－2bc cos A，
b2＝c2＋a2－2ca cos B，
c2＝a2＋b2－2ab cos C.
形式二：
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
. 在余弦定理中，令C ＝90°，这时，cos C ＝0，所以c 2＝a 2＋b 2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进一步体会向量知识的工具性作用.
三、向量法证明余弦定理
如图，在△ABC 中，设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b .
由向量加法的三角形法则可得AC →＝AB →＋BC →，
∴AC →·AC →＝(AB →＋BC →)·(AB →＋BC →)
＝AB →2＋2AB →·BC →＋BC →2
＝｜AB →｜2＋2｜AB →｜｜BC →｜cos(180°－B )＋｜BC →｜2
＝c 2－2ac cos B ＋a 2
即b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B
由向量减法的三角形法则可得：
BC →＝AC →－AB →
∴BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →)
＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2
＝｜AC →｜2－2｜AC →｜｜AB →｜cos A ＋｜AB →｜2
＝b 2－2bc cos A ＋c 2
即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A
由向量加法的三角形法则可得
AB →＝AC →＋CB →＝AC →－BC →
∴AB →·AB →＝(AC →－BC →)·(AC →－BC →)
＝AC →2－2AC →·BC →＋BC →2
＝｜AC →｜2－2｜AC →｜｜BC →｜cos C ＋｜BC →｜2
＝b 2－2ba cos C ＋a 2
即c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C
评述：(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.
(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定，AC →与AB →属于同起点向量，则
夹角为A ；AB →与BC →是首尾相接，则夹角为角B 的补角180°－B ；AC →与BC →是同终点，则夹角
仍是角C .
四、余弦定理解决的问题类型
利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角；
这类问题由于三边确定，故三角也确定，解唯一；
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
这类问题第三边确定，因而其他两个角唯一，故解唯一，不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.
例1
分析：此题属于已知三角形三边求角的问题，可以利用余弦定理，意在使学生熟悉余弦定理的形式二
解：∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝102＋62－72
2×10×6
＝0.725，∴A ≈44° ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋102－622×7×10 ＝113140
＝0.8071，∴C ≈36° ∴B ＝180°－(A ＋C )≈180°－(44°＋36°)＝100°.
例2 在△ABC 中，已知a ＝2.730，b ＝3.696，C ＝82°28′，解这个三角形(边长保留四个有效数字，角度精确到1′)
解：由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝2.7302＋3.6962－2×2.730×3.696×cos82°28′
得c ＝4.297.
∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3.6962＋4.2972－2.7302
2×3.696×4.297
＝0.7767，∴A ＝39°2′ ∴B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(39°2′＋82°28′)＝58°30′
例3
解：(1)由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得
a 2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a ＝7
(2)由cos B ＝c 2＋a 2－b 2
2ca
得 cos B ＝202＋212－292
2×20×21
＝0，∴B ＝90° (3)由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得
b 2＝(3 3 )2＋22－2×3 3 ×2cos150°＝49，∴b ＝7
(4)由cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
得 cos A ＝（ 2 ）2＋（ 3 ＋1）2－222 2 （ 3 ＋1）
＝ 2 2 ，∴A ＝45° 例4
解：(1)由cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
得 cos A ＝422＋272－312
2×42×27
≈0.6691，∴A ≈48° 由cos B ＝c 2＋a 2－b 2
2ca
≈0.0523，∴B ≈93° ∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(48°＋93°)≈39°
(2)由cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
得 cos A ＝102＋152－92
2×10×15
＝0.8090，∴A ≈36° 由cos B ＝c 2＋a 2－b 2
2ca
得 cos B ＝92＋152－102
2×9×15
＝0.7660，∴B ≈40° ∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(36°＋40°)≈104°
课堂小结
1.余弦定理的证明方法；
2.余弦定理所能解决的两类有关三角形问题：已知三边求任意角；已知两边一夹角解三角形；
3. 余弦定理的灵活运用.
拓展提升
1. C 【解析】由余弦定理可知222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形
∆（注意：
是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）
222753>+，即222a b c >+，
∴ABC 是钝角三角形∆.
2.A 【解析】由余弦定理得 (7 )2＝12＋c 2－2c cos60°，
∴c 2－c －6＝0，解得c 1＝3，c 2＝－2(舍去).∴c ＝3
3.60120οο
或【解析】∵c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，
∴［c 2－(a 2＋b 2)］2－a 2b 2＝0，
∴c 2－(a 2＋b 2)＝±ab ，
cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±12
，∴C ＝120°或C ＝60° 4．解：由a sin A ＝c sin C
且A ＝2C 得 a 2sin C cos C ＝c sin C ，cos C ＝a 2c
又∵2b ＝a ＋c 且b ＝4，∴a ＋c ＝2b ＝8， ① ∴cos C ＝a 2＋42－c 28a ＝a ＋2－c a ＝5a －3c 4a ＝a 2c
∴2a ＝3c ②
由①②解得a ＝245 ，c ＝165
5.解：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A
得22＝( 2 )2＋c 2－2 2 c cos45°，
c 2－2c －2＝0
解得c ＝1＋ 3 或c ＝1－ 3 (舍去)
∴c ＝1＋ 3 ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝22＋（1＋ 3 ）2－（ 2 ）22×2×（1＋ 3 ）
＝ 3 2 ∴B ＝30°
C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105° 6.解：∵2222cos =+-b a c ac B
=222+-⋅cos 045=2121)+-=8
∴=b
求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
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高中数学 ⑵解法一：∵
cos 2221,22+-=b c a A bc ∴060.=A
解法二：∵
sin 0sin sin45,=a A B b
2.4 1.4
3.8,+=
21.8 3.6,⨯=
∴a ＜c ，即00＜A ＜090,
∴060.=A
7.解：由余弦定理的推论得：cos 2222+-=b c a A bc 222
87.8161.7134.6287.8161.7
+-=⨯⨯0.5543,≈05620'≈A ； cos 2222+-=c a b B ca 222
134.6161.787.82134.6161.7
+-=⨯⨯0.8398,≈03253'≈B ； 0000180()180(56203253)
''=-+≈-+C A B 09047.'=。