任意角的正弦余弦正切教学设计

任意角的正弦函数、余弦函数的定义
肖亚
一、教学目标
1、知识与技能
（1）熟练运用锐角正、余弦函数的性质；（2）理解通过单位圆引入任意角的正、余弦函数的意义；（3）掌握任意角的正、余弦函数的定义；（4）掌握这两种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号；
2、过程与方法
初中所学的正弦函数，是通过直角三角形中给出定义的；由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，这样一来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，从而引出单位圆；利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法，在第二节课的正弦函数周期、诱导公式及图像，以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用；讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中，再由任意角的正弦函数类比到任意角的余弦函数，体会特殊与一般、迁移的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学重、难点
重点：任意角的正弦、余弦的定义；正弦、余弦函数值的符号。

难点：任意角的正、余弦函数概念的建构过程及其应用。

三、教学用具
多媒体、三角板、圆规
四、教学过程
Ⅰ、创设情境,建立数学建模
它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2r，逆时针方向匀速转动，
转动一周需要360秒，（那转动一秒转了多少度？）若现在你坐在座舱
中，从初始位置出发（如图所示），过了30秒后，你离地面的高度为多
少？过了45秒呢？过了t秒呢？
h1=h0+rsin300
h2=h0+rsin450
h＝h0＋rsint0
在锐角范围中，h＝h0＋rsint0这一数学模型能表示座舱的高度，那么，我们能不能随着时间的推移，让h ＝h0＋rsint0这个数学模型从始至终都能起作用呢？若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。

今天，我们就要来学习任意角的正、余弦函数。

Ⅱ、任意角的三角函数的定义
要定义任意角的三角函数，还得从锐角三角函数说起。

h
r
师：请问锐角a 三角函数是如何定义的？
由于我们通常都是将
在直角坐标系中，（如图所示），设角α（α∈（0，2
π）） r 的圆交于点P （u ，v ），那么sin α＝v ，
P ，则点P 的纵坐标b 就是角α的正弦函数。

直角三角形显然不能包含所有的角，那么，我们可以仿照锐角正弦函数的定义．你认为该如何定义任意角的正弦函数?
一般地，在直角坐标系中，给定单位圆,对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点P （u ，v ），我们可以唯一确定点P （u ，v ）的纵坐标v ，所以P 点的纵坐标v 是角α的函数，称为正弦函数，记作v ＝sin α。

通常，我们用x 表示自变量，即x 表示角的大小，用y 表示函数值，这样我们就定义了任意角正弦函数y=sin x 它的定义域为全体实数，值域为[-1,1]〔为什么？〕.
类比正弦函数的定义，你能给出余弦函数的定义吗？
Ⅲ、例题分析
现在大家对任意角的正、余弦函数的定义已经有所了解了，下面我们来试试角a ＝4π
-它的正、余弦函
数值是多少？<见教材P14页例题1>
总结求任意角α的正弦函数值、余弦函数值的方法
●探究1看来同学很聪明，只要求得除了求角a 的终边与单位圆的交点，就能解决问题，那么，除了角的大
小能决定终边位置外，还有什么条件能确定终边的位置？
★在直角坐标系的单位圆中，已知角α的终边上异于原点的任意一点P （a,b ）则角α的正弦函数值、余弦函数值为＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿（见导学提纲例2）
●探究2那么，我给出一个角a 的终边上一点P 的坐标（3，－1），则它的正、余弦函数值是多少？
★若将这点改成（3b ，－b ），b ≠0呢？
变式①：已知P （-2，y ）是角θ终边上一点，且sin θ= 5
,求y 的值。

变式②：角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边在函数y=-2x(x ≤0)的图像上，则角α正、余弦函数值是多少？
，v )
●探究3看来三角函数的角的终边所在象限的不同，它的三角函数值的符号也不同，请你说说正、余弦函数
在各个象限内的三角函数值的符号。

有什么规律？
●探究4若知道正、余弦函数值，能不能求出相应的角呢？
求分别在区间〔0，2π〕符合下列条件的各角的集合:（见导学提纲例3）
(1)sin α=2- (2)cos α=2
Ⅲ、小结：
这节课我们从摩天轮的转动中得到了一些数学问题的思考，对任意角的三角函数作出了定义，从中体会到一个定义的形成过程是要经过很多角度的思考和推敲的。

这节课你学习到哪些知识/
Ⅳ、作业
书本P20 习题1-4
1、（3）、（4）
2、（2）、（4）、（6） 3
Ⅴ、说明：
新教材的教学理念之一是让学生去体验新知识的发生过程，这节《任意角的三角函数》的教案，主要围绕这一点进行设计。

首先，通过实际生活中的一个问题：“摩天轮的一个座舱的高度和时间的关系“而建立数学模型，让学生感受到应该随着角的概念推广，也将锐角三角函数推广到任意角的三角函数。

通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。

其次，到底应该怎样去合理定义任意角的三角函数呢？让学生提出自己的想法，同时让学生去辨证这个想法是否是科学的？因为一个概念是严谨的，科学的，不能随心所欲地编造，必须去论证它的合理性，至少这种概念不能和锐角三角函数的定义有所冲突，并可以通过实际模型,检验他给出定义的正确性。

在这个立－破的过程中，让学生去体验一个新的数学概念可能是如何形成，在形成的过程中可以从哪些角度加以科学的辩思。

这样也有助于学生对任意角三角函数概念的理解。

再次，让学生充分体会在任意角三角函数定义的推广中，是如何将直角三角形这个“形”的问题，转换到直角坐标系下点的坐标这个“数”的过程的，培养数形结合的思想。

Ⅵ、教学反思。