同构幻方——精选推荐

同构幻⽅
同构幻⽅
，进⾏整⾏或整列移动⽽⽆重复旳144式。

横向①②③④这个幻⽅的1是第1列，8是第2列，11是第3列，14是第4列。

这4列数是从
⼀、n阶同构幻⽅的定义
将1～n2个数排成n×n的数字⽅阵，使它的纵向n个数之和，横向n个数之和相同，这个数字⽅阵我们称它为n阶幻阵，世界称Semi－magic squares即n阶半幻⽅的意思。

这些数字⽅阵都是“同构幻阵”。

若其中⼆条对⾓线上n个数之和也相等，则称它为n阶幻⽅。

这些都在同⼀个幻阵中出现的幻⽅称“n阶同构幻⽅”
⼆、同构変换
任何⼀个存在的n 阶幻阵，都有n！×n！×2/8整⾏整列平移⽆重复的变换。

则3阶幻阵
=6/2×6/2=9（个）。

4阶幻阵=24/2×24/2=144（个）。

5阶幻阵60×60×2/8=900（个）=……
1、2阶半幻⽅不存在。

3阶半幻⽅是3！×3！×2/8=6×6×2/8=9（个）现将三阶幻⽅平移如下：
9个幻⽅阵中只有⼀个是三阶幻⽅，也就是三阶幻⽅不存同构幻⽅。

⼀个幻⽅有⼋个⽅向位置的不同，幻⽅界同仁习惯上都认为“⼀変⼋，换汤不换药” 是同⼀个幻⽅⽽已。

2、四阶幻⽅ “4式同构”
4式同构变换是任何四阶幻⽅共同的变换⽅法。

也就是说：有⼀个四阶幻⽅，它最少有其它3个幻⽅存在。

它的变换过程是：
甲、将⼀个幻⽅（图1）的中间的⼆⾏上下交换，再把这个⽅阵的中间2列左右交换，得第⼆个幻⽅（图2）。

⼄、把图1的第⼀⾏与第⼆⾏上下交换，第三⾏与第四⾏上下交换。

再把第1列与第2列左右交换，第3列与第4列左右交换。

这也就得第3个幻⽅（图3）。

丙、把第2个幻⽅照第3个幻⽅哪样变换，得第4个幻⽅（图4）。

注：4式同构变换旳这些幻⽅，它们的对⾓线上的幻和组4数都是相同的⼆组幻和组。

我曾在书刊中摘录的⼀段对同构注释如下：【“同构”(即数学上的等效)这⼀慨念。

是数学中最重要概念之⼀，… 随着数学发展得⽇趋复杂，这⼀慨念不仅仅促使数学得到简化，⽽且使数学也将变得越来越统⼀了。

】
4阶幻阵通过实地编排和搜索共得477种，则可按477×4！×4！×2/8=477×24×24×2/8=477×144＝68688（个）。

在477种四阶幻⽅阵中有幻⽅的95种。

最少的－种有4个，最多的有48个。

因此⼤家都说四阶幻⽅是“4式同构”。

凡是有⼀个四阶幻⽅，同时也存在着其他3个四阶幻⽅。

3、五阶幻⽅的“4式同构”
五阶幻阵有多少种？世界上还沒有⼈研究过。

但是在实地编排和搜索中发现任何⼀个五阶幻⽅都有“4式同构”変换如下：
1原⽅是－般五阶幻⽅，通过⑵上⾏与下⾏交换，再进⾏左右列交换得第2个幻⽅。

若把1号幻⽅与2号幻⽅进⾏双⾏双列交换得第3号和第4号共4个幻⽅。

这4个幻⽅都是从1号原幻⽅通过整⾏整列交换获得的。

我们就称五阶幻⽅4式同构。

凡是有⼀个五阶幻⽅，必定还有其他3个五阶幻⽅存在。

（这4个幻⽅的⼆条对⾓线上4个数不変。

这也是同构幻⽅的特征）
六阶幻⽅多少同构？七阶幻⽅多少同构？⼋阶幻⽅多少同构？…可以按四阶五阶的规律开发。

4、n阶完美幻⽅同构变换
我们知道任何4阶幻⽅阵中都有⽆重复的12×12整⾏整列交换的144的四阶幻阵，其中最多的有48个四阶幻⽅。

今列表举例如下：
这144个四阶幻阵都是按第1号四阶幻⽅为标准平移。

从⼩到⼤这是标准型排列。

纵向①②③④这个幻⽅的1在第⼀⾏，15在第⼆⾏，6在第三⾏，12在第四⾏。

这不是标准排列。

今天任意选⼀个幻⽅为⾸作笫1号⽅阵。

这类标准型幻阵应该是9号。

这说明这144幻阵都可以为1号⽅阵，它只要橫向①②③④和纵向①②③④的排列变换，就能⽆重复不遗漏排全144个四阶⽅阵。

其中四阶完美幻⽅是1、2、3、4、13、14、15、16、25、26、27、28、37、38、39、40号共16个。

中⼼对称类幻⽅是53、54、58、60、65、66、70、72、113、114、118、120、137、138、142、144号，共16个。

四阶⼠步类幻⽅：79、80、81、83、91、92、93、95、103、104、105、107、127、128、129、131号共16个。

这144个四阶⽅阵中共有48个幻⽅。

它们都在同⼀个四阶幻阵中通过整⾏整列平移变换得來的。

所以称它们为同构幻⽅。

任何⼀个同构幻⽅都可以获得其他47个幻⽅。

若按类⽽分，任何⼀类有1个必定有其他15个存在。

其中同时也看到：1个四阶完美幻⽅有4×4个同构幻⽅。

和1个五阶完美幻⽅有5×5个同构幻⽅。

1个七阶完美幻⽅有7×7个同构幻⽅？。

1个⼋阶完美幻⽅有8×8个同构幻⽅？。

这是猜想，九阶完美幻⽅？⼗阶完美幻⽅？的个数是不是也是这种规律尚待研究。