2023届高三一轮复习《定积分》学案

定积分
课前一题：定积分⎰-1
1||x d x ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
考纲要求： 1．了解定积分的概念、几何意义。

2．直观了解微积分基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分。

3．应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题 重点： 正确计算定积分，利用定积分求面积。

难点： 定积分的概念，将实际问题化归为定积分问题。

知识点1 定积分的相关概念
在
⎰
b
a
x f )(d x 中， 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间， 叫
做被积函数， 叫做积分变量， 叫做被积式．
知识点2定积分的几何意义
设函数()x f 在区间[]()b a b a ≠,上连续. ①在[]b a ,上，当0)(≥x f 时，定积分
⎰
b
a
x f )(d x 在几何上表示由曲线)(x f y =以及
直线b x a x ==,与x 轴围成的 ；
②在[]b a ,上，当0)(≤x f 时，由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分
⎰
b
a
x f )(d x 在几何上表示曲边梯形面积的 ；
③在[]b a ,上，当)(x f 既取正值又取负值时，曲线)(x f y =的某些部分在x 轴的上方，而其他部分在x 轴下方，如果我们将在x 轴上方的图形的面积赋予正号，在x 轴下方的图形
的面积赋予负号；
在一般情形下，定积分
⎰
b
a
x f )(d x 的几何意义是曲线)(x f y =，两条直线b
x a x ==,与x 轴所围成的各部分面积的 .
① ② ③
类型一：利用定积分的几何定义求定积分 例1．说明定积分⎰
-2
24x d x 所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值。

【变式1】若f (x )＝
3＋2x －x 2，则
⎰
3
1
)(x f d x 为_____． P48——例5（2）
【变式2】用定积分表示下列图形的阴影部分的面积
（1） （2）
知识点3 定积分的性质
（1）⎰b
a x kf )(d x= （k 为常数）
（2）)]()([2
1
x f
x f b
a +⎰d x =
（3）
⎰
b a
x f )(d x= （其中b c a <<）
（4）利用函数的奇偶性求积分：
若函数)(x f y =在区间],[b b -上是奇函数，则⎰-b
b x f )(d x= ； 若函数)(x f y =在区间],[b b -上是偶函数，则
⎰
-b
b
x f )(d x= .
知识点4 微积分基本定理
微积分基本定理（或牛顿－莱布尼兹公式）:
如果)(x f 在[]b a ,上连续，且)()(x f x F ='，则⎰
b
a
x f )(d x=
其中)(x F 叫做)(x f 的一个原函数. 类型二：运用微积分定理求定积分 例2．计算：⎰
-π
)cos (sin x x d x ＝________．
【变式】计算下列定积分的值： （1）⎰
+-2
2
)13(x x d x （2）⎰+20
)sin (π
x x d x （3） ⎰-1
8)8(x x d x
类型三：运用积分的性质求定积分 例3．求定积分：⎰-3
|1|x d x
【变式】(设f (x )＝⎪⎩⎪
⎨⎧∈∈],1(,1]1,0[,2e x x
x x (e 为自然对数的底数)，则⎰e x f 0)(d x 的值为________．
P48——例5（1）、（3）
例4.设()x f 是偶函数，若⎰2
)(x f d x 2=，则⎰-2
2
)(x f d x =____________；
【变式】求定积分：⎰-22
2
2
cos 2
π
πx d x
知识点5 应用定积分求曲边梯形的面积
1. 如图，由三条直线x b a b x a x ),(,<==轴（即直线0)(==x g y ）及一条曲线
)(x f y = ()0)(≥x f 围成的曲边梯形的面积：
2．如图，由三条直线x b a b x a x ),(,<==轴（即直线0)(==x g y ）及一条曲线
)(x f y = ()0)(≤x f 围成的曲边梯形的面积：
3．由三条直线x b c a b x a x ),(,<<==轴及一条曲线)(x f y =（不妨设在区间],[c a 上0)(≤x f ，在区间],[b c 上0)(≥x f ）围成的图形的面积：
4. 如图，由曲线)()(),(),(212211x f x f x f y x f y ≥==及直线)(,b a b x a x <==围成图形的面积：
类型四：利用定积分求平面图形面积
例5.[一题多解]由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积为________． 【变式1】由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．
【变式2】设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________．
知识点5 定积分在物理中的应用
①变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数)0)()((≥=t v t v v 在时间区间],[b a 上的定积分，即⎰
=b
a
dt t v S )(.
②变力作功
物体在变力)(x F 的作用下做直线运动，并且物体沿着与)(x F 相同的方向从a x =移动到)(b a b x <=，那么变力)(x F 所作的功⎰
=
b
a
dx x F W )(.
例6：有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 的速度为2
228)(t t t v -=（速度的正方向与x 轴
正方向一致）.
求（1）P 从原点出发，当t ＝3时，离开原点的路程； （2）当t ＝5时，P 点的位置；
（3）从t ＝0到t ＝5时，点P 经过的路程。

【变式】设有一根长25cm 的弹簧，若加以100N 的力，则弹簧伸长到30cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25cm 伸长到40cm 所做的功.。