苏教版高中数学必修五学案第三章不等式第课时(10)

3.4基本不等式的证明(1)
学习要求 1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系. 2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.
3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等. 【课堂互动】
自学评价 １．算术平均数： ２．几何平均数
３．设a ≥0,b ≥0则2a b
+为 ４．基本不等式的证明方法：
【精典范例】 例1．.设a 、b 为正数, 求证明：2a b
+³
点评： １．不等式证明的方法：(1)作差比较法(2)分析法(3)综合法 ２．本题对a ≥0,b ≥０时仍成立，且题中a=b 时成立． ３．把不等式2
a b +³ (a ≥0,b ≥0) 4.由本题可知，两正数的算术平均数不当两数相等时两者相5.基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．
例2. 利用基本不等式证明下列不等式：
(1) 已知a>0,求证 a+1
2a ³
(2).已知a, b, c ∈R , 求证: a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ac .
(3).已知x , y , z 是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (1
1
1
1)(1)(1)8x y z --->
点评：1..基本不等式的变形公式：
(1) 222(,)a b ab a b R +澄 (2) 22
(,)2a b ab a b R +Ｎ
(3) ,)a b a b R ++澄
(4) 2()(,)2a b
ab a b R ++Ｎ
2.学会多次运用和创造条件运用基本不
等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将学习札记
一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式． ３．注意严格不等式的证明方法． 思维点拔：
1.上面两例在于：(1)揭示基本不等式的内容与证法．(2)举例说明利用基本不等式证题的方法技巧，以让学生初步领会不等式证明的基本方法．
２．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若a i ≥0(i=1,2,…,n),
则12n
a a a n ++鬃?(n>1,n ÎN)
追踪训练
１．设Ｐ为正数，求下列各组数的算术平均数与几何平均数．
（１）２与８
（２）３与１２
（３）Ｐ与９Ｐ
（４）２与２2p
２．已知a>1求证a+1
1a -≥3
３．已知a+b+c=1,求证a 2+b 2+c 2≥1
3
４．已知a , b , c 不全相等的三个正数, 且abc=1 , 求证: c b a c b a ++>++1
1
1
．
学习札记。