高二数学上学期期中试题 文新 版 新人教版

2019高二学年上学期期中考试
文科数学试题
试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡
第Ⅰ卷 选择题部分
一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）
1．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( )
A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1
B ．若－1<x <1，则x 2<1
C ．若x >1或x <－1，则x 2>1
D ．若x ≤－1或x ≥1，则x 2≥1 2．已知命题2
2
:,;:,.p x y x y q x y x y >-<->>若则命题若则在命题 ①p q ∧②p q ∨③()p q ∧⌝④()p q ⌝∨中，真命题是( )
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④ 3．命题“∃x ∈R ，x 3>0”的否定是( )
A ．∃x ∈R ，x 3≤0
B ．∀x ∈R ，x 3≤0
C ．∃
x ∈R ，x 3<0 D ．∀x ∈R ，x 3>0
4.设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 5．已知某椭圆的一个焦点为)0,1(F ，离心率2
1
=
e ，则该椭圆的标准方程为（ ） A.1222=+y x B. 1222=+x y C. 13422=+y x D. 13
422=+x y
6.已知经过椭圆
116252
2=+y x 的右焦点2F 作直线AB 交椭圆于A 、B 两点，1F 是椭圆的左焦点，则B AF 1∆的周长为（ ）
A .10 B.8 C.16 D.20
7.已知双曲线的一个焦点F 1 (5，0)，且过点(3，0)，则该双曲线的标准方程为( ) A .x 29－y 216＝1 B.y 216－x 29＝1 C.x 29－y 225＝1 D.y 225－x 2
9
＝1
8. 双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>
，则其渐近线方程为（ ）
.A y =
.B y =
.2C y x =±
.2
D y x =±
9.如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，那么抛物线的方程是（ ）
A . y 2＝－16x B. y 2＝12x C. y 2＝16x D. y 2＝－12x
10.已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若21PF PF ⊥，且0
1260=∠F PF ，则C 的离心率为( ) A. 2
2
1-
B. 32-
C. 2
1
2- D. 13- 11.已知点)4,3(A ，F 是抛物线x y 82
=的焦点，M 是抛物线上的动点，当F M M A +最小时，
M 点坐标是（ ）
A ．（0，0） B.（3，2
6） C.（3，－2
6） D.（2，4)
12.如图，1F 和2F 是双曲线
)0,0(122
22
>>=-b a b
y a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A 、3
B 、5
C 、2
5
D 、31+
第Ⅱ卷 非选择题部分
二、填空题（每小题5分，共20分） 13.抛物线x y 62
=的焦点坐标为__________．
14.与椭圆
1244922=+y x 有公共焦点，且离心率4
5=e 的双曲线方程为__________． 15.与双曲线14
22
=-y x 有共同的渐近线，并且经过点（2，5）的双曲线方程是__________． 16.已知双曲线
22
1124
x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是__________．
三、解答题（每题14分，共70分）
17.已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根，若“p ∨q ”为真命题，且“p ∧q ”是假命题，求实数m 的取值范围．
18.已知椭圆x 236＋y 2
9＝1和点P (4，2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．
(1)当直线l 的斜率为1
2时，求线段AB 的长度；
(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．
19.已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为（1,0）． （1）求抛物线的标准方程及准线方程．
（2）斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，求线段AB 的长．
20.已知双曲线22
221(00)x y C a b a b
-=>>：，的两个焦点为1(20)F -，
，2(20)F ，，点(37)P ，在双曲线C 上．
（1）求双曲线C 的方程；
（2）记O 为坐标原点，过点(02)Q ，的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，若OEF △ 的
面积为l 的方程．
21.已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的焦距为2，左右焦点分别为1F ，2F ，以原点O 为圆心，
以椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0543=+-y x 相切． (1)求椭圆C 的方程；
(2)设不过原点的直线l ：)0(≠+=m m kx y 与椭圆C 交于A ，B 两点．若直线2AF 与2BF 的斜率分别为1k ，2k ，且021=+k k ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.
铁人中学2017级高二学年上学期期中考试
文科数学试题(答案） 第Ⅰ卷 选择题部分
一、选择题：DCBAC DAACD DD
第Ⅱ卷 非选择题部分
二、填空题：13 )0,2
3
( 14
191622=-y x 15 116422=-x y 16
⎡⎢⎣⎦
三、解答题：
17.解：p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根⇔⎩
⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4＞0
－m ＜0⇔m ＞2.
q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根⇔Δ＝16(m －2)2－16＜0⇔1＜m ＜3.
∴非p ：m ≤2，非q ：m ≤1或m ≥3. ∵“p ∨q ”为真命题，且“p ∧q ”是假命题， ∴p 为真且q 为假，或p 为假且q 为真． (1)当p 为真且q 为假时， 即p 为真且非q 为真，
∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2
m ≤1或m ≥3
，解得m ≥3； (2)当p 为假且q 为真时，即非p 为真且q 为真，
∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤21＜m ＜3
，解得1＜m ≤2. 综上所述，实数m 的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)．
18. (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝1
2
x .
由⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝12
x ，
x 2
36＋y 2
9＝1，
可得x 2
－18＝0，若设A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)．
则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝
（x 1－x 2
）2＋（y
1－y 2）2
＝
（x 1－x 2）2＋
1
4
（x 1－x 2）2 ＝52
（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝
52
×62＝310.所以线段AB 的长度为3
10.
(2)法一：设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．
联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2
36＋y
2
9＝1，y －2＝k （x －4），
消去y 得(1＋4k 2
)x 2
－(32k 2
－16k )x ＋(64k 2
－64k －20)＝0.
若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，
由于AB 的中点恰好为P (4，2)，所以
x 1＋x 22
＝
16k 2－8k
1＋4k 2
＝4，
解得k ＝－12，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－1
2x ＋4.
法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 21
9＝1，x 22
36＋y
22
9＝1，
两式相减得x 2
2
－x 21
36＋y 22
－y 21
9＝0，
整理得k AB ＝
y 2－y 1
x 2－x 1
＝－9（x 2＋x 1）
36（y 2＋y 1）
，由于P (4，2)是AB 的中点，
∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，于是k AB ＝－9×8
36×4＝－1
2
，
于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－1
2x ＋4，即082=-+y x ．
19.解：（1）因为抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，且2
p =1，p=2，所以所求抛物线方程为x y 42
= ，准线方程为1-=x .
（2）设),(),,(2211y x B y x A ，A 、B 到准线的距离为=A d |AF |=21p x +
，=B d |B F |=2
2p x +, 于是|AB |＝p x x ++21，由已知得直线AB 的方程为：1-=x y ，将1-=x y 代入抛物线方程
x y 42=，得0162=+-x x ，所以621=+x x ，所以|AB |＝p x x ++21=6+2=8
20.（Ⅰ）解法1：依题意，由2
2
4a b +=，得双曲线方程为22
222
1(04)4x y a a
a
-=<<-． 将点(3代入上式，得
2297
14a a
-=-． 解得2
18a =（舍去）或2
2a =，
故所求双曲线方程为22
122
x y -=．
解法2：依题意得，双曲线的半焦距2c =．
122a PF PF =-== 22a ∴=，2222b c a =-=． ∴双曲线C 的方程为22
122
x y -
=． （Ⅱ）解：依题意，可设直线l 的方程为2y kx =+，代入双曲线C 的方程并整理， 得2
2
(1)460k x kx ---=． ①
Q 直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，
2
22
110(4)46(1)0k k k k k ≠±⎧⎧-≠⎪⎪∴⇔⎨⎨<<∆=-+⨯->⎪⎪⎩⎩
，，，
(1)(11)k ∴∈--U U ，． ②
设1122()()E x y F x y ，，，，则由①式得12241k x x k +=
-，12
2
6
1x x k =--，
于是EF ==
==
而原点O 到直线l
的距离d =
，
22
112211OEF
S d EF k k ∴===--g g △．
若OEF
S =△
，即42
2
201k k k
=⇔--=-
，解得k = 满足②．故满足条件的直线l
有两条，其方程分别为2y =+
和2y =+
21、解：(1)由题意可得1=c ，即12
2=-b a ，由直线0543=+-y x 与圆2
2
2
b y x =+相切，
可得116
95
00=++-=
b ，解得2=a ，即有椭圆的方程为1222
=+y x ；
(2)证明：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，将直线)0(≠+=m m kx y 代入椭圆222
2
=+y x ， 可得0224)21(2
2
2
=-+++m kmx x k ，即有0)1)(21(8162222>-+-=∆m k m k ，
2
21214k
km
x x +-=+，22212122k m x x +-=，由011112211221121=-++-+=-+-=+x m kx x m kx x y x y k k ， 即有0))((222121=+-+-x x k m m x kx ，
化简可得k m 2-=，
则直线的方程为k kx y 2-=，即)2(-=x k y ， 故直线l 恒过定点；)0,2(。