高中数学人教A版选修11课时达标训练：(八) Word版含解析.doc

课时达标训练（八） [即时达标对点练]
题组1 直线与椭圆的位置关系
1．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 29＋y 2
4＝1的位置关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不能确定
2．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 2
3＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________．
题组2 直线与椭圆的相交弦问题
3．椭圆x 225＋y 2
4＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．若|AB |＝8，
则|AF 1|＋|BF 1|的值为( )
A ．10
B ．12
C ．16
D ．18
4．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝1
2
x ＋1截得的弦长为________．
5．已知中心在原点，一个焦点为F (0，50)的椭圆被直线l ：y ＝3x －2截得的弦的中点横坐标为1
2
，求此椭圆的方程．
题组3 与椭圆有关的最值问题
6．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 2
16＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|
|＝1，且
＝0，则|
|的最小值是________．
7．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，
则
的最大值为________．
8．如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率
为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，
(1)若点P 的坐标为(0，1)，求椭圆C 的标准方程； (2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围．
[能力提升综合练]
1．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2
＋y 2
＝4没有交点，则过(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2
4
＝1
的交点个数( )
A ．至多一个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
2．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是( ) A ．[4－23，4＋2 3 ] B ．[4－3，4＋ 3 ] C ．[4－22，4＋2 2 ] D ．[4－2，4＋ 2 ]
3．已知椭圆C ：x 22＋y 2
＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C
于点B ，若
＝( )
A. 2 B ．2 C. 3 D ．3
4．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2
c ，若直线y ＝3(x
＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．
5．已知椭圆G ：x 24＋y 2
＝1，过点(0，2)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．
(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率； (2)O 为坐标原点，求△OAB 的面积．
6．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y ＝x ＋m 相交于不同的两点M ，N ，问是否存在实数m 使|AM |＝|AN |；若存在求出m 的值；若不存在说明理由．
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选A 因为直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆x 29＋y 2
4＝1的内部，
故直线y ＝kx ＋1与椭圆x 29＋y 2
4
＝1相交．
2. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2
m ＋y 2
3＝1，
y ＝x ＋2，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.
又∵直线与椭圆有两个公共点，
∴Δ＝(4m )2－4m (m ＋3)＝16 m 2－4m 2－12m ＝12m 2－12m >0， 解得m >1或m <0. 又∵m >0且m ≠3，
∴m >1且m ≠3. 答案：(1，3)∪(3，＋∞)
3. 解析：选B ∵|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝4a ，∴|AF 1|＋|BF 1|＝4×5－8＝12.
4. 解析：由⎩⎪⎨⎪
⎧x 2
＋4y 2
＝16，y ＝12x ＋1，
消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.
设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝
5
4
[]（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝ 5
4
（4＋24）＝35. 答案：35
5. 解：设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)．
弦两端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 由y 2a 2＋x 2
b 2＝1及y ＝3x －2得 (a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋b 2(4－a 2)＝0， x 1＋x 2＝12b 2
a 2＋9
b 2，由已知x 1＋x 22＝12， 即12b 2a 2＋9b 2
＝1， 所以a 2＝3b 2.又c 2＝a 2－b 2＝50， 所以得a 2＝75，b 2＝25， 所以椭圆的方程为y 275＋x 2
25
＝1.
6. 解析：易知点A (3，0)是椭圆的右焦点．
答案： 3
7. 解析：由x 24＋y 2
3
＝1可得F (－1，0)．
设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则＝x 2
＋x ＋y 2
＝x 2
＋x ＋3⎝⎛⎭⎫1－x 2
4＝14x 2＋x ＋3＝14
(x ＋2)2＋2，
当且仅当x ＝2时，取得最大值6.
答案：6
8. 解：∵直线AB 的斜率为1， ∴∠BAP ＝45°，
(1)∵P (0，1)，
即b ＝2，且B (3，1)． ∵B 在椭圆上，
∴9a 2＋1
4＝1，得a 2＝12， ∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 2
4
＝1.
(2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)， ∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .
显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得，
9a 2＋t 2（3－t ）2＝1，解得a 2＝3（3－t ）2
3－2t
. ∵a 2>b 2>0，
∴3（3－t ）23－2t >(3－t )2>0.
∴
33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t
>0， ∴所求t 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫0，3
2. 能力提升综合练
1. 解析：选B 因为直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点， 所以
4m 2＋n
2 >2，即m 2＋n 2<4， 所以n 2<4－m 2，
则m 29＋n 24<m 29＋4－m 2
4＝1－5
36
m 2<1.
所以点(m ，n )在椭圆x 29＋y 2
4＝1内部，
故过点(m ，n )的直线与椭圆有2个交点．
2. 解析：选A 方程可化为x 23＋y 2
8＝1，故椭圆焦点在y 轴上，又a ＝22，b ＝3，所
以
－3≤m ≤3，
故4－23≤2m ＋4≤23＋4.
3. 解析：选A 设点A (2，n )，B (x 0，y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2
＝1知a 2＝2，b 2＝1，
∴c 2＝1，即c ＝1.∴右焦点F (1，0)．
∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. ∴x 0＝43，y 0＝13
n .
将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝⎛⎭⎫432＋⎝⎛⎭⎫13n 2
＝1.
解得n 2＝1， ∴|
|＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2.
4. 解析：直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1
＝30°，所以MF 1⊥MF 2.
在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2c
c ＋3c ＝3－
1.
答案：3－1
5. 解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1， 所以c ＝a 2－b 2＝ 3.
所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， 离心率为e ＝c a ＝3
2
.
(2)设l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0， 由l 与圆x 2＋y 2＝1相切得2
1＋k 2
＝1， 解得k ＝±3.
将y ＝±3x ＋2代入x 2＋4y 2－4＝0，
得13x 2±163x ＋12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝±16313，x 1x 2＝12
13
，
|AB |＝2（x 1－x 2）2＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2
⎝⎛⎭
⎫163132
－4×1213＝2413.
又O 到AB 的距离d ＝1. ∴S △OAB ＝12×|AB |×1＝12
13
.
6解：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
＝1，
则右焦点F (a 2－1，0)． 由题设|a 2－1＋22|2＝3，
解得a 2＝3，
故所求椭圆的方程为x 23＋y 2
＝1.
(2)设P 为弦MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2
＝1，
得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0. 由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即－2<m <2，
所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3m 4，从而y P ＝x P ＋m ＝m 4，
所以k AP ＝y P ＋1x P ＝m
4
＋1
－3m
4，
又|AM |＝|AN |， 所以AP ⊥MN ，
所以m 4＋1－3m 4＝－1，解得m ＝2，
所以不存在实数m 使|AM |＝|AN |.。