第四章——连续时间系统的S域分析

第四章——连续时间系统的S域分析
第4章连续时间系统的S 域分析
4.1拉普拉斯变换的定义、收敛域
（一）定义
拉氏正变换：
()()()0st
f t F s f t e dt ∞
-==L
拉氏逆变换：
()()11
2j st j F s F s e ds j σσπ+∞
--∞=
L
（二）常用函数的拉氏变换
[1] 阶跃函数
()0
1st
st
e u t e dt s
s
∞-∞
-==-
=L [2] 指数函数
()
1
a s t
at
at st
e e
e e dt a s
a s
∞-+∞
---??==-
=
++?L （σ>a -） [3] n t 函数
[]21t s =
L 232t s ??=??L
1!n
n n t s +??=??L [4] 冲激函数
()()01st
t t e dt δδ-
∞
-==L ()()0000st st
t t t t e dt e δδ-∞---=-=L 4.2拉普拉斯逆变换
（一）部分分式分解
[1]极点为实数，无重根
例求下示函数的逆变换
()()()
32597
12s s s F s s s +++=
++ 解用分子除以分母（长除法）可得()()()
()
()()322222
22
222
597
1232277
3232322323323232
21
212
s s s F s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s +++= ++++++=++++++++++=++++++++=++-
++ 故有
()()()222t t f t t t e e δδ--'=++-()0t ≥
[2]包含共轭复数极点
()()12cos sin t
A j
B A jB e A t B t s j s j αββαβαβ--??+-+=-
+-++??
L 例求下面函数的逆变换
()()()
223
252s F s s s s +=+++
解
()()()()()()()()22
2222012
3
2523
1223
1212221212
s F s s s s s s s s s j s j s k k k s s j s j +=++++=
+++??+=
+++-+=
++
++-++
下面分别求系数012,,k k k
()()
725
s k s F s =-=+=
()()
2112
3
12
1225
s j s j k s j s =-++-+=
=
+++ 也即12
,55
A B =-=，故而可以得到其逆变换的函数表达式
()()()27122cos 2sin 2555t t f t e e t t --??
=-+
()0t ≥
[3]多重极点
设有
()()()()
()()
()
()
()()
1111
12
1
111k k
k
k A s A s F s B s s p D s E S K K K s p D S s p s p -== -=
+++
---
现记
()()()11k
F S s p F s =-
则个系数的计算公式为：
()()
1
1
11
111!i i i s p d K F s i ds --==- 例求下示函数的逆变换
()()
3
21s F s s s -=
+
解将()F s 写成展开式
()()
()
1311
12
2
3
2
111K K K K F s s s
s s =
+
+
+
+++ 容易求得：
()
20
2s K sF s ===-
为求出与重根有关的个系数，令()()()3
12
1s F s s F s s
-=+=
故有
111
23S s K s
=--=
=
121
22S d s K ds s =--??=
=
21321
1222S d s K ds s =--??== ?
于是有
()()
()
3
2
3
2
22111F s s s
s s =
+
+
-+++ 所求逆变换为
()23
2222
t t t f t t e te e ---=++-()0t ≥
4.3微分方程的S 域求解
对于二阶连续时间LTI 系统，描述系统的微分方程为
()()()()()
1010,0y t a y t a y t b x t b x t t ''''++=+≥
()()0,0y y --'为系统的初始状态。

记(){}()(){}(),y t Y s x t X s ==L L 。

根据单
边拉普拉斯变换的时域微分特性，有
(){}()()(){}()()()20,00y t sY s y y t s Y s sy y ---''''=-=--L L
例描述连续时间LTI 系统的微分方程为
()()()()()
3243,0y t y t y t x t x t t ''''++=+≥
已知()()()()02,03,y y x t u t --'=-==。

失球系统的零输入响应()zi y t ，零状态响应()zs y t 和完全响应()y t 。

解对微分方程两边进行单边拉普拉斯变换，得
()()()()()()()()20030243s Y s sy y sY s y Y s s X s ---
'--+-+=+??
整理后，得
()()()()
()22
003043
32
32
sy y y s Y s X s s s s s ---'+++=
+
++++ 零输入响应的S 域表示为
()()()()
()()200302311
32
1212
zi sy y y s Y s s s s s s s ---'++----=
=
=+++++++
对上式作拉普拉斯反变换，得
()2,0t t
zi y t e e t --=--≥
因为
()()()1
x t u t X s s
=→=
所以零状态响应的S 域表示为
()()()
()()()4343 1.51 2.5
121212zs s s y s X s s s s s s s s s ++=
==+-++++++
对上式作拉普拉斯变换得
()()()21.5 2.5t t zs y t e e u t --=+-
完全响应为
()()()21.5 3.5,0t
zi zs y t y t y t e t -=+=-≥
4.4用拉普拉斯变换法分析电路
例下图所示电路，0t =时以前，开关S 闭合，已进入稳定状态；0t =时，打开开关，求()r v t 并讨论R 对波形的影响。

解用拉普拉斯变换法分析电路。

根据电路图列写0t ≥时的微分方程
()
()0L L di t L
Ri t dt
+= 对该微分方程两边同时取拉普拉斯变换有
()()()00L L L L sI s i RI s --+=
由题意可知()0L E
i r
-=，解得()L E r I s R s L
=+，取逆变换得到
()()1
R t L
L L E i t I s e r --==L
所以
()()()1R
t L
r L R v t E Ri t E e u t r -??=+=+
4.5S 域电路元件模型
,,R L C 元件的时域关系为
()()()()()()1R R L L t
C C v t Ri t di t v t L dt
v t i d C
ττ-∞===
将以上三式分别进行拉氏变换，得到
()()()()()()()()011
0R R L L L C C C V s RI s V s sLI s Li V s I s v sC s ==-=
+
由此可得各元件的S 域模型
电阻
电感
电容
同理，可得各元件的S 域电流表达式
()()()()()()()()1
11
00R R L L L C C C I s V s R I s V s i sL s
I s sCV s Cv =
=+=-
模型
电阻
电感
电容
例下图所示电路，0t =时以前，开关S 闭合，已进入稳定状态；0t =时，打开开关，求()r v t 并讨论R 对波形的影响。

解用等效S 域模型简化电路分析。

画出题图电路在0t ≥时刻的S 域等效元件模型，如下图所示
由题意知()0L E
i r
-=
，所以
()()
0L L E Li r
I s R
R sL s L
-=
=
++ 从而
()()1
L L RE V s RI s R
r s L
==
+ 进而有
()()11r L E
R V s V s E R s s r s L =+=+?
+??
取逆变换得到
()()()1
1R
t L
r r R v t V s E e u t r --??==+?? ???
L 根据上述分析可知，R 越大，()r v t 波形在0t =开关打开瞬间的幅值越大，但波形衰减得越快。

4.6系统函数()H s
系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比称为系统函数，以()
H s 表示。

一般情况下，若线性时不变系统的激励、零状态响应和冲激响应分别为()()(),,e t r t h t ，它们的拉氏变换分别为()()(),,E s R s H s ，则有下述关系：
()()()()()
()
R s H s E s R s H s E s ==
例求下面电路图所示的系统函数（网络函数）()H s
解由S 域元件模型可得该电路的S 域模型如下所示
由该S 域模型可得：
()()()00020001
////1////1
111111R sL R s sC H s E s R R sL sC sC R sL s
R R R RC s s RR C LC sC R sL
==
+ ?
++
==
++++ ?++??
（一）定义
()H s 分母多项式之根构成极点，分子多项式之根构成零点。

（二）零、极点分布特性
[1] 若极点位于S 平面坐标原点，则冲激响应为阶跃函数；
[2] 若极点位于S 平面正实轴上，则冲激响应为指数衰减形式；若极点位于S 平
面负实轴上，则冲激响应为指数增长形式；
[3] 若极点是位于S 平面坐标轴的虚轴上的共轭极点，则冲激响应为等幅震荡； [4] 若极点是位于S 平面左半平面上的共轭极点，则冲激响应为减幅震荡；若极
点是位于S 平面右半平面上的共轭极点，则冲激响应为增幅震荡若()H s 的极点落在S 平面的左半平面，则()h t 波形为衰减形式；若()H s 的极点落在S 平面的右半平面，则()h t 波形为增长形式；落在虚轴上的一阶极点对应的()h t 成等幅震荡或阶跃；落在虚轴上的二阶极点将使()h t 呈增长形式；
一般情况下，对于稳定系统，其所有极点均位于S 平面的左半平面。

（一）定义
频响特性是指系统在正弦信号激励之下稳态响应随信号频率的变化情况。

（二）表示
()
()()()
s j j H s H j H j e
ω
ωωω===
式中，()H j ω是幅频响应特性，()?ω是指相频响应特性。

（二） S 平面几何分析
根据系统函数()H s 在S 平面零、极点分布可以绘制频响特性曲线，它包括幅频特性()H j ω曲线和相频特性()?ω曲线，下面简单介绍该方法： 1. 在S 平面正确表示出()H s 的各个零、极点；
2. 在S 平面坐标轴虚轴的正半轴部分任取一点j ω，由各个零、极点向
虚轴上的j ω点作矢量； 3. 将每个零点矢量表示成j
j j N e
ψ形式，将每个极点矢量表示成i j i M e θ形
式。

其中，,j i N M 分别表示第j 个零点矢量的模和第i 个极点矢量的模，而,j i ψθ分别表示第j 个零点矢量的辐角和第i 个极点矢量的辐角，此处辐角是指各矢量与坐标轴实轴正方向所形成的夹角。

4. 由此可得
()()()()()
12
12
121212121212m n m n j j j m j j j n j m n j N e N e N e
H j K M e M e M e
N N N K e
M M M H j e
ψψψθθθψψψθθθ?ωωω?
++-++??
==???=
5. 当j ω点沿着虚轴移动时，上述各矢量的模和辐角都随之改变，于是
得出幅频特性曲线和相频特性曲线。

注：对不存在的零点或者极点将其视作模为1而辐角为0处理。

例下图所示网络中，2H,0.1F,10L C R ===Ω。

[1] 写出电压转移函数()()
()
2V s H s E s =
； [2] 画出S 平面零、极点分布图；
[3] 大致画出幅频特性曲线和相频特性曲线； [4] 求冲激响应和阶跃响应。

解（1）根据分压原理有
()()()22
1
10
//
10//
51105//210//
R V s sC
s H s E s s s Ls R s sC s
====++++ （2）()H s
无零点，在12s =-±有一对共轭的一阶极点，其零、极点分布
如下图所示：
（3）其幅频特性曲线和相频特性曲线大致如下图所示（4）系统冲激响应
) ()
11
2
2
2
2
1
2
sin
t
h t H s s
u t
--
-
==
=??
L L
阶跃信号()
u t的拉氏变换()1
U s
s
=，所以阶跃响应的拉氏变换()()()(
)2
2
22
22
511
5
5
1
122
11
22
G s H s U s s s s
s s s
s
s
s s
+
===-
++
++
+
=--
++++
故有()(
)()
2cos
t
g t u t e u t -
=-+
4.9 全通函数与最小相移函数
（一）定义
如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点关于虚轴jω轴互为镜像对称，则称这种系统函数为全通函数，称该系统为全通系
统或全通网络。

零点仅位于左半平面或者jω轴的网络函数称为最小相移函数，该系统称为最小
相移系统或最小相移网络。

（注：非最小相移函数可以表示为最小相移函数与全通函数的乘积，即非最小相移网络可以代之以最小相移网络与全通网络的级联。

）例下图所示系统是否为最小相移动系统，若不是，应由零、极点如何分布的最小相移网络和全通网络来组合？
解根据最小相移系统定义可知，图示系统为非最小相移系统，该系统可由下面的最小相移网络和全通网络来组合。

最小相移网络全通网络
4.10 线性系统的稳定性
稳定系统：如果()H s 的全部极点均落在S 平面的左半平面（不包括虚轴），系统是稳定的。

临界稳定系统：如果()H s 的极点落在S 平面的虚轴上，且只有一阶，则系统是临界稳定系统。

不稳定系统：如果()H s 的极点落在S 平面的右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点，则系统是不稳定系统。

例下图所示反馈系统
1) 写出()()
()
21V S H s V S =
； 2) K 满足什么条件时，系统稳定；
3) 在临界稳定条件下，求系统冲激响应()h t 。

解（1）由图有()()()1222
44
s
V S V S K V S s s +?
=++，整理可得 ()()()()22
144
V S Ks
H s V S s K s ==+-+ （2）由()H s 可知系统极点位于
1,2p
=。

由于
<4K -，所以当4K -<0时，极点位于S 平面左半平面。

因此，当K <4时，系统稳定。

（3）4K =时，()H s 的极点在虚轴上，系统临界稳定。

此时，()244
s
H s s =+，逆变换得到系统的冲激响应()()()4cos 2h
t t u t =。

4.11 傅氏变换与拉氏变换的关系
如果要从已知的单边拉氏变换求傅氏变换，首先应当判明函数()
f t为有始信号，即当t<0时()0
f t=，然后根据收敛边界的不同，按以下三种情况分别对待。

[1]
00
σ>（收敛边界落于S平面右半平面）
显然，这种情况的傅氏变换不存在，因而不能盲目的由拉氏变换寻求其傅氏变换。

[2]
00
σ<（收敛边界落于S平面左半平面）
这种情况对应衰减函数，它的傅氏变换存在。

令其拉氏变换中的s=jω就可以求得它的傅氏变换。

[3]
00
σ=（收敛边界位于虚轴）
在这种情况下，函数具有拉氏变换，而其傅氏变换也可以存在，但是不能简单地将其拉氏变换中的s代之以jω来求其傅氏变换，在它的傅氏变换中将包含奇异函数项。