辽宁省丹东市五校协作体高三数学期末考试试题 文

2014——2015学年度上学期丹东五校协作体高三期末考试
数学试题（文科）
时间：120分钟 分值：150分 命题、校对：宽甸一中高三数学组 一、选择题：（每小题5分，共60分） 1.已知全集
{}
=01,2,3,4,5,6U ，，集合
{}
=0,1,2,3A ，
{}
=3,4,5B ，则(∁U A )I =B
.A {}3 .B {}4,5 .C {}4,56， .
D {}0,1,2 （ ） 2.若
1
:1,:
1p x q x ><，则p 是q 的 （ ）
.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件
3.已知
3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且3,22ππ
α⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭，则tan α= （ ）
.A 43 .B 34 .C 34- .D 3
4±
4.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是 （ ）
.A 3 .B 4 .C 5 .D 6
5.某几何体三视图如下，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（ ）
.A 3283π3+ .B 323π3+ .C 433π3+ .D 43
π3+
（第4题图） （第5题图） 6.设等比数列
{}
n a 各项均为正数，且
564718
a a a a +=，则 3132310log log log a a a +++=L ( ) .A 12 .B 10 .C 8 .D
32log 5+
7.设函数
()11sin 3cos 222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-+< ⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且其图像关于y 轴对称，则函主视图 左视图
俯视图
数
()
y f x =的一个单调递减区间是 （ ）
.A 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ .B ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ .C ,24ππ⎛⎫-- ⎪
⎝⎭ .D 3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
8. 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r a <的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 （ ）
.
a r
A a -
.
2a r B a - 2.
2a r
C a -
.
2a r
D a +
9. 若曲线2
12y x
e =
与曲线ln y a x =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，则实数a =
（ ）
.A 2- .B 1
2 .C 1 .D 2
10. 抛物线22y px =与双曲线22
221x y a b -=有相同焦点F ，点A 是两曲线交点，且AF ⊥x 轴，则
双曲线的离心率为 （ ）
.A
.
B .
C 1
.
D 1
11.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，若()12
f ->-，
()1
732a f a +-=
-，则实数a 的取值范围为 （ ）
.A 3,12
⎛⎫-- ⎪⎝⎭ .B ()2,1- .C 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ .D ()3,1,2⎛⎫-∞+∞ ⎪
⎝⎭U 12. 已知四面体P ABC -中, 4=PA ，72=AC ，32==BC PB ,PA ⊥平面PBC,则四
面体P ABC -的内切球半径与外接球半径的比 （ ）
.
A .
B .
C .
D
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13.
已知复数
z =
z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=___________.
14. 已知(,)M x y 为由不等式组0222x y x ⎧≤≤⎪
≤⎨⎪≤⎩，所确定的平面区域上的动点，若点
)2,1
A ，
则z OM OA =⋅u u u u r u u u r
的最大值为___________.
15.在平行四边形ABCD 中，已知2AB =，1AD =，60BAD ∠=o
，E 为CD 的中点，则
AE BD ⋅=u u u r u u u r
___________.
16.在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 1sin sin b C
a c
A B =-
++，且5,5b CA CB =⋅=-u u u r u u u r
，则ABC △的面积是___________.
三、解答题：（共6小题，共70分）
17. （12分）已知数列{}n a 满足0n a ≠,
11
3a =，()1122,n n n n a a a a n n N *---=⋅≥∈. （1）求证：1n a
⎛⎫
⎪⎝⎭是等差数列；
（2）设
1n n n b a a +=⋅，{}n b 的前n 项和为n S ，求证：
16n S <
.
18. （本小题满分12分）如图，在三棱柱
111ABC A B C -中，已知11AB BB C C ⊥侧面，
1AB BC ==，12BB =，
13BCC π
∠=
.
(1)求证：1C B ABC ⊥平面；
(2)求点
1B 到平面11ACC A 的距离.
19.（本小题满分12分）某校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：
喜欢统计课程 不喜欢统计课程
男生 20
5 女生
10
20
（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？
（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．
临界值参考:
（参考公式：
2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++）
20.(本小题满分12分）已知函数()()1
2ln 2(0)f x a x ax a x =-+
+≤.
（1）当0a =时，求()
f x 的极值； （2）当0a <时，讨论
()
f x 的单调性；
（3）若对任意的
()[]123,2,,1,3,
a x x ∈--∈恒有
()()()12ln 32ln 3m a f x f x +->-成立，求实数m 的取值范围.
21.(本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点
()
1,1A -关于原点O 对称，P 是
动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于1
3-
.
（1）求动点P 的轨迹方程；
（2）设直线AP 和BP 分别与直线3x =交于点,M N ，问：是否存在点P 使得PAB △与
PMN △的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，ABC △内接于圆O ，AD 平分BAC ∠交圆O
AD 于点E .
（1）求证：EBD CBD ∠=∠；
（2）求证：AB BE AE DC ⋅=⋅.
23．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
已知曲线1C 的参数方程是2cos sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩（θ为参数）
，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线2
C 的极坐标方程是2sin ρθ=.
(1)写出
1
C 的极坐标方程和
2
C 的直角坐标方程；
(2)已知点1M 、2M 的极坐标分别为1,2π⎛⎫
⎪⎝⎭和()2,0，直线12M M 与曲线2C 相交于,P Q 两点，
射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，求
2
2
1
1OA OB
+
的值.
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数
()f x x a
=-. （1）当2a =时，解不等式
()41
f x x ≥--；
（2）若()1f x ≤的解集为[]0,2，()11
0,02a m n m n +=>>，
求证：24m n +≥.
2014——2015学年度上学期丹东五校协作体高三期末考试
数学试题（文科）参考答案及评分标准 选择题：
1.B
2.A
3.B
4.B
5.D
6.B
7.C
8.A
9.C 10.D 11.D 12.A 填空题：
13. 14 14. 4 15. 3
2-
16.
三、 解答题： 17.证明：（1）Q
112n n n n a a a a ---=⋅()2n ≥
∴111
2n n a a --=()2n ≥ ∴1n a ⎧⎫⎨⎬
⎩⎭是以3为首项，2为公差的等差数列.
………………6分
（2）由（1）知：()131221n n n a =+-⋅=+
121n a n ∴=+ …………8分 11
(2n 1)(2n 3)n n n b a a +∴=⋅=
++
11646n S n ∴=-
+
1
6n S ∴<
……………12分
18. 解：（1）因为侧面AB ⊥11BB C C ,
1BC ⊂
侧面
11BB C C
，
故
1
AB BC ⊥, ………………2分
在
1BCC △中,
1111,2,3BC CC BB BCC π
===∠=
由余弦定理得：
2222211112cos 12212cos
3
3
BC BC CC BC CC BCC π
=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，
所以1BC 故222
11BC BC CC +=,所以
1BC BC ⊥, ………………4分 而
1,BC AB B BC ABC =∴⊥I 平面 ………………6分
（2）点
1B 转化为点B
，
1C ABC V -=
………………8分
1ACC S ∆=
………………10分
又
111
C ABC B ACC V V --=
所以点1B 到平面
11ACC A
………………12分
19. 解：（Ⅰ）由公式2
2
55(2020105)11.9787.879
30252530K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
所以有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关． …………………6分
（Ⅱ）设所抽样本中有m 个男生，则643020m m ==，得人，所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作123412,,,,,.B B B B G G 从中任选2人的基本事件有1213(,)(,)B B B B 、、 1411122324212234(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)B B B G B G B B B B B G B G B B 、、、、、、、、
3132414212(,)(,)(,)(,)(,)B G B G B G B G G G 、、、、，共15个，其中恰有1名男生和1名女生的
事件有111221(,)(,)(,)B G B G B G 、、、223132(,)(,)(,)B G B G B G 、、、41(,)B G 、 42(,)B G ，共8个，所以恰有1名男生和1名女生的概率为
8
15P =
． ………12分
20. 解：（1）当0a =时，()()22
12121
2ln ,(0).x f x x f x x x x x x -'=+=-=> 由
()2210x f x x -'=
>,解得
1
2x >.
∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在
1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数. ∴()f x 的极小值为122ln 2
2f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，无极大值. ………………… 3分
（2）()()()()2222
221121212(0)ax a x ax x a f x a x x x x x +--+--'=-+==>. ①当20a -<<时，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭和1,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数； ②当2a =-时，
()
f x 在
()0,+∞上是减函数；
③当2a <-时，()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝
⎭和10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数.…7分 （3）当32a -<<-时，由（2）可知
()
f x 在
[]1,3上是减函数，
∴()()()()()122
1342ln 33f x f x f f a a -≤-=
-+-.
由()()()12ln 32ln 3m a f x f x +->-对任意的()[]123,2,,1,3a x x ∈--∈恒成立， ∴
()()()12max ln 32ln 3m a f x f x +->-
即
()()2
ln 32ln 342ln 33m a a a +->
-+-对任意32a -<<-恒成立，
即
2
43m a <-+
对任意32a -<<-恒成立，
由于当32a -<<-时，1323843
39a -
<-+<-，∴133m ≤-
. …………… 12分 21.解：（1）点P 的轨迹方程为()221144
3x y x +=≠± ………………5分
（2）设点P 的坐标为
()00,x y ，点,M N 的坐标分别为()()3,,3,y M N y ，
则直线AP 的方程为
()001
111y y x x --=
++，
直线BP 的方程为
()001
111y y x x ++=
--.
令3x =，得
0000
004323
,y 11M N y x y x y x x +--+=
=+-，
于是PMN △的面积()()2
00002031
y 321
PMN
M N x y x S y x x +-=--=-△，
………………8分
直线AB 的方程为0x y +=
，AB =，
点P 到直线AB
的距离
d
于是PAB △的面积
PAB
S △001
2AB d x y =
⋅=+， ……………10分
当PAB
S △PMN S =△时，得
()2
000002031
x y x x y x +-+=
-，
又
000
x y +≠，所以
()
2
2
0031
x x -=-，解得
053x =
，
因为
22
0034x y +=
，所以
0y =，
故存在点P 使得PAB △与PMN △的面积相等，
此时点P
的坐标为
5,3⎛ ⎝ ……………12分 22. （1）∵BE 为圆O 的切线
∠EBD=∠BAD ………………2分 又∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD ∴∠EBD =∠CAD ………………4分 又∵∠CBD=∠CAD ∴∠EBD=∠CBD ………………5分 （2）在△EBD 和△EAB 中，∠E=∠E ，∠EBD=∠EAB
∴△EBD ∽△EAB ………………7分
∴BE BD
AE AB =
∴AB•BE =AE•BD ………………9分
又∵AD 平分∠BAC ∴BD=DC 故AB•BE =AE•DC ………………10分
23.解：（1）曲线1C 的普通方程为22
14x y +=，
化成极坐标方程为
2222cos sin 1
4
ρθ
ρθ+= ………3分
曲线2C 的直角坐标方程为()2
2
11x y +-= ……………5分
（2）在直角坐标系下，
()
10,1M ，
()
22,0M ，
线段PQ 是圆()2
211x y +-=的一条直径 ∴90POQ ∠=o
由OP OQ ⊥ 得OA OB ⊥
,A B 是椭圆2
21
4x y +=上的两点，
在极坐标下，设
()12,,,2A B πρθρθ⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭ 分别代入
222211cos sin 1
4
ρθ
ρθ+=中，
有
222
2
11
cos sin 1
4ρθ
ρθ+=和
222222cos 2sin 1
4
2πρθπρθ⎛⎫
+
⎪⎛
⎫⎝⎭
++= ⎪⎝
⎭ 22211
cos sin ,4θθρ∴=+ 22
2
21sin cos 4θθρ=+
则
22
1
21
1
54ρρ+
= 即22
1154OA OB +=. ……………10分
24. 解：（1）当a=2时，不等式为
214
x x -+-≥，
不等式的解集为17,,22⎛⎤⎡⎫
-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ； ……………5分
（2）
()1
f x ≤即
1
x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤解集是
[]0,2，
∴
10
12
a
a
-=
⎧
⎨
+=
⎩，解得a=1,所以
()
11
10,0
2
m n
m n
+=>>
所以
11
2(2)4
2
m n m n
m n
⎛⎫
+=++≥
⎪
⎝⎭. ……………10分。