1.3.1函数的单调性和导数.pptx

问 1）、为什么 y x2 4x 3 在 (, 2) 上是减函数，在 (2,) 上是增函数？
解答：， 2）、研究函数的单调区间你有哪些方法？
解答：， 2、确定函数 f(x)=2x3－6x2+7 在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？ 解答：， 【探 究】 我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。
5
学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。
得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）：
①该函数在区间(, 2) 上单调递减，切线斜率小于 0，即其导数为负；
在区间(2, ) 上单调递增，切线斜率大于 0，即其导数为正；
注：切线斜率等于 0，即其导数为 0；如何理解？
②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？ 2、先看一次函数图象； 3、再看两个我们熟悉的函数图象。（验证）
1
观察三次函数 y x3 的图象；（几何画板演示）
2
观察某个函数的图象。（几何画板演示）
指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导
数研究函数的单调性（幻灯放映课题）。
例1、 求证： y x3 1 在 (, 0) 上是增函数。
由学生叙述过程老师板书：
因为 y' (x3 1)' 2x2 ， x (, 0) ，
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所以 x2 0 ，即 y' 0 ，
所以函数 y x3 1 在 (, 0) 上是增函数。
注：我们知道 y x3 1 在 R 上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明。
在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
２．已知函数 f (x) x ln x ，则（ ） A．在 (0,) 上递增 B．在 (0,) 上递减
C．在
0,
1 e
上递增
D．在
0,
1 e
上递减
３．函数 f (x) x3 3x2 5 的单调递增区间是
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1. 3.1 函数的单调性和导数
课前预习学案 一、预习目标
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2. 掌握利用导数判断函数单调性的步骤。 二、预习内容
3. 利用导数的符号来判断函数单调性:
一般地，设函数 y f (x) 在某个区间可导，
如果在这个区间内 f ' (x) 0 ，则 y f (x) 为这个区间内的
（2）若 f '(x) ＝0 在某个区间内恒成立，f(x)是什么函数 ？
若某个区间内恒有 f '(x)＝0，则 f (x)为
函数．
结论应用： 由以上结论知：函数的单调性与其
性。下面举例说明：
有关，因此我们可以用
【例题讲解】
去探讨函数的单调
例1、 求证： y x3 1 在 (, 0) 上是增函数。
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【新课讲解】 4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生
回答。（幻灯放映）
一般地，设函数 y f (x) 在某个区间可导，则函数在该区间内
如果在这个区间内 f ' (x) 0 ，则 y f (x) 为这个区间内的增函数；
如果在这个区间内 f ' (x) 0 ，则 y f (x) 为这个区间内的减函数。
.
令 6x2－12x＜0，解得 0＜x＜2.∴当 x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.
学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：
1
确定函数 f(x)的定义域；
2
求函数 f(x)的导数 f′(x).
3
令 f′(x)＞0 解不等式，得 x 的范围就是递增区间.
令 f′(x)＜0 解不等式，得 x 的范围，就是递减区间
归纳步骤：1、
；2、
；3、
。
例2、 确定函数 f(x)=2x3－6x2+7 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
小结：用导数求函数单调区间的步骤：
（1）
；
（2）
；
（3）
【课堂练习】 1．确定下列函数
的单调区间 (1)y=x3－9x2+24x
(2)y=3x－x3
2、设 y f (x) 是函数 y f (x) 的导数, y f (x) 的
问：如何入手？（图象） 从函数 f(x)=2x3－6x2+7 的图象吗？
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1、研究二次函数 y x2 4x 3 的图象；
1
学生自己画图研究探索。
2
提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？
3
（开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。
4
提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量） 能反映函数的变化规律？
一般地，设函数 y f (x) 在某个区间可导，
如果在这个区间内 f ' (x) 0 ，则 y f (x) 为这个区间内的
；
如果在这个区间内 f ' (x) 0 ，则 y f (x) 为这个区间内的
。
思考：（1）若 f '(x)＞0 是 f(x)在此区间上为增函数的什么条件？ 回答：
提示： f(x)＝x3，在 R 上是单调递增函数，它的导数恒＞０吗？
2、设 y f (x) 是函数 y f (x) 的导数, y f (x) 的
图象如图所示, 则 y f (x) 的图象最有可能是(
)
小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？ 【课堂小结】 1.函数导数与单调性的关系:若函数 y=f(x)在某个区间内可导,
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′
如果 f (x)>0, 则 f(x)为增函数;如果 f′(x)<0, 则 f(x)为减函数.
.∴y=x3－9x2+24x 的单调减区间是(2，4) (2)解：y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1)
令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1. ∴y=3x－x3 的单调增区间是(－1，1). 令－3(x+1)(x－1)＜0，解得 x＞1 或 x＜－1. ∴y=3x－x3 的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)
若某个区间内恒有 f '(x)＝0，则 f (x)为
函数．
2. 利用导数确定函数的单调性的步骤： (1) 确定函数 f(x)的定义域； (2) 求出函数的导数； (3)解不等式 f (x)＞0，得函数的单调递增区间； 解不等式 f (x)＜0，得函数的单调递减区间．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
在函数 y=f(x)比较复杂的情况下，比较 f(x1)与 f(x2)的大小并不很容易． 如果利用 导数来判断函数的单调性就比较简单。根据课程标准，本节分为四课时，此为第一课时。 二、教学目标 1，知识目标： 1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2）掌握利用导数判断函数单调性的步骤。 2，能力目标：
【课堂练习】 1．确定下列函数
的单调区间 (1)y=x3－9x2+24x
(2)y=3x－x3
(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4) 令 3(x－2)(x－4)＞0，解得 x＞4 或 x＜2. ∴y=x3－9x2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令 3(x－2)(x－4)＜0，解得 2＜x＜4
认知冲突）
【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在
不知道函数的图象的时候，如函数 f(x)=2x3－6x2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解
决。（研究的必要性）事实上用定义研究函数 y x2 4x 3 的单调区间也不容易。
【探 究】 我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。
研究二次函数 y x2 4x 3 的图象，研究它的单调性。
2
提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？
回答：
3
我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？
观察图像，能得到什么结论
回答： 【新课讲解】
根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？
学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论。
例2、 确定函数 f(x)=2x3－6x2+7 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数. 由学生叙述过程老师板书：
解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x, 令 6x2－12x＞0，解得 x＞2 或 x＜0 ∴当 x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数;当 x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数
若在某个区间内恒有 f ' (x) 0 ，则 f (x) 为常函数。
这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的。严格的证 明需要用到中值定理，大学里才能学到。这儿我们可以直接用这个结论。 小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂。 结论应用： 由以上结论知：函数的单调性与其导数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。 下面举例说明： 【例题讲解】
C．
A．在 (0,) 上递增 B．在 (0,) 上递减
C．在
0,
1 e
上递增
D．在
0,
1 e
上递减
３．函数 f (x) x3 3x2 5 的单调递增区间是
x ．
O
x
D．
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1.3.1 函数的单调性和导数教案
一、教材分析
以前，我们用定义来判断函数的单调性． 对于任意的两个数 x1，x2∈I，且当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么函数 f(x)就是区间 I 上的增函数． 对于任意的两个数 x1，x2 ∈I，且当 x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么函数 f(x)就是区间 I 上的减函数。
学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。 3，情感、态度与价值观目标：
在愉悦的学习氛围中，学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊 到一般。
三、教学重点难点 教学重点：利用导数判断函数单调性。 教学难点：利用导数判断函数单调性。. 四、教学方法：探究法 五、课时安排：1 课时 六、教学过程
；
如果在这个区间内 f ' (x) 0 ，则 y f (x) 为这个区间内的
。
思考：（1）若 f '(x)＞0 是 f(x)在此区间上为增函数的什么条件？ 回答：
提示： f(x)＝x3，在 R 上是单调递增函数，它的导数恒＞０吗？ （2）若 f '(x) ＝0 在某个区间内恒成立，f(x)是什么函数 ？
2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意 数形结合在解题中的应用. 3. 掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂. 【课后练习】
１．（2007 年浙江卷）设 f (x) 是函数 f (x) 的导函数，将 y f (x) 和 y f (x) 的图象画
【引例】
1．确定函数 y x2 4x 3 在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？
解： y x2 4x 3 (x 2)2 1，在 (, 2) 上是减函数，在 (2, ) 上是增函数。
问：1）、为什么 y x2 4x 3 在 (, 2) 上是减函数，在 (2, ) 上是增函数？
图象如图所示, 则 y f (x) 的图象最有可能是(
)
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课后练习与提高
１．（2007 年浙江卷）设 f (x) 是函数 f (x) 的导函数，将 y f (x) 和 y f (x) 的图象画
在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
y
y
y
y
O
x
O
x
O
２．已知A．函数 f (x) x ln x ，B则．（）
2）、研究函数的单调区间你有哪些方法？
1 2
观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）
利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义 ）
都是反映函数随自 变量的变化情况。
2、确定函数 f(x)=2x3－6x2+7 在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？
1 能画出函数的图象吗？ 2 能用单调性的定义吗？试一试，提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（ 产生
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案 一．学习目标：1 了解可导函数的单调性与其导数的关系.
2 掌握利用导数判断函数单调性的方法. 学习重点：利用导数符号判断一个函数在其定义区间内的单调性. 二、学习过程
【引 例】
学海无涯
1．确定函数 y x2 4x 3 在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？
解答：，