湖北省孝感市高级中学2016届高三下学期4月调考数学试卷(文科)Word版含解析
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2015-2016学年湖北省孝感市高级中学高三(下)4月调考数学
试卷(文科)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)
1.设集合A={x|1≤x≤2},B={x|x≥a}.若A⊆B,则a的范围是()
A.a<1 B.a≤1 C.a<2 D.a≤2
2.已知向量=(1,cosθ)与=(2cosθ,1)平行,则cos2θ等于()
A.﹣1 B.0 C.D.
3.在等差数列{a n}中,首项a1=0,公差d≠0,若a m=a1+a2+…+a9,则m的值为()A.37 B.36 C.20 D.19
4.已知<<0,则下列结论不正确的是()
A.a2<b2B.ab<b2C. +>2 D.|a|+|b|>|a+b|
5.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是()
A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a
6.已知,则下列结论中正确的是()
A.函数y=f(x)•g(x)的周期为2
B.函数y=f(x)•g(x)的最大值为1
C.将f(x)的图象向左平移个单位后得到g(x)的图象
D.将f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)的图象
7.等比数列{a n}中,a5=2,a6=5,则数列{lga n}的前10项的和为()
A.4 B.5 C.6 D.7
8.已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则的最小值是()
A.2 B.2C.4 D.2
9.已知函数(α∈[0,2π))是奇函数,则α=()
A.0 B.C.πD.
10.已知等差数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*),且a n=2n+λ,若数列{S n}在n≥7时为递增数列,则实数λ的取值范围为()
A.(﹣15,+∞)B.[﹣15,+∞)C.[﹣16,+∞)D.(﹣16,+∞)
11.设f(x)=,若S=f()+f()+…+f(),则S=()A.1005 B.1006 C.1007 D.1008
12.定义在(0,)上的函数f(x),f′(x)是它的导函数,且恒有f(x)<f′(x)tanx 成立,则()
A.f()>f() B.f(1)>2f()•sin1 C.f()>f()
D.f()>f()
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)
13.函数f(x)=的图象与函数g(x)=ln(x+1)的图象的交点的个数是.
14.若不等式|a﹣2|≤|x+|对一切非零实数x恒成立,则实数a的最大值是.
15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1,1,2,3,5,8,13,…其中从第三个数起,每一个数都等于他前面两个数的和.该数列是一个非常美丽、和谐的数列,有很多奇妙的属性,比如:随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887.人们称该数列为{a n}
“斐波那契数列”,若把该数列{a n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序
组成新数列{b n},在数列{b n}中第2015项的值是.
16.如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上(含原点)
上滑动,则的最大值是.
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(I)求角A的值;
(Ⅱ)若角B=,BC边上的中线AM=,求边b.
18.数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a n
=2S n+1,数列{b n}为等差数列,且b3=3,b5=7.
+1
(Ⅰ)求数列{a n},{b n}的通项公式;
(Ⅱ)若对任意的恒成立,求实数k的取值范围.
19.我县有甲,乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元;乙家按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元,超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.
(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40),在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40).试求f(x)和g(x);
(2)问:小张选择哪家比较合算?为什么?
20.已知a∈R,函数
(1)判断函数f(x)在(0,e]上的单调性;
(2)是否存在实数x0∈(0,+∞),使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直?若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由.
21.已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),点P是点F关于y轴的对称点,过点P的直线交抛物线于A,B两点.
(1)试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T,使得TA,TB与x轴所在的直线所成的锐角相等,若存在,求出定点T的坐标,若不存在说明理由.
(2)若△AOB的面积为,求向量的夹角.
22.已知函数f(x)=|x+a|﹣|x+3|,a∈R.
(Ⅰ)当a=1时,解不等式f(x)≤1;
(Ⅱ)若x∈[0,3]时,f(x)≤4恒成立,求实数a的取值范围.
2015-2016学年湖北省孝感市高级中学高三(下)4月调
考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)
1.设集合A={x|1≤x≤2},B={x|x≥a}.若A⊆B,则a的范围是()
A.a<1 B.a≤1 C.a<2 D.a≤2
【考点】集合的包含关系判断及应用.
【分析】根据题意,A⊆B,在数轴上表示集合A,分析a的值,可得答案.
【解答】解:根据题意,A⊆B,
而A={x|1≤x≤2},在数轴上表示可得,
必有a≤1,
故选B.
2.已知向量=(1,cosθ)与=(2cosθ,1)平行,则cos2θ等于()
A.﹣1 B.0 C.D.
【考点】平面向量数量积的运算;二倍角的余弦.
【分析】运用向量共线的坐标表示及二倍角的余弦公式,即可计算得到.
【解答】解:向量=(1,cosθ)与=(2cosθ,1)平行,
则1=2cos2θ,
即有cos2θ=2cos2θ﹣1=0,
故选B.
3.在等差数列{a n}中,首项a1=0,公差d≠0,若a m=a1+a2+…+a9,则m的值为()A.37 B.36 C.20 D.19
【考点】数列的求和;等差数列.
【分析】利用等差数列的通项公式可得a m=0+(m﹣1)d,利用等差数列前9项和的性质可得a1+a2+…+a9=9a5=36d,二式相等即可求得m的值.
【解答】解:∵{a n}为等差数列,首项a1=0,a m=a1+a2+…+a9,
∴0+(m﹣1)d=9a5=36d,又公差d≠0,
∴m=37,
故选A.
4.已知<<0,则下列结论不正确的是()
A.a2<b2B.ab<b2C. +>2 D.|a|+|b|>|a+b|
【考点】不等式的基本性质.
【分析】由于<<0,可得b<a<0,因此b2>a2,ab<b2,=2,
|a|+|b|=|a+b|,即可判断出.
【解答】解:∵<<0,
∴b<a<0,
∴b2>a2,ab<b2,=2,|a|+|b|=|a+b|,
因此只有D不正确.
故选:D.
5.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是()
A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a
【考点】不等式比较大小.
【分析】直接判断a,b的大小,然后求出结果.
【解答】解:由题意可知1>a=0.60.6>b=0.61.5,c=1.50.6>1,
可知:c>a>b.
故选:C.
6.已知,则下列结论中正确的是()
A.函数y=f(x)•g(x)的周期为2
B.函数y=f(x)•g(x)的最大值为1
C.将f(x)的图象向左平移个单位后得到g(x)的图象
D.将f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)的图象
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】先将函数f(x),g(x)根据诱导公式进行化简,再求出f(x)g(x)的解析式,进而得到f(x)g(x)的最小正周期和最大值可排除A,B;再依据三角函数平移变换法则对C,D进行验证即可.
【解答】解:∵,∴f(x)=cosx,g(x)=sinx
∴f(x)g(x)=sinxcosx=sin2x,T=,排除A,,排除B;
将f(x)的图象向左平移个单位后得到y=cos(x+)=﹣sinx≠g(x),排除C;
将f(x)的图象向右平移个单位后得到y=cos(x﹣)=sinx=g(x),
故选D.
7.等比数列{a n}中,a5=2,a6=5,则数列{lga n}的前10项的和为()
A.4 B.5 C.6 D.7
【考点】数列的求和.
【分析】由等比数列的性质可得:a5a6=a1a10=a2a9=...=10,再利用对数的运算性质即可得出.【解答】解:由等比数列的性质可得:a5a6=a1a10=a2a9= (10)
∴数列{lga n}的前10项的和=lga1+lga2+…+lga10=lg(a1a2•…•a10)==lg105=5.
故选:B.
8.已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则的最小值是()
A.2 B.2C.4 D.2
【考点】基本不等式.
【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵lg2x+lg8y=lg2,∴lg(2x•8y)=lg2,∴2x+3y=2,∴x+3y=1.
∵x>0,y>0,∴==2+=4,当且仅当
x=3y=时取等号.
故选C.
9.已知函数(α∈[0,2π))是奇函数,则α=()
A.0 B.C.πD.
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】根据奇函数的性质建立关系式求解.
【解答】解:由题意可知,函数f(x)是奇函数,即f(﹣x)+f(x)=0,
不妨设x<0,则﹣x>0.
则有:f(x)=﹣x2+cos(x+α),
f(﹣x)=x2﹣sinx
那么:﹣x2+cos(x+α)+x2﹣sinx=0
解得:(k∈Z)
∵α∈[0,2π)
∴α=
故选:D.
10.已知等差数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*),且a n=2n+λ,若数列{S n}在n≥7时为递增数列,则实数λ的取值范围为()
A.(﹣15,+∞)B.[﹣15,+∞)C.[﹣16,+∞)D.(﹣16,+∞)
【考点】数列的函数特性.
【分析】S n==n2+(λ+1)n,利用函数的单调性,列不等式即
可求解.
【解答】解:∵a n=2n+λ,∴a1=2+λ,
∴S n===n2+(λ+1)n,又因为n∈N
由二次函数的性质和n∈N
可知<7.5即可满足数列{S n}为递增数列,
解不等式可得λ>﹣16
故选:D
11.设f(x)=,若S=f()+f()+…+f(),则S=()
A.1005 B.1006 C.1007 D.1008
【考点】函数的值.
【分析】求出f(x)+f(1﹣x)=1,从而求出函数值即可.
【解答】解:∵f(x)=,
∴f(x)+f(1﹣x)=+=+==1,
∴S=f()+f()+…+f()=1007,
故选:C.
12.定义在(0,)上的函数f(x),f′(x)是它的导函数,且恒有f(x)<f′(x)tanx
成立,则()
A.f()>f() B.f(1)>2f()•sin1 C.f()>f()
D.f()>f()
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】把给出的等式变形得到f′(x)sinx﹣f(x)cosx>0,由此联想构造辅助函数g(x)
=,由其导函数的符号得到其在(0,)上为增函数,对选项一一加以判断,即可
得到答案.
【解答】解:因为x∈(0,),所以sinx>0,cosx>0.
由f(x)<f′(x)tanx,得f(x)cosx<f′(x)sinx.
即f′(x)sinx﹣f(x)cosx>0.
令g(x)=,x∈(0,),则g′(x)=>0.
所以函数g (x )=在x ∈(0,)上为增函数,
对于A ,由于g ()<g (),即,化简即可判断A 错;
对于B ,由于g (1)>g (),即,化简即可判断B 正确;
对于C ,由于g ()<g (),即,化简即可判断C 错误;
对于D ,由于g ()<g (),即<,所以<,
即f ()<f ().故D 错误.
故选B .
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)
13.函数f (x )=
的图象与函数g (x )=ln (x +1)的图象的交点的个数
是 2 .
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】作出两个函数的图象,利用数形结合进行求解即可. 【解答】解:作出函数f (x )和g (x )的图象如图: 由两个函数的图象可知两个函数有2个交点, 故答案为:2.
14.若不等式|a﹣2|≤|x+|对一切非零实数x恒成立,则实数a的最大值是4.
【考点】函数恒成立问题.
【分析】由题意可得|a﹣2|≤|x+|的最小值,运用基本不等式可得最小值,由绝对值不等式可得a的范围,进而得到a的最大值.
【解答】解:不等式|a﹣2|≤|x+|对一切非零实数x恒成立,
即为|a﹣2|≤|x+|的最小值,
由|x+|=|x|+≥2=2,当且仅当x=±1取得最小值.
可得|a﹣2|≤2,解得0≤a≤4.
则a的最大值为4.
故答案为:4.
15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1,1,2,3,5,8,13,…其中从第三个数起,每一个数都等于他前面两个数的和.该数列是一个非常美丽、和谐的数列,有很多奇妙的属性,比如:随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887.人们称该数列为{a n}
“斐波那契数列”,若把该数列{a n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序
组成新数列{b n},在数列{b n}中第2015项的值是1.
【考点】黄金分割法—0.618法.
【分析】根据数列,得到余数构成是数列是周期数列,即可得到结论.
【解答】解:1,1,2,3,5,8,13,…除以4所得的余数分别为1,1,2,3,1,0,;1,1,2,3,1,0…,
=b5=1,
即新数列{b n}是周期为6的周期数列,所以b2015=b235
×6+5
故答案为:1.
16.如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上(含原点)
上滑动,则的最大值是2.
【考点】向量在几何中的应用.
【分析】令∠OAD=θ,由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上,可得出B,C的坐标,由此可以表示出两个向量,算出它们的内积即可
【解答】解:如图令∠OAD=θ,由于AD=1故0A=cosθ,OD=sinθ,
如图∠BAX=﹣θ,AB=1,故x B=cosθ+cos(﹣θ)=cosθ+sinθ,y B=sin(﹣θ)=cosθ
故=(cosθ+sinθ,cosθ)
同理可求得C(sinθ,cosθ+sinθ),即=(sinθ,cosθ+sinθ),
∴=(cosθ+sinθ,cosθ)•(sinθ,cosθ+sinθ)=1+sin2θ,
的最大值是2
故答案是2
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(I)求角A的值;
(Ⅱ)若角B=,BC边上的中线AM=,求边b.
【考点】正弦定理.
【分析】(I)利用正弦定理将边化角,根据和角公式化简解出cosA.
(Ⅱ)由已知可求a=b,C=,在△ACM中,由余弦定理可解得b的值.
【解答】解:(I)在△ABC中,∵,
∴(2b﹣c)cosA=acosC,
∴2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,
∴cosA=.
∴A=.
(Ⅱ)∵A=B=,
∴a=b,C=π﹣B﹣A=,
∵BC边上的中线AM=,
∴在△ACM 中,由余弦定理可得:AM 2=AC 2+CM 2﹣2AC •CM •cosC ,即:7=b 2+()2
﹣2×b ××cos
, ∴整理解得:b=2.
18.数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,a n +1=2S n +1,数列{b n }为等差数列,且b 3=3,b 5=7. (Ⅰ)求数列{a n },{b n }的通项公式;
(Ⅱ)若对任意的恒成立,求实数k 的取值范围.
【考点】数列递推式.
【分析】(I )对于数列数列{a n },由a n +1=2S n +1,可得n ≥2时,a n =2S n ﹣1+1,a n +1=3a n ,当n=1时,a 2=2a 1+1=3,利用等比数列的通项公式即可得出.
设等差数列{b n }的公差为d ,利用等差数列的通项公式即可得出.
(II )由(I )可得:S n =
,由,化为: •k
≥2n ﹣3,可得:k ≥,令f (n )=,利用数列的单调性即可得出.
【解答】解:(I )对于数列数列{a n },∵a n +1=2S n +1,∴n ≥2时,a n =2S n ﹣1+1,∴a n +1﹣a n =2a n ,化为a n +1=3a n ,当n=1时,a 2=2a 1+1=3,
∴数列{a n }是等比数列,公比为3,首项为1,
∴a n =3n ﹣1.
设等差数列{b n }的公差为d ,∵b 3=3,b 5=7,∴
,解得b 1=﹣1,d=2. ∴b n =﹣1+2(n ﹣1)=2n ﹣3.
(II )由(I )可得:S n =
=,
∴,化为: •k ≥2n ﹣3,
化为:k ≥,
令f (n )=,则f (n +1)=,
∴f (n )﹣f (n +1)=﹣==,
可知:n≤2时,f(n)<f(n+1);n≥3时,f(n)>f(n+1).
∴n=3时,f(n)取得最大值为=.
∴.
∴实数k的取值范围是.
19.我县有甲,乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元;乙家按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元,超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.
(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40),在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40).试求f(x)和g(x);
(2)问:小张选择哪家比较合算?为什么?
【考点】函数模型的选择与应用.
【分析】(1)因为甲家每张球台每小时5元,故收费为f(x)与x成正比例即得:f(x)=5x,再利用分段函数的表达式的求法即可求得g(x)的表达式.
(2)欲想知道小张选择哪家比较合算,关键是看那一家收费低,故只要比较f(x)与g (x)的函数的大小即可.最后选择费用低的一家即可.
【解答】解:(1)f(x)=5x,(15≤x≤40)
(2)由f(x)=g(x)得或
即x=18或x=10(舍)
当15≤x<18时,f(x)﹣g(x)=5x﹣90<0,
∴f(x)<g(x)即选甲家
当x=18时,f(x)=g(x)即选甲家也可以选乙家
当18<x≤30时,f(x)﹣g(x)=5x﹣90>0,
∴f(x)>g(x)即选乙家.
当30<x≤40时,f(x)﹣g(x)=5x﹣(2x+30)=3x﹣30>0,
∴f(x)>g(x)即选乙家.
综上所述:当15≤x<18时,选甲家;
当x=18时,选甲家也可以选乙家;
当18<x≤40时,选乙家.
20.已知a∈R,函数
(1)判断函数f(x)在(0,e]上的单调性;
(2)是否存在实数x0∈(0,+∞),使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直?若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由.
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(1)已知a∈R,函数,对其进行求导,利用导数研究函数的单
调性,对于a要分类讨论;
(2)假设存在,根据题意存在实数x0∈(0,+∞),使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直,将问题转化为存在实数x0∈(0,+∞),使得g′(x0)=0,有解,求出x0的值,无解,说明不存在;
【解答】解:(1)∵,(x>0),
∴f′(x)=﹣+=
①若a≤0,则,f′(x)>0,f(x)在(0,e]上单调递增
②若0<a<e,当x∈(0,a)时,f′(x)<0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减,当x∈(a,e]时,f′(x)>0,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增
③若a≥e,则f′(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减.
(2)∵g(x)=(lnx﹣1)e x+x
∴g′(x)=(+1nx﹣1)e x+1,由(1)易知,
当a=1时,f(x)在(0,+∞)上的最小值:f(x)min=f(1)=0
即x0∈(0,+∞)时,.又,
∴g′(x0)≥1>0,
曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直等价于方程g′(x0)=0有实数解.
而g′(x0)>0,即方程g′(x0)=0无实数解,故不存在.
21.已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),点P是点F关于y轴的对称点,过点P的直线交抛物线于A,B两点.
(1)试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T,使得TA,TB与x轴所在的直线所成的锐角相等,若存在,求出定点T的坐标,若不存在说明理由.
(2)若△AOB的面积为,求向量的夹角.
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】(1)由题意知:抛物线方程为:y2=4x且P(﹣1,0).设直线l的方程为x=my﹣1,将抛物线C的方程y2=4x与直线l的方程联立,设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理求得k A T+k BT,设点T(t,0)存在,由TA,TB与x轴所成的锐角相等可得k TA+k TB=0,利用韦达定理,即可求得a=1.
=||||sinθ=,算出,进而求出夹角,(2)根据三角形的面积公式得S
△AOB
即可求出答案.
【解答】解:(1)由题意知:抛物线方程为:y2=4x且P(﹣1,0)
设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线l的方程为x=my﹣1,代入y2=4x得
y2﹣4my+4=0,△=16m2﹣16>0,得m2>1,
假设存在T(a,0)满足题意,则k A T+k BT==
==0.∴8m﹣4m(1+a)=0,
∴a=1,∴存在T(1,0)
=||||sinθ=,
(2)S
△AOB
∴||||=,
=x1x2+y1y2=+y1y2==5,
∴cos∠AOB==sin∠AOB,
∴tan∠AOB=1,
∴∠AOB=.
22.已知函数f(x)=|x+a|﹣|x+3|,a∈R.
(Ⅰ)当a=1时,解不等式f(x)≤1;
(Ⅱ)若x∈[0,3]时,f(x)≤4恒成立,求实数a的取值范围.
【考点】绝对值不等式的解法;函数恒成立问题.
【分析】(Ⅰ)当a=﹣1时,不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1,对x的取值范围分类讨论,去掉上式中的绝对值符号,解相应的不等式,最后取其并集即可;
(Ⅱ)依题意知,|x﹣a|≤x+7,由此得a≥﹣7且a≤2x+7,当x∈[0,3]时,易求2x+7的最小值,从而可得a的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)当a=﹣1时,不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1.
当x≤﹣3时,不等式化为﹣(x+1)+(x+3)≤1,不等式不成立;
当﹣3<x<﹣1时,不等式化为﹣(x+1)﹣(x+3)≤1,解得﹣2.5≤x<﹣1;
当x≥﹣1时,不等式化为(x+1)﹣(x+3)≤1,不等式必成立.
综上,不等式的解集为[﹣2.5,+∞).…
(Ⅱ)当x∈[0,3]时,f(x)≤4即|x﹣a|≤x+7,
由此得a≥﹣7且a≤2x+7.
当x∈[0,3]时,2x+7的最小值为7,
所以a的取值范围是[﹣7,7].…
2016年12月5日。