1.3.1函数的单调性和导数.pptx

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问 1)、为什么 y x2 4x 3 在 (, 2) 上是减函数,在 (2,) 上是增函数?
解答:, 2)、研究函数的单调区间你有哪些方法?
解答:, 2、确定函数 f(x)=2x3-6x2+7 在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数? 解答:, 【探 究】 我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况,下面通过函数的图象规律来研究。
5
学生继续探索,得出初步规律。几何画板演示,共同探究。
得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。(学生总结):
①该函数在区间(, 2) 上单调递减,切线斜率小于 0,即其导数为负;
在区间(2, ) 上单调递增,切线斜率大于 0,即其导数为正;
注:切线斜率等于 0,即其导数为 0;如何理解?
②就此函数而言这种规律是否一致?是否其它函数也有这样的规律呢? 2、先看一次函数图象; 3、再看两个我们熟悉的函数图象。(验证)
1
观察三次函数 y x3 的图象;(几何画板演示)
2
观察某个函数的图象。(几何画板演示)
指出:我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导
数研究函数的单调性(幻灯放映课题)。
例1、 求证: y x3 1 在 (, 0) 上是增函数。
由学生叙述过程老师板书:
因为 y' (x3 1)' 2x2 , x (, 0) ,
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所以 x2 0 ,即 y' 0 ,
所以函数 y x3 1 在 (, 0) 上是增函数。
注:我们知道 y x3 1 在 R 上是增函数,课后试一试,看如何用导数法证明。
在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )
2.已知函数 f (x) x ln x ,则( ) A.在 (0,) 上递增 B.在 (0,) 上递减
C.在
0,
1 e
上递增
D.在
0,
1 e
上递减
3.函数 f (x) x3 3x2 5 的单调递增区间是
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1. 3.1 函数的单调性和导数
课前预习学案 一、预习目标
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 2. 掌握利用导数判断函数单调性的步骤。 二、预习内容
3. 利用导数的符号来判断函数单调性:
一般地,设函数 y f (x) 在某个区间可导,
如果在这个区间内 f ' (x) 0 ,则 y f (x) 为这个区间内的
(2)若 f '(x) =0 在某个区间内恒成立,f(x)是什么函数 ?
若某个区间内恒有 f '(x)=0,则 f (x)为
函数.
结论应用: 由以上结论知:函数的单调性与其
性。下面举例说明:
有关,因此我们可以用
【例题讲解】
去探讨函数的单调
例1、 求证: y x3 1 在 (, 0) 上是增函数。
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【新课讲解】 4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结:导数与函数的单调性有什么关系?请一个学生
回答。(幻灯放映)
一般地,设函数 y f (x) 在某个区间可导,则函数在该区间内
如果在这个区间内 f ' (x) 0 ,则 y f (x) 为这个区间内的增函数;
如果在这个区间内 f ' (x) 0 ,则 y f (x) 为这个区间内的减函数。
.
令 6x2-12x<0,解得 0<x<2.∴当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.
学生小结:用导数求函数单调区间的步骤:
1
确定函数 f(x)的定义域;
2
求函数 f(x)的导数 f′(x).
3
令 f′(x)>0 解不等式,得 x 的范围就是递增区间.
令 f′(x)<0 解不等式,得 x 的范围,就是递减区间
归纳步骤:1、
;2、
;3、

例2、 确定函数 f(x)=2x3-6x2+7 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.
小结:用导数求函数单调区间的步骤:
(1)

(2)

(3)
【课堂练习】 1.确定下列函数
的单调区间 (1)y=x3-9x2+24x
(2)y=3x-x3
2、设 y f (x) 是函数 y f (x) 的导数, y f (x) 的
问:如何入手?(图象) 从函数 f(x)=2x3-6x2+7 的图象吗?
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1、研究二次函数 y x2 4x 3 的图象;
1
学生自己画图研究探索。
2
提问:以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的?
3
(开口方向,对称轴)既然要寻求一个新的办法,显然要换个角度分析。
4
提示:我们最近研究的哪个知识(通过图象的哪个量) 能反映函数的变化规律?
一般地,设函数 y f (x) 在某个区间可导,
如果在这个区间内 f ' (x) 0 ,则 y f (x) 为这个区间内的

如果在这个区间内 f ' (x) 0 ,则 y f (x) 为这个区间内的

思考:(1)若 f '(x)>0 是 f(x)在此区间上为增函数的什么条件? 回答:
提示: f(x)=x3,在 R 上是单调递增函数,它的导数恒>0吗?
2、设 y f (x) 是函数 y f (x) 的导数, y f (x) 的
图象如图所示, 则 y f (x) 的图象最有可能是(
)
小结:重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系? 【课堂小结】 1.函数导数与单调性的关系:若函数 y=f(x)在某个区间内可导,
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如果 f (x)>0, 则 f(x)为增函数;如果 f′(x)<0, 则 f(x)为减函数.
.∴y=x3-9x2+24x 的单调减区间是(2,4) (2)解:y′=(3x-x3)′=3-3x2=-3(x2-1)=-3(x+1)(x-1)
令-3(x+1)(x-1)>0,解得-1<x<1. ∴y=3x-x3 的单调增区间是(-1,1). 令-3(x+1)(x-1)<0,解得 x>1 或 x<-1. ∴y=3x-x3 的单调减区间是(-∞,-1)和(1,+∞)
若某个区间内恒有 f '(x)=0,则 f (x)为
函数.
2. 利用导数确定函数的单调性的步骤: (1) 确定函数 f(x)的定义域; (2) 求出函数的导数; (3)解不等式 f (x)>0,得函数的单调递增区间; 解不等式 f (x)<0,得函数的单调递减区间.
三、提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
在函数 y=f(x)比较复杂的情况下,比较 f(x1)与 f(x2)的大小并不很容易. 如果利用 导数来判断函数的单调性就比较简单。根据课程标准,本节分为四课时,此为第一课时。 二、教学目标 1,知识目标: 1)正确理解利用导数判断函数的单调性的原理;
2)掌握利用导数判断函数单调性的步骤。 2,能力目标:
【课堂练习】 1.确定下列函数
的单调区间 (1)y=x3-9x2+24x
(2)y=3x-x3
(1)解:y′=(x3-9x2+24x)′=3x2-18x+24=3(x-2)(x-4) 令 3(x-2)(x-4)>0,解得 x>4 或 x<2. ∴y=x3-9x2+24x 的单调增区间是(4,+∞)和(-∞,2) 令 3(x-2)(x-4)<0,解得 2<x<4
认知冲突)
【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具,但有时很麻烦,甚至解决不了。尤其是在
不知道函数的图象的时候,如函数 f(x)=2x3-6x2+7,这就需要我们寻求一个新的方法来解
决。(研究的必要性)事实上用定义研究函数 y x2 4x 3 的单调区间也不容易。
【探 究】 我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况,下面通过函数的图象规律来研究。
研究二次函数 y x2 4x 3 的图象,研究它的单调性。
2
提问:以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的?
回答:
3
我们最近研究的哪个知识(通过图象的哪个量)能反映函数的变化规律?
观察图像,能得到什么结论
回答: 【新课讲解】
根据刚才观察的结果进行总结:导数与函数的单调性有什么关系?
学生归纳步骤:1、求导;2、判断导数符号;3、下结论。
例2、 确定函数 f(x)=2x3-6x2+7 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数. 由学生叙述过程老师板书:
解:f′(x)=(2x3-6x2+7)′=6x2-12x, 令 6x2-12x>0,解得 x>2 或 x<0 ∴当 x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,f(x)是增函数;当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数
若在某个区间内恒有 f ' (x) 0 ,则 f (x) 为常函数。
这个结论是我们通过观察图象得到的,只是一个猜想,正确吗?答案是肯定的。严格的证 明需要用到中值定理,大学里才能学到。这儿我们可以直接用这个结论。 小结:数学中研究问题的常规思想方法是:从特殊到一般,从简单的复杂。 结论应用: 由以上结论知:函数的单调性与其导数有关,因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。 下面举例说明: 【例题讲解】
C.
A.在 (0,) 上递增 B.在 (0,) 上递减
C.在
0,
1 e
上递增
D.在
0,
1 e
上递减
3.函数 f (x) x3 3x2 5 的单调递增区间是
x .
O
x
D.
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1.3.1 函数的单调性和导数教案
一、教材分析
以前,我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数 x1,x2∈I,且当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么函数 f(x)就是区间 I 上的增函数. 对于任意的两个数 x1,x2 ∈I,且当 x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么函数 f(x)就是区间 I 上的减函数。
学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程,提高创新能力。 3,情感、态度与价值观目标:
在愉悦的学习氛围中,学生感受到解决数学问题的一般方法:从简单到复杂,从特殊 到一般。
三、教学重点难点 教学重点:利用导数判断函数单调性。 教学难点:利用导数判断函数单调性。. 四、教学方法:探究法 五、课时安排:1 课时 六、教学过程

如果在这个区间内 f ' (x) 0 ,则 y f (x) 为这个区间内的

思考:(1)若 f '(x)>0 是 f(x)在此区间上为增函数的什么条件? 回答:
提示: f(x)=x3,在 R 上是单调递增函数,它的导数恒>0吗? (2)若 f '(x) =0 在某个区间内恒成立,f(x)是什么函数 ?
2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意 数形结合在解题中的应用. 3. 掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂. 【课后练习】
1.(2007 年浙江卷)设 f (x) 是函数 f (x) 的导函数,将 y f (x) 和 y f (x) 的图象画
【引例】
1.确定函数 y x2 4x 3 在哪个区间内是增函数?在哪个区间内是减函数?
解: y x2 4x 3 (x 2)2 1,在 (, 2) 上是减函数,在 (2, ) 上是增函数。
问:1)、为什么 y x2 4x 3 在 (, 2) 上是减函数,在 (2, ) 上是增函数?
图象如图所示, 则 y f (x) 的图象最有可能是(
)
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课后练习与提高
1.(2007 年浙江卷)设 f (x) 是函数 f (x) 的导函数,将 y f (x) 和 y f (x) 的图象画
在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )
y
y
y
y
O
x
O
x
O
2.已知A.函数 f (x) x ln x ,B则.()
2)、研究函数的单调区间你有哪些方法?
1 2
观察图象的变化趋势;(函数的图象必须能画出的)
利用函数单调性的定义。(复习一下函数单调性的定义 )
都是反映函数随自 变量的变化情况。
2、确定函数 f(x)=2x3-6x2+7 在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?
1 能画出函数的图象吗? 2 能用单调性的定义吗?试一试,提问一个学生:解决了吗?到哪一步解决不了?( 产生
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案 一.学习目标:1 了解可导函数的单调性与其导数的关系.
2 掌握利用导数判断函数单调性的方法. 学习重点:利用导数符号判断一个函数在其定义区间内的单调性. 二、学习过程
【引 例】
学海无涯
1.确定函数 y x2 4x 3 在哪个区间内是增函数?在哪个区间内是减函数?
解答:,
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