并联DC-DC_变换器网络控制系统的信号量化研究

第27卷㊀第10期2023年10月
㊀
电㊀机㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报Electri c ㊀Machines ㊀and ㊀Control
㊀
Vol.27No.10Oct.2023
㊀㊀㊀㊀㊀㊀并联DC-DC 变换器网络控制系统的信号量化研究
王艳敏1,㊀张伟琦1,㊀张涵清1,㊀杨亚龙2
(1.哈尔滨工业大学电气工程及自动化学院,黑龙江哈尔滨150001;
2.安徽建筑大学智能建筑与建筑节能省重点实验室,安徽合肥230000)
摘㊀要:针对并联DC-DC 变换器网络控制系统(NCS )因无法及时处理冗长信号而导致系统均流输出性能较差的问题,结合滑模控制(SMC )策略提出一种NCS 均匀量化设计方法㊂以并联Buck 变换器为例,首先设计了其主从均流SM 控制系统;后在连续域内对含SMC 的NCS 进行均匀量化设计,并根据量化误差分析了系统的稳定性能;再考虑到变换器在实际数字控制系统中的应用,采用零阶保持器研究了均匀量化SMC 系统的离散化效应并给出了稳定性条件;最后,利用仿真分别分析了连续和离散域中不同参数条件下系统的输出性能,得到当量化步长与采样时间分别取0.1与0.1ms 时系统输出性能最优,并在该最优参数下进一步通过实验证明,所设计均匀量化SMC 系统能够将并联Buck 变换器的输出电压与均分电流稳态误差分别控制在0.117V 与0.008A 内,验证了所提设计方法的正确性㊂
关键词:并联DC /DC 变换器;滑模控制;网络信号传输;均匀量化器;均流输出;离散化DOI :10.15938/j.emc.2023.10.001
中图分类号:TM41
文献标志码:A
文章编号:1007-449X(2023)10-0001-12
㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀
㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀
㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀
㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀
收稿日期:2023-02-23
基金项目:国家自然科学基金(51307035);智能建筑与建筑节能省重点实验室基金(IBES2021KF02)
作者简介:王艳敏(1979 ),女,博士,副教授,研究方向为电气系统的非线性控制㊁建筑信息化与智能化控制;
张伟琦(1997 ),男,博士研究生,研究方向为电力变换器的先进非线性控制策略;张涵清(2000 ),男,硕士研究生,研究方向为直流变换器的网络控制系统设计;杨亚龙(1980 ),男,博士,教授,研究方向为建筑物联网㊁建筑节能㊂
通信作者:张伟琦
Research on signal quantization of parallel DC-DC converter
network control system
WANG Yanmin 1,㊀ZHANG Weiqi 1,㊀ZHANG Hanqing 1,㊀YANG Yalong 2
(1.School of Electrical Engineering and Automation,Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China;
2.Key Laboratory of Intelligent Building &Building Energy Saving,Anhui Jianzhu University,Anhui 230000,China)
Abstract :Aiming at the problem that the current sharing output performance of the parallel DC-DC con-verter network control system (NCS)is poor due to the inability to process lengthy signals in time,a uni-form quantization design method of NCS is proposed based on sliding mode control (SMC)strategy.Tak-ing the parallel buck converter as an example,the SM control system was designed first.Then the NCS with the SMC was designed by uniform quantization in the continuous domain,and the stability of the sys-tem was analyzed according to the quantization error.Considering the application of the parallel buck converter in practical digital control system,the discretization effect of uniform quantization SMC system was studied by using the zero-order hold and the stability conditions were given.Finally,simulations were used to analyze the output performance of the system under different parameters in the continuous and dis-crete domain,and it shows that the output performance of the system is optimal when the quantization
step size and sampling time are 0.1and 0.1ms,respectively.Further experiments under the optimal pa-
rameters show that the designed uniform quantization SMC system can control the steady-state error of out-put voltage and equalizing current of parallel buck converter within0.117V and0.008A,respectively, which verifies the correctness of this paper.
Keywords:parallel DC/DC converter;sliding mode control;network signal transmission;uniform quan-tizer;current equalizing output;discretization
0㊀引㊀言
开关型并联直流变换器(DC-DC converter)因其拓扑简单㊁性能可靠等特点,被广泛应用于分布式直流供电㊁并联储能充电等领域[1-2]㊂网络控制系统(networked control system,NCS)作为并联DC-DC变
换器在多领域应用时的 大脑 ,帮助通信用电网络实现并联变换器的灵活调度[3-4]㊂
大量文献表明,滑模控制(sliding mode control-ler,SMC)由于其设计结构简单㊁鲁棒性强等特点,可被用于设计并联DC-DC变换器的NCS系统,帮助实现变换器系统在复杂工作环境下的均流输出,保证用电网络的输入电能品质[5-6]㊂但是受数字控制系统存储能力以及传感器模数转换精度的限制,易导致并联DC-DC变换器系统的NCS无法在有效时间内处理较大字长的传输数据,影响系统SMC控制信号的有效生成,严重损害了并联DC-DC变换器的均流输出性能[7-8]㊂
量化技术通过将连续的传输信号转换为多段离散值,减少信息通道中数据包的大小,进而减轻信息的传输负担,节约成本,是解决NCS反馈信息处理问题的一种有效方法[9-10],故关于NCS的量化器研究成为越来越多学者关注的热点㊂文献[11]针对未知控制方向的非线性系统,通过引入迟滞量化器保证了系统全局稳定性,但是该方法无法用于控制量明确的非线性系统;文献[12]通过引入对数量化器,设计了控制方向确定的高阶非线性系统的量化控制系统,但是系统最终只能达到渐进稳定,收敛效果不理想;文献[13]在此基础之上,结合均匀量化器,进一步改善了系统的收敛性能,但是在系统的稳定性分析方面仍有待研究㊂
本文针对并联DC/DC变换器系统,以降压型(Buck converter)为例,采用SMC策略在连续域内设计其主从均流控制系统㊂为强化并联Buck变换器NCS对冗长信号的处理能力,利用均匀量化法对SMC系统进行量化处理,并基于量化误差分析系统稳定性,给出均匀量化系统的稳定条件㊂考虑变换器在用电网络中的实际工程应用,对均匀量化SMC 系统作离散化设计,研究其状态变量的离散化效应,并在此基础上分析离散系统的稳定性㊂最后,利用仿真与实验分析验证所设计均匀量化SMC系统及其离散化后的系统状态特性与输出性能,以证明本文设计方法的正确性㊂
1㊀并联DC/DC变换器的SMC设计1.1㊀并联DC/DC变换器系统建模
以并联Buck变换器为例,给出了n相并联Buck变换器的拓扑结构,如图1所示
㊂
图1㊀n相并联Buck变换器拓扑结构
Fig.1㊀Topology of the n-phase parallel Buck converter
图中:E为直流输入电压源;v O为并联变换器输出电压;R为负载电阻;L i和C i分别为第i相的滤波电感和电容(i=1,2, ,n);i Li和i Ci分别为流过他们的电流;VD i为第i相的续流二极管;S w i为第i相的功率开关管,常见有MOSFET㊁IGBT等,其导通与关断分别受控于控制器输出信号u i=1和u i=0㊂本文这里使图1中所示的并联Buck变换器工作于连续电流模式(continuous current mode,CCM)下,以便更好地观察变换器的能量流动过程㊂以任意一相为例分析,分别考察当S w i导通/关断时系统的工作过程,由此可得:
S w i on
d i L i
d t=
1
L i(E-v O);
d v O
d t=
1
C i i C i;
ì
î
í
ï
ï
ï
ï
S w i off
d i L i
d t=-
1
L i v O;
d v O
d t=
1
C i i C i㊂
ì
î
í
ï
ï
ï
ï
(1)
2电㊀机㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第27卷㊀
此处将式(1)中S w i 的通断状态与控制信号u i 的
状态逐一对应,可将式(1)中的系统数学模型统一表示为如下形式:
d i L i
d t =1L i
(u i E -v O );d v O d t =1C i
i C i ㊂üþýï
ïïï(2)
1.2㊀系统主从均流SM 控制器设计
考虑到线性滑模(linear sliding mode,LSM)设计结构简单㊁参数调节方便,在实际工程上被广泛应用,故将基于LSM 设计系统的主从均流控制器,通过主从相u i 的调节,以实现对并联Buck 变换器系统的均流控制,即i Ri =v O /(nR ),其具体设计原理如图2所示
㊂
图2㊀并联Buck 变换器主从均流控制原理图
Fig.2㊀Schematic diagram of master-slave current sharing control for parallel Buck converter
㊀㊀图2中,电路第一相为主相,其余相为从相㊂以变换器输出误差为参考量㊂可定义如下状态变量
x 1i =v O -V ref ;x 2i =x
㊃
1i
=v ㊃O
㊂
}
(3)
其中:x 1i 为系统输出电压偏差;x 2i 为其一阶导数;V ref >0为输出参考电压值㊂将式(2)代入到式(3)中,可得系统的状态空间方程
x ㊃
i =A i x i +b i u i +f i ㊂(4)
其中,状态变量x i =[x 1i ,x 2i ]T ,系统矩阵A i ㊁b i 和f i 分别为
A i =01-1L i C i -1nRC i éëêêêùû
úúú;b i =0E L i C i éëêêêùûúúú;f i =0-V ref L i C i éëêêêùûú
úú
㊂
(5)
由式(4)可设计并联Buck 变换器LSM 主从均流控制系统的滑模面为
s i =λi x 1i +x 2i ㊂
(6)其中:s i 表示第i 相LSM 的滑动变量;λi >0为滑模面参数,通过在合适范围内调节λi 可改变s i 的收敛速度,进而影响系统输出稳态误差㊂
对于LSM 控制律u i 的设计,通常分为等效控制律u eq i 和切换控制律u N i 两部分,前者负责将系统状态驱赶到预设滑模面s i =0上,后者保证系统状态
能够沿着s i 收敛到原点㊂由式(4)知,控制律隐藏在系统状态变量的一阶导数中,故对s i 求导可得
s ㊃i
=-
1L i C i x 1i +λi -1nRC i
()
x 2i +E
L i C i u i -V ref L i C i ㊂(7)
由于理想u eq i 能够使系统状态迅速抵达s i =0,
且过程s i 基本保持不变,故由s ㊃
i |
u eq i
=0可得u eq i 为
u eq i =
1
E x 1i -L i C i E λi -1nRC i
(
)
x 2i +V ref E ㊂(8)结合式(1)中系统的开关特性,可设计u N i 为u N i =-ηi sgn(s i )㊂
(9)
其中ηi >0表示切换增益㊂
由式(8)和式(9)可得LSM 控制律u i 为
u i =d i =u eq i +u N i ㊂
(10)
其中d i 表示并联Buck 变换器开关占空比,由文献[15]可知u i 与d i 等效㊂且在实际工程应用中,常利用PWM 调制技术对d i 调制以实现u i 的 1 ㊁ 0 形式㊂故理论分析中可认为u i 与d i 二者等效㊂
2㊀系统的均匀量化设计
由于并联BUCK 变换器的主从均流控制器实际中无法处理无限字长数据,需对其进行量化分析㊂下面先给出一般非线性系统均匀量化的理论方法㊂
3
第10期王艳敏等:并联DC-DC 变换器网络控制系统的信号量化研究
2.1㊀系统的均匀量化理论
本文这里认为系统工作环境理想,无信号传输
延时,则考虑量化的系统控制结构如图3所示
㊂
图3㊀非线性系统的量化控制结构图
Fig.3㊀Quantitative control structure diagram for gen-eral nonlinear systems
图3中,ψ(t )=[ψ1(t )ψ2(t ) ψn (t )]ɪ
ℝn 为系统的输出状态,ψi (t )(i ɪ1,2, ,n )表示系统n 维状态变量㊂在忽略图中传感器的离散采样作
用对系统输出信号影响的情况下,可认为ψ(t )即为量化器的输入信号;ψ~
(t )和u ~
(t )分别为连续时间下的量化状态与由ψ(t )所得到的控制信号㊂
考虑到控制系统的模数转换(ADC)过程一般采用均匀量化的方式,且均匀量化方法下的系统收敛特性与响应时延更佳[14],故本文这里使用均匀量
化器对系统进行量化处理㊂以一维系统状态空间为例,均匀量化器将连续的输入信号等间隔分割成若干份,且每一分割份的中点处被定义为跳变点,不到中点处和超过中点处的部分分别被量化到前一和后一分割份的量化值中,具体如图4所示
㊂
图4㊀均匀量化器的输入输出特性
Fig.4㊀Input-output characteristics of uniform quantizer
图4中,l >0为量化步长,即量化过程按l 长度间隔分割㊂实际工程中,l 的大小通常由ADC 的精度决定㊂由图4中的量化特性可得均匀量化器模型为
ψ~
(t )=l ㊃round ψ(t )l
()
㊂
(11)
其中round(㊃)函数用于对输入数值作四舍五入处理㊂根据其处理原则,可将式(11)重写为ψ~
(t )=ql ,ψ(t )ɪ(2q -1)l 2,
(2q +1)l 2[
)
;0,ψ(t )ɪ-l 2,l 2(
)
;
-ql ,-ψ(t )ɪ(2q -1)l 2,(2q +1)l 2
[)
㊂ìîíïï
ïï
ïï(12)
其中,q 为正整数,帮助调节l 以保证较好的量化输出精度㊂式(12)与图4很好地对应,且由其可得到均匀量化器的绝对量化误差为
|e ψ|=|ψ~
i (t )-ψi (t )|=
l ㊃round
ψi
(t )l ()-ψi
(t )ɤl 2㊂
(13)
通过均匀量化处理,将连续时间下的系统状态空间ψ(t )划分成若干个量化区域,且每个量化区域的量化状态值固定㊂由此随着时间的变化,系统状态会从一个固定的量化状态直接跳转到另一个,即在幅值上不再连续㊂图5给出了一维到三维系统状态空间的均匀量化情况㊂
由图5可知,当状态呈一维空间时,ψ1被均匀量
化成长度为l 的等份区域且量化值取其中点;当状态呈二维空间时(对应本文所研究的并联Buck 变换器系统),相平面(ψ1,ψ2)被均匀量化成面积为l 2的等份区域且量化值取其中心;当状态呈三维空间
时,状态空间(ψ1,ψ2,ψ3)被均匀量化成体积相为l 3的等份区域且量化值取其几何中心㊂
2.2㊀变换器的主从均流SM 控制器的量化设计
首先考虑加入均匀量化器后的系统方程变为
x ㊃
i =A i x i +b i u ~i +f i ㊂
(14)
其中:u ~
i 是利用均匀量化系统状态x ~
i =[x ~
1i ,x ~
2i ]T
所得到的控制律;x i 是系统在u ~
i 作用下的输出状
态㊂可定义系统的量化误差e xi =[e x 1i ,e x 2i ]T 为
e x 1i =x ~1i -x 1i ;
e x 2i =x ~
2i -x 2i ㊂
}
(15)
再考虑均匀量化器对系统SM 控制器的量化效应,式(6)和式(10)可分别重写为
s ~
i =c i x ~i ;
(16)u ~
i =u ~
eq i +u ~
N i ㊂
(17)
其中c i =[λi ,1]㊂且u ~
eq i 和u ~
N i 分别为
4
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u ~
eq i =-(c i b i )-1c i (A i x ~
i +f i );
(18)u ~
N i =-ηi sgn(s ~
i )㊂
(19)
将系统均匀量化后得到的控制律u ~
i 代入式(7)中可得
s ㊃i
=c i (A i x i +b i u ~i +f i )=
c i A i x i +c i b i (u ~
eq i +u ~
N i )+c i f i =c i A i x i -c i A i x ~
i -ηi c i b i sgn(s ~i )㊂
(20)
由式(20)可知,量化误差通过u ~
eq i 和u ~
N i 被引入
到控制系统中,进而对系统的滑模面产生影响
㊂
图5㊀均匀量化器对系统状态空间的划分情况Fig.5㊀Partition of system state space by uniform
quantizer
2.3㊀系统稳定性分析
式(13)表明均匀量化器的引入会带来不超过l /2的量化误差,下面将基于系统的输出误差具体
分析该量化误差对系统LSM 控制器稳定性的影响㊂
根据均匀量化器的量化误差特性式(15),再结合式(13)可得到系统SMC 的量化绝对误差为
|s ~
i -s i |=|c i x ~
i -c i x i |=|λi e x 1i +e x 2i |ɤ
(1+λi )l i
2
㊂(21)
其中l i 为并联Buck 变换器系统每一相的量化步长㊂
对式(21)的两边同时平方,可知当|s i |ȡ(1+λi )l i /2时,有s i s ~
i ȡ0即满足sgn(s i )=sgn(s ~
i );反
之,可能会出现sgn(s i )ʂsgn(s ~
i )㊂且由式(20)可知,量化误差分别被u ~
eq i 和u ~
N i 引入到了SMC 的到达阶段与滑动阶段,且在两阶段中,s i s ~
i ȡ0与
s i s ~
i <0的情况均会出现㊂因此可分收敛阶段对系统稳定性来作分析㊂
1)到达阶段:设系统的初始值点处于|s i |ȡ
(1+λi )l i /2的区域中,此时满足sgn(s i )=sgn(s ~
i ),将其代入到式(20)中有
s ㊃i
=c i A i x i -c i A i x ~
i -ηi c i b i sgn(s i )=
-c i A i e xi -ηi c i b i sgn(s i )㊂
(22)
由式(13)可得式(22)中c i A i e xi 项的上界为|c i A i e xi |=|c i A i x i -c i A i x ~
i |ɤc i A i l i
2
㊂(23)
其中l i =[l i ,l i ]T ㊂
为进一步验证含均匀量化器的SMC 系统的稳定性,引入Lyapunov 函数V i =0.5s 2i ,且其导数为
V ㊃
i =s i s ㊃
i =-c i A i e xi s i -ηi c i b i |s i |㊂
(24)
由Lyapunov 稳定性定理,为保证V ㊃
i ɤ0,结合
式(23)㊁式(24)及ηi >0,可得系统稳定条件为
ηi >(c i b i )-1|c i A i l i |
2
=
l i
2E 1+L i C i λi -1nRC i
(
)㊂
(25)
而当系统状态进入到|s i |<(1+λi )l i /2区域
时,可能会出现sgn(s i )ʂsgn(s ~
i )的情况,同样代
入到式(20)可得系统的动态特性为
s ㊃
i
=c i A i x i -c i A i x ~
i +ηi sgn(s i )=
-c i A i e xi +ηi sgn(s i )㊂
(26)
此时不再满足式(25)中的稳定性条件,系统不
再单调收敛,直到系统状态再次进入到|s i |ȡ(1+λi )l i /2区域㊂由此可划分出含均匀量化器的SMC
系统的工作状态区域,如图6所示㊂
5
第10期
王艳敏等:并联DC-DC 变换器网络控制系统的信号量化研究
图6㊀含均匀量化器的SMC 系统工作状态区域划分Fig.6㊀Working state region division of SMC system
with uniform quantizer
在图6中,系统状态会在两个区域之间不断运动,由于|s i |ȡ(1+λi )l i /2区域具有稳定性且分布在|s i |<(1+λi )l i /2的两边,包含的区域面积更多,所以系统状态虽然在区域间不断运动,但最终会到达所预设的滑模面s i ,由此完成到达阶段的收敛
运动㊂
2)滑动阶段:当系统状态在两个量化区域边界
运动时,由于量化状态固定,因此控制信号会发生跳变㊂所以在均匀量化器的作用下,系统状态会在与滑模面相交的量化区域边界上发生与传统滑模相同的滑动,如图7所示
㊂
图7㊀量化后的SMC 系统状态轨迹示意图Fig.7㊀Schematic diagram of SMC system state trajec-tory after uniform quantization
在图7(a)中,设初始状态值点设为(-8l i ,0),
由式(25)的稳定条件可设计λi 为1.8l i ,ηi 为15l i ㊂当系统状态第一次达到滑模面s i =0时,如图7(b)
所示,其交点为F ,对应的量化状态L F 为x ~
F =(x ~
1F ,x ~
2F )=(-4l i ,7l i )㊂在FN 1阶段,由于状态点仍处
于L F 的量化区域中,因此量化状态x ~
i 未发生变化,
即控制信号u ~
i 不变㊂但由于此时x F 已位于s i =0
之上,而x ~
F 位于s i =0之下,则有sgn(s i )ʂsgn(s ~
i ),故此时系统状态不会沿s i =0方向收敛;当系统状态到达点N 1后,对应的x ~
N 1=(-3l i ,7l i ),由于x ~N 1
与x N 1均位于s i =0之上,故有sgn(s i )=sgn(s ~
i ),此时系统状态沿s i =0方向收敛;由此直到N 3N 4阶段,
点L 2和点L 3分别位于s i =0两侧,且在L 2侧有sgn(s ~
i )=1,而L 3侧为sgn(s ~
i )=-1㊂因此系统状
态会在u ~
Ni 的作用下于L 2和L 3所处量化区域的交界处滑动,G 1N 4为SMC 系统量化后的第一个局部滑动面,可表示为
x 2i =
x ~
2L 2+x ~
2L 3
2
,x 1i ɪx ~
1L 2-
l i 2,x ~1L 2+l
i 2
[
)
㊂(27)
同理,若系统状态在x 1i 为定值的边界处发生滑
动,即N 4G 2所示轨迹,则该局部滑动面可表示为x 1i =
x ~
1L 3+x ~
1L 4
2
,x 2i ɪx ~
2L 3-
l i 2,x ~2L 3+l
i 2
[
)
㊂(28)
由于x ㊃
1i =x 2i 的存在,使得系统不可能在x 1i 的
边界处发生滑动,即系统的局部滑动面仅存在于平行于x 1i 轴的两量化区域交界处㊂
死区阶段:当系统状态进入到x DBi ɪ{(x 1i ,x 2i )|
-l i /2<x 1i <l i /2,-l i /2<x 2i <l i /2}的区域时,
对应x ~
i =0,则u ~
i =0,因此控制器无法使用,即存
在控制死区㊂如果系统在u ~
i =0时能够保持稳定,由式(16)与式(20)可知系统状态仍然能够在之前u ~
i 的约束惯性下收敛到原点附近[7];但若此时系统
在受|s i |<(1+λi )l i /2区域的影响下不再稳定,则
其状态会离开x DBi ,在离开后,即有x ~
i ʂ0,则u ~
i ʂ
0,所以系统状态又会重新回到死区㊂这就意味着系统状态轨迹会围绕在x DBi 的边界上不断抖动,从而形成极限环㊂
6电㊀机㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第27卷㊀
通过上述分析可知,量化步长l i 与系统不稳定区域和系统极限环的大小均成正比,进而直接影响系统的稳态误差的大小㊂
3㊀均匀量化系统的离散化效应
考虑到实际工程中采用数字控制器来实现对系统的调控㊂因此本文将对所提出的基于SMC 的均匀量化系统进行离散化分析,以增强其实用性㊂3.1㊀均匀量化系统的离散化设计
本文这里利用零阶保持器(zero-order holder,
ZOH)对式(14)所示系统进行离散化处理[3],从而得到其离散化表达式为
x i (k +1)=Φi x i (k )+Γi u ~
i (k )+Λi ㊂(29)
其中:x i (k )和u ~
i (k )分别表示x i (kh )和u ~
i (kh ),h
为采样周期且0<h <<1,由于h 设定后不变,故可在上式中简便表达;矩阵Φi ㊁Γi ㊁Λi 的表达式分别为:
Φi =e
A i h
=I +
ʏh
e
A i τ
d τA i =
I +A i h +A 2i h 22!+O (h 3
);Γi =ʏ
h
e A i τd τb i =b i h +A i b i h 22!+O (h 3
);Λi =ʏ
h
e A i τd τ
f i =f i h +A i f i h 22!+O (h 3)㊂üþýï
ï
ïï
ï
ïï
ïï
ï(30)
其中O (h 3)为h 的三阶无穷小㊂同样利用ZOH 对式(16)中已量化的LSM 进行离散化处理,可得
s ~i (k )=c i x ~
i (k )=λi x ~
1i (k )+x ~
2i (k )㊂(31)
其中,x ~
i (k )=[x ~
1i (k ),x ~
2i (k )]T 为x i (k )的均匀量化值㊂进一步由式(18)与式(19)可得u ~
eq i (k )和u ~
Ni (k )为
u ~
eq i (k )=-(c i b i )-1c i (A i x ~
i (k )+f i );(32)
u ~
Ni (k )=-ηi sgn(s ~i (k ))㊂
(33)
综合式(32)与式(33)可得离散控制律
u ~
i (k )为
u ~
i (k )=u ~
eq i (k )+u ~
Ni (k )㊂
(34)
进一步将式(34)代入式(29)中,联立式(2)与式(3)可获得滑模变量一阶导数的表达式为
x i (k +1)=(Φi -Γi (c i b i )-1c i A i )x i (k )-Γi (c i b i )-1c i A i e xi (k )-ηi Γi (c i b i )-1sgn(s ~
i (k ))㊂
(35)
其中,e xi (k )=x ~
i (k )-x i (k )=[e x 1i (k ),e x 2i (k )]T 为离散系统量化误差㊂
由式(30)可知,矩阵Φi 和Γi 均为h 的函数,由此可定义Γi =b i [r 1i (h ),r 2i (h )]T ,且有
r 1i (h )=0.5h 2+O (h 3);
r 2i (h )=h -0.5a 2i h 2
+O (h 3
)㊂
}
(36)
其中:b i =E /(L i C i );a 1i =1/(L i C i );a 2i =1/(nRC i )㊂由此可将Φi 也重新表示为
Φi =1-a 1i r 1i (h )r 2i (h )
-a 1i r 2i (h )
1-a 1i r 1i (h )-a 2i r 2i (h )éëêê
ùû
úú㊂
(37)
由此,将式(36)与式(37)代入到式(35)中,可将离散闭环量化控制系统重新表示为:
x 1i (k +1)=x 1i (k )+(r 2i -(λi -a 2i )r 1i )x 2i (k )+a 1i r 1i e x 1i (k )+(a 2i -λi )r 1i e x 2i (k )-ηi r 1i sgn(s ~
i (k ));x 2i (k +1)=(1-a 1i r 1i -λi r 2)x 2i (k )+
a 1i r 2i e x 1i (k )+(a 2i -λi )r 2i e x 2i (k )-ηi r 2i sgn(s ~i (k ))㊂
ü
þýï
ï
ï
ïïïï
ï
ï(38)
进一步可将式(38)改写为:y 1i (k +1)=y 1i (k )+z i (k )-
(λi r 1i +r 2i )ηi sgn(y ~1i (k ));
y 2i (k +1)=(1-a 1i r 1i -λi r 2i )y 2i (k )+a 1i r 2i
λi
e y 1i (k )+a 2i -λi -a 1i λi
()
r 2i e y 2i (k )-ηi r 2i sgn(y ~1i (k ))㊂üþýï
ïïïïï
ï
ï(39)
其中:y 1i (k )=λi x 1i (k )+x 2i (k );y 2i (k )=x 2i (k );y ~
1i (k )=λi x ~
1i (k )+x ~
2i (k );e y 1i (k )=y ~
1i (k )-y 1i (k )=λi e x 1i (k )+e x 2i (k );e y 2i (k )=e x 2i (k );且z i (k )如下:
z i (k )=(λi a 2i -λ2i -a 1i )r 1i y 2i (k )+
a 1i r 1i +
r 2i
λi (
)
e y 1i
(k )+(λi a 2i -λ2i -a 1i )r 1i +
r 2i
λi (
)
e y 2i
(k )㊂(40)
根据式(13)可求出|e x 1i (k )|ɤl i /2和|e x 2i (k )|ɤ
l i /2,由此可得式(38)中量化误差项的上界为:
7
第10期王艳敏等:并联DC-DC 变换器网络控制系统的信号量化研究
χ1i (k )=a 1i r 1i +
r 2i
λi (
)
e y 1i
(k )+(λi a 2i -λ2
i -a 1i )r 1i +r 2i λi ()
e y 2i (k )ɤ
a 1i r 1i +r 2i λi
(
)
(λi +1)+
[(λi a 2i -λ2i -a 1i )r 1i +r 2i
λi ()]l i 2=X 1i ;χ2i (k )=a 1i r 2i λi e y 1i (k )+a 2i -λi -a 1i
λi
(
)
r 2i e y 2i (k )ɤa 1i r 2i λi
(λi +1)+[
a 2i -λi -a 1i
λi
(
)r 2i ]
l i 2=X 2i ㊂üþýïïï
ïï
ï
ïïï
ïï
ï
ï
ïï
ï
ïïïï(41)
其中:χ1i (k )和χ2i (k )为式(39)中的量化误差项;X 1i 和X 2i 分别为其对应的上界㊂
3.2㊀离散化系统稳定条件分析
为进一步考察离散化对含均匀量化器系统连续性的影响,下面将对3.1小节中所设计的离散化系统进行稳定性分析㊂
考察式(39)中的系统输出状态变量,对较为简单的y 2i (k +1),结合式(41)可得其上界为|y 2i (k +1)|ɤ|1-a 1i r 1i -λi r 2i ||y 2i (k )|+
X 2i +|ηi r 2i |㊂
(42)
对式(42)分情况讨论:当|1-a 1i r 1i -λi r 2i |<1时,由于系统参数均有界,则有|y 2i (k )|ɤΩ,其中Ω为y 2i (k )的边界常数;当|1-a 1i r 1i -λi r 2i |=1时,无法确定Ω的上界,故无法确认y 2i (k )是否收敛;当|1-a 1i r 1i -λi r 2i |>1时,同样无法确定y 2i (k )是否
收敛㊂由此可得|1-a 1i r 1i -λi r 2i |<1是含均匀量化器的离散化系统的重要稳定条件之一,且后续分析都建立在此条件上㊂
下面分析较为复杂的y 1i (k +1),由式(39)可知式(40)为y 1i (k +1)中的关键项,结合式(41)可得
|z i (k )|ɤ|(λi a 2i -λ2i -a 1i )r 1i ||y 2i (k )|+X 1i =H i ㊂
(43)
其中H i 为z i (k )的上界常数㊂
由于λi 和ηi 均大于0,故可得(λi r 1i +r 2i )ηi >
0㊂且由图7可知,sgn(s i )=sgn(s ~
i )占绝大多数系
统状态区域,由此可将式(39)中的y 1i (k +1)重新表示为
y 1i (k +1)=y 1i (k )+z i (k )-
(λi r 1i +r 2i )ηi sgn(y 1i (k ))㊂
(44)
同样对式(44)进行分类讨论:若y 1i (j )ȡ0(j =
0,1,2, ,k -1),则有y 1i (k +1)=y 1i (0)+
ðz i (j )
-(λi r 1i +r 2i )ηi ,因此若H i <(λi r 1i +
r 2i )ηi ,则存在k 0使得y 1i (k 0)ȡ0,而y 1i (k 0+1)<
0,即y 1i (k 0)<(λi r 1i +r 2i )ηi -z i (k 0);若y 1i (0)<0,则存在一点k 1使得y 1i (k 1)<0,而y 1i (k 1+1)ȡ0,若H i <(λi r 1i +r 2i )ηi ,则有-(λi r 1i +r 2i )ηi -z i (k 1)ɤy 1i (k 1)<0㊂
由此可知,当系统到达点k 0或k 1对应的状态之
后,其会进入到符号函数的切换运动中,进而使得|y 1i (k )|ɤH i +(λi r 1i +r 2i )ηi ㊂因此,当z i (k )的上
界满足H i <(λi r 1i +r 2i )ηi 时,|y 1i (k )|终会收敛到2(λi r 1i +r 2i )ηi 内㊂综上所述,可得离散量化系统的稳定条件为:
|1-a 1i r 1i -λi r 2i |<1;
|(λi a 2i -λ2i -a 1i )r 1i ||y 2i (k )|+X 1i <(λi r 1i +r 2i )ηi ㊂
}
(45)
且结合式(39)与式(45),进一步可得离散系统状态x 1i (k )和x 2i (k )的最终收敛区域为:lim k ңɕ|x 1i (k )|ɤlim
k ңɕ
1
λi
|y 1i (k )-x 2i (k )|ɤlim k ңɕ1
λi
(|y 1i (k )|+|x 2i (k )|)ɤ1
λi
[
2(λi r 1i +r 2i )ηi +X 2i +|ηi r 2i |
1-|1-a 1i r 1i -λi r 2i |]
;lim k ңɕ|x 2i (k )|=lim k ңɕ
|y 2i (k )|ɤ
X 2i +|ηi r 2i |1-|1-a 1i r 1i -λi r 2i |
㊂üþýïïïïïïïïïï
ï
ïïï
ï(46)
4㊀仿真分析与实验验证
下面将验证本文所设计的含均匀量化器的并联BUCK 变换器系统的稳定性能㊂这里以三相并联BUCK 变换器为例进行分析,其电路参数如表1所示㊂
8
电㊀机㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第27卷㊀
表1㊀三相并联Buck 变换器电路参数
Table 1㊀Circuit parameters of the three-phase parallel
Buck converter
㊀㊀电路参数数值直流输入电压源E /V 20滤波电容C i /mF 1滤波电感L i /mH
1负载电阻R /Ω10参考输出电压V ref /V 10
4.1㊀连续域下量化步长对系统影响仿真分析
由式(25)可知,含均匀量化器的并联Buck 变换器系统SMC 系统的稳定性同时受电路参数㊁控制器参数和量化器参数三者影响㊂因此这里设计控制器的切换增益ηi =0.01㊁SMC 控制参数λi =50㊂则由式(25)可得,当均匀量化器的量化步长l i <0.4时,系统稳定㊂因此下面分别选取l i 为0.2㊁0.4和
0.7进行对比分析,仿真结果如图8所示㊂图中的黑色点划线之间表示|s i |ɤ(1+λi )l i /2区域
㊂图8㊀连续域下不同量化步长下的系统状态轨迹图Fig.8㊀System state trajectory diagram under different
quantization step size
由图8(a)所示的系统状态轨迹可知,当量化步
长l i =0.1时,含均匀量化器的SMC 系统状态轨迹近似于无量化器下的理想SMC 系统㊂且由图8(b)的局部放大图可知,当系统状态到达滑模面s i =0之后会收敛到|s i |ɤ(1+λi )l i /2区域内,即表明此
时的系统可以稳定工作㊂
且当系统状态沿着与s i =0相交且平行于x 1i 轴
的量化区域边界发生滑动,滑动面会呈现为分段形式;当l i =0.4时,虽已不满足式(25)中的稳定条件,但由图8(c)与8(d)可知,系统状态仍能够收敛到|s i |ɤ(1+λi )l i /2区域内,且系统可保持稳定工作;而l i =0.7时,由图8(e)可知,系统状态已无法收敛在|s i |ɤ(1+λi )l i /2区域内,此时系统不稳定㊂根据图8(f)的局部放大图可知,系统状态(x 1i ,x 1i )最终收敛在(-2.6,0)附近并形成极限环,而该收敛范围正好超出了死区范围x DBi ɪ{(x 1i ,x 2i )|-0.35<x 1i <0.35,-0.35<x 2i <0.35},控制系统
仍然有效发挥作用,这与第2.3小节中的分析一致㊂由上述结果分析可知,式(25)中不等号右侧表示系统的临界稳定条件值,且当系统参数满足式(25)时,系统状态轨迹会随着量化步长l i 的减小而越接近于理想状态轨迹㊂
4.2㊀离散域下的采样周期和量化步长对系统影响
仿真分析
㊀㊀这里使系统参数与4.1中保持一致,根据式(46),当采样周期h <1.95ms 且量化步长l i <
0.38时,系统可收敛㊂故下面分不同选值情况对系统稳定性进行仿真分析,以此验证本文所设计的离散均匀量化SMC 系统的有效性㊂
1)当h =0.1ms,l i 分别为0.2与0.4时,离散量化系统状态轨迹如图9(a )和图9(b )所示㊂图9(a)中,l i 满足稳定性条件,系统状态收敛,但是同连续域下的图8(a)相比,系统的稳态性能有所降低;在图9(b)中,l i 不满足稳定性条件,与图9(a)相比,系统状态(x 1i (k ),x 1i (k ))沿滑模面s i =0的滑动性较差,但最终收敛在死区{-0.2<x 1i (k )<
0.2,-0.2<x 2i (k )<0.2}之外的(-1.06,0)区域附近并形成极限环,与连续域下的图8(e)相似㊂这表明离散后的均匀量化系统虽然一定程度上牺牲了系统的稳态性能,但拥有强鲁棒性的SMC 仍能在系
统的l i 不满足稳定性条件时起到很好的控制作用㊂
2)当l i =0.2,取h 分别为1ms 与2ms 时,离散
量化系统状态如图9(c)和图9(d)所示㊂图9(c)
中,当采样周期h =1ms 满足稳定性条件时,系统状
态收敛,但收敛效果相比图9(a)较差;图9(d)中,当h 不满足稳定性条件时,系统状态(x 1i (k ),x 1i (k ))收敛在死区{-0.1<x 1i (k )<0.1,-0.1<x 2i (k )<0.1}之外的(-2.1,0)附近㊂由此可知,h
过大会导致离散量化系统不稳定,且在满足式(46)的
9
第10期王艳敏等:并联DC-DC 变换器网络控制系统的信号量化研究
稳定条件下,h 越小时,系统状态的收敛性能越好
㊂
图9㊀离散域下不同量化步长与采样时间的系统状态轨迹Fig.9㊀System state trajectories with different quantiza-tion steps and sampling times in discrete domain
4.3㊀均匀量化SMC 系统输出性能仿真分析
下面在4.1与4.2小节的基础上,给出系统的输出电压v O 与各相电流i Li 波形与性能参数,如图10与表2所示㊂
表2㊀含均匀量化器系统的输出性能Table 2㊀Output performance of the system with
uniform quantizer
系统参数l i /(h /ms)输出电压v O 稳态误差/V |收敛时间/s 输出电流i Li (i =1,2,3)
稳态误差/A |收敛时间/s
0.1|-0.045|0.0760.002|0.002
0.4|-0.201|0.080-0.7|- 2.603|0.250-0.2|0.10.061|0.3110.018|0.098
0.4|0.10.243|0.256-0.2|1.0 1.402|0.253-0.2|2.0 2.113|0.154
-
在连续域下,如图10(a),当l i 满足稳定条件时
(l i <0.4),v O 随着l i 的减小而越接近非量化的理想
值,由表2可知,当l i =0.1时,v O 的稳态误差仅为
0.045V,收敛时间仅为0.076s;当l i =0.7时,不满足稳定条件,v O 到0.250s 时才稳定,且稳态误差达到2.603V,对应图8(e)中系统不再有效收敛的情况㊂故这里选取l i =0.1的较优步长,考察连续域中系统各相输出电流波形,如图10(c)所示,可见无论量化前后,各相输出电流波形均稳定在0.333A 附近,且量化稳态误差仅为0.002A,表明均匀量化SMC 系统起到了很好的均流控制效果㊂在离散域
下,如图10(b),稳定条件内的l i 与h 越小,系统输出v O 的性能越好,在表1中,当l i =0.2,h =0.1ms 时,v O 的稳态误差仅为0.061V,收敛时间仅为0.311s㊂故选取l i =0.1,h =0.1ms,得到离散域下系统各相输出电流波形如图10(d)所示,同样各相电流在均匀量化SMC 作用下被很好地均流,且离散后的稳态误差仅为0.018A,且在0.098s 内迅速收敛,离散效果较好
㊂
图10㊀含均匀量化器的并联Buck 变换器系统输出性能Fig.10㊀Output performance of parallel Buck converter
system with uniform quantizer
01电㊀机㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第27卷㊀
4.4㊀离散域下均匀量化系统输出性能实验验证
同样以三相并联Buck 变换器为例,电路参数如表1所示,基于Dspace1106搭建如图11所示的半实物仿真平台,设计切换控制项增益ηi =0.01,滑模面参数选为λi =600,PWM 调制频率为12.5kHz,
实验波形与数据结果如图12与下表3所示
㊂图11㊀并联Buck 变换器控制系统实验平台Fig.11㊀Experimental platform of parallel Buck con-verter control system
图12(a)是固定采样周期h =0.1ms,验证不同量化长度l i 对系统输出电压v O 的影响㊂结合表3可知,三条曲线的响应速度基本都能在0.117s 左右达到稳态,但v O 的稳态误差却随着l i 的增加而变差㊂当l i 在满足稳定条件范围内变化时,系统输出稳态误差基本稳定在0.4V 以内,且当l i 取最佳值0.1时,稳态误差达到最小,仅为0.21V;当l i 超出稳定范围取0.7时,输出v O 呈现明显波动,且输出稳态误差达到了0.53V,与4.3小节中的仿真结果一致㊂
图12(b)是固定量化步长l i =0.1,验证不同采
样周期h 对系统输出电压v O 的影响㊂结合表3可知,随着h 由1ms 增至4ms,系统输出v O 的稳定时间由0.119ms 增至0.135ms,稳态误差由0.37V 增至0.82V,可见h 的变化同时影响系统的暂态及稳态性能,且当h 取值越小,系统输出性能越优,这同样证明了4.3小节中的仿真结果㊂
取h =0.1ms㊁l i =0.1,得到并联Buck 变换器
系统三相输出电流波形如图12(c)所示,结合表3
可知,图中三相输出电流均稳定在0.333A 处,稳态误差均保持在0.008A 左右,由此证明经离散后的均匀量化控制器可以保证系统较好的均流输出特性,也验证了本文设计的均匀量化控制器及其离散化研究的正确性
㊂
图12㊀并联Buck 变换器系统输出性能实验波形Fig.12㊀Experimental results of output performance of
parallel Buck converter system
表3㊀并联Buck 变换器系统输出性能实验结果Table 3㊀Experimental results of output performance of
parallel Buck converter system
系统参数l i /(h /ms)输出电压v O 稳态误差/V |收敛时间/s 输出电流i Li (i =1,2,3)
稳态误差/A |收敛时间/s
0.1|0.10.21|0.1170.008|0.117
0.4|0.10.40|0.118-0.7|0.10.53|0.117-0.1|1.00.37|0.119-0.1|2.00.57|0.122-0.1|4.0
0.82|0.135
-
5㊀结㊀论
本文针对用于电能路由器的并联DC /DC 变换
1
1第10期王艳敏等:并联DC-DC 变换器网络控制系统的信号量化研究。