质点习题课
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选择题答案应选【c】。
x 2
x
6
例2 一质点以静止出发沿半径为R＝3m的圆周运动，切 向加速度at＝3m/s,当总加速度与半径成450时，所经过 的时间t=____,在上述时间内质点经过的路程s=_____。
t dv at v v0 at dt 3t 0 dt v 2 (3t ) 2 an 3t 2 R 3 当 an at时， 有3t 2 3, t 1( s)
2
1 1 2 2 A m(v2 v1 ) 0.5 (41 29) 3(J) 2 2
18
例10 今有一倔强系数为k的轻弹簧，竖直放置，下端 悬挂一质量为m的小球，开始时使弹簧为原长而小球 恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球刚 能脱离地面位置，在此过程中外力作功为:
I I mg IT 0, 2mg IT IT I mg
21
例13 如图，光滑斜面与水平面的夹角为＝300，轻弹 簧上端固定，今在弹簧的另一端轻轻挂上质量为M＝ 1kg的木块，则木块沿斜面向下滑动。当木块下滑x＝30 厘米时，恰好有一质量m=0.01kg的子弹，沿水平方向以 速度v=200m/s射中木块并陷在其中。设弹簧的倔强系数 为k=1N/m,求子弹打入木块后他们的共同速度。 解：（1）木块下滑过程机械能守恒 k 选弹簧原长处为势能零点 M 0 m 1 2 1 2 kx MV1 Mgx sin 0 2 2 kx2 解出： v1 2 gx sin 0.83 m/s （滑块） M 方向沿斜面向下。
1 1
t2
y 0.5t
A mtdt t 1 t2 4 1 2 2 A mtdt 0.5 tdt 0.5 (4 2 ) 3(J) t 2 2 1
2
y 1
dy tdt
17
解法二：动能定理
1 2 2 A F dr m(v2 v1 ) v xi yj 5i tj (m/s ) 1 2 2 2 2 t 2s v1 5i 2 j (m/s ) v1 5 2 29 2 2 2 t 4s v2 5i 4 j (m/s ) v2 5 4 41
y y2 y1 (19 2 2 ) (19 2 1 ) 6 m
2 2
2 2 2 2 r x y 2 (6) 40 6.32 m
9
Δr 6.32 Δr v 6.32 m/s Δt Δt 1
（2）第2秒末瞬时速度大小
2
2、质点的运动规律 （1）基本规律（力的瞬时作用规律）
d(mv ) dP F外 dt dt
（2）三大定理（力的累积作用规律）
F外dt p ( F外 dp / dt ) F外 dr＋ f内 dr＝Ek M 外dt L (M 外 dL / dt )
2 2
4
a
at
12
2.4t 14.4t 2.4 3 3 t 14.4 2.4 3 3 2 4t 2 4( ) 3.15 (rad ) 14.4
4
Байду номын сангаас3 3
13
例8 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为
4 105 F 400 t 3
子弹从枪口射出时的速率为300m/s，假设子弹离开 枪口时合力刚好为零，则求（1）子弹走完枪筒全长 所用时间t=?（2）子弹在枪筒中所受力的冲量I＝？ （3）子弹的质量m＝？ 400 3 3 103 (s) 解（1）力为零时所用时间 t 5
（3）三大守恒定律（对一个变化过程中的任意两态)
当 F外＝0 或 F外 f内 ， Pi c
当 A外＋A内非保＝0 时, E EP Ek C ' 当 M 外＝0 ， L C
3
3、基本计算要求 （1）熟练计算四个物理量，特别是加速度a.
(2) 变力积分 A F dr L r mv （3）与点或轴有关的量 M r F I Fdt
(4) 三个守恒定律的综合应用
二、分析举例
4
例1 湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的 定滑轮拉湖中的船向岸边运动，设该人以匀速率v0收绳。 绳不伸长，湖水静止，则小船的运动是: （A）匀 加速（B）匀减速（C）变加速（D）变减速（E）匀速 直线 v
例4 一质点在xoy平面内运动，运动方程为
x 2t
y 19 2t
2
(SI )
求（1）第2秒内质点的平均速度大小；（2）第2秒末瞬 时速度大小。
r r (1) v v r x i y j t t x x2 x1 2 2 2 1 2 m
(2) I Fdt
0 t 3103 0
(3) 由动量定理 I p＝m(v 0) I 0.6 m 2 (g ) v 300
45 10 4 10 (400 t )dt 0.6 ( N s) 3
16
例9 质量为m=0.5kg的质点，在xoy坐标平面内运动， 其运动方程为x=5t, y=0.5t2.从t=2s到t=4s这段时间外力对 质点所作的功。 解法一：功的定义
19
例12 一圆锥摆，质量为m的小球在水平面内以匀速 转动,在小球转动一周的过程中,（1）小球冲量的大小等 于______；(2)小球所受重力的冲量的大小等于_____； (3)小球所受绳子拉力的冲量大小等于______。 解： （1）小球冲量的大小 v 不变，转动一周时，P＝0 ， I P, I 0 (2)小球所受重力的冲量的大小 m 2 2 mg I mg mgdt mg dt mgT mg (3)小球所受绳子拉力的冲量大小 拉力是变力，方向在不断改变，应避开求拉力的冲量。
习题课－质点力学
一、基本内容与要求 1.如何描述运动 (1)用四个物理量 r ( )、r ( )、v ()、a( )
质点作一般曲线运动时，a a a dv e v e t n t n
2
当 a 0 2 v 当 a an en R dv 当 a at et dt
1s内质点沿圆周所走过的路程 1 2 1 s at t 3 1 1.5 m 2 2
7
例3 表示切向加速度，下列表达式中哪个正确？
表示位置矢量，S表示路程，a 质点作曲线运动， r t
dv dr ds dv (1) a (2) v (3) v (4) at dt dt dt dt dv d v 解： (1) at dt dt dr d r (2) vr r 沿矢径方向的变化率 dt dt ds (3) v 正确； dt dv (4) a a dt 8
dr v x i y j 2 i (4t ) j dt v2 2 i (4 2) j 2 i 8 j (m/s ) 2 2 v2 2 i (4 2) j 2 8 8.25 (m/s )
（2）求当 at＝1/2 a时 值
2
例6 一质点沿半径为0.1m的圆周运动，其角位移可 用下式表示＝2＋4t3，求（1）当t=2s时的切向加速 度at；（2）当 at＝1/2 a时， ＝？ 解： （1）当t=2s时的切向加速度at
an R (12t ) 0.1 14.4t 1 0 0 at a a cos 60 an cot 60 2 3 4 at (14.4t ) 3 又 at R 2.4t
m2 g 2 m2 g 2 m2 g 2 2m 2 g 2 ( A) ( B) (C ) ( D) 4k 3k 2k k 解 缓慢提起，Ek 0, A合＝A外＋A弹＝Ek＝0
小球刚能脱离地面时，弹力与重力平衡， kx0 mg 小球在伸长x0刚能脱离地面的过程中，弹力作功为 x0 1 2 1 mg 2 m2 g 2 A弹＝ (kx) dx kx0 k ( ) 0 2 2 k 2k m2 g 2 m2 g 2 A外＝－A弹＝ ＝ , 答案应选（C） . 2k 2k
0 vdv 0 (2 6 x
v
x
2
)dx
(m/s )
11
v2 3 3 2x 2x v 2 x x 2
12t 2 24t 0.1 24t 2.4 2 4.8 (m / s 2 ) at R R
x
x
v0
v0 v cos v0 v cos
r
h
v
v0
v0 h dv d v0 dx 2 2 a ( x h ) dt dt x x 2 x 2 h 2 dt 2 h 2 a 3 v0 (负号表示船向岸运动) x h2 2 x , a 3 v0 船作变加速运动。 x
10
例5 一质点沿x坐标运动，其加速度a与位置坐标x的关 系为 a=2+6x2。如果质点在原点处的速度为零，试求 其在任意位置处的速度。 解：设质点在x处的速度为v，
dv dv dx dv 2 a v 2 6x dt dx dt dx 2 vdv (2 6 x )dx
dt R 质点作匀速直线运动
质点作匀速率圆周运动
质点作变速直线运动
1
（2）如何求四个物理量 －运动学两类基本问题
dr dv 已知 r (t ) v a dt dt d d 已知 (t ) dt dt
v r 2 an r a r t
0
常见解法: v v0 cos 错误原因:把绳缩短的速率 当成绳端即船头的速率。 正确解法:
r
h
v
v0
r x2 h2 dr dx v0 (dr 0, v0 0) v (dx 0, v 0) dt dt dr d x 2 2 收绳 v0 ＝－ x h v dt dt r 5
22
（2）以子弹和木块为系统，在子弹射入木块过程中 外力沿斜面方向的分力可忽略不计，沿斜面方向应用 动量守恒定律，设沿斜面向下为正，则有：
已知 a (t ) 和初始 件 v v0 adt r r0 vdt 已知 (t ) 和初始条件 0 dt 0 dt
（3）两个惯性系中变换关系
r r ' r0 , v v ' v0 , a a ' a0
A F dr 1 F ma mj
2
2 F ma a i j 1(m/s ) j x y 2 y2 2 A F dr mj (dxi dyj ) mdy
x 2
x
6
例2 一质点以静止出发沿半径为R＝3m的圆周运动，切 向加速度at＝3m/s,当总加速度与半径成450时，所经过 的时间t=____,在上述时间内质点经过的路程s=_____。
t dv at v v0 at dt 3t 0 dt v 2 (3t ) 2 an 3t 2 R 3 当 an at时， 有3t 2 3, t 1( s)
2
1 1 2 2 A m(v2 v1 ) 0.5 (41 29) 3(J) 2 2
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例10 今有一倔强系数为k的轻弹簧，竖直放置，下端 悬挂一质量为m的小球，开始时使弹簧为原长而小球 恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球刚 能脱离地面位置，在此过程中外力作功为:
I I mg IT 0, 2mg IT IT I mg
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例13 如图，光滑斜面与水平面的夹角为＝300，轻弹 簧上端固定，今在弹簧的另一端轻轻挂上质量为M＝ 1kg的木块，则木块沿斜面向下滑动。当木块下滑x＝30 厘米时，恰好有一质量m=0.01kg的子弹，沿水平方向以 速度v=200m/s射中木块并陷在其中。设弹簧的倔强系数 为k=1N/m,求子弹打入木块后他们的共同速度。 解：（1）木块下滑过程机械能守恒 k 选弹簧原长处为势能零点 M 0 m 1 2 1 2 kx MV1 Mgx sin 0 2 2 kx2 解出： v1 2 gx sin 0.83 m/s （滑块） M 方向沿斜面向下。
1 1
t2
y 0.5t
A mtdt t 1 t2 4 1 2 2 A mtdt 0.5 tdt 0.5 (4 2 ) 3(J) t 2 2 1
2
y 1
dy tdt
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解法二：动能定理
1 2 2 A F dr m(v2 v1 ) v xi yj 5i tj (m/s ) 1 2 2 2 2 t 2s v1 5i 2 j (m/s ) v1 5 2 29 2 2 2 t 4s v2 5i 4 j (m/s ) v2 5 4 41
y y2 y1 (19 2 2 ) (19 2 1 ) 6 m
2 2
2 2 2 2 r x y 2 (6) 40 6.32 m
9
Δr 6.32 Δr v 6.32 m/s Δt Δt 1
（2）第2秒末瞬时速度大小
2
2、质点的运动规律 （1）基本规律（力的瞬时作用规律）
d(mv ) dP F外 dt dt
（2）三大定理（力的累积作用规律）
F外dt p ( F外 dp / dt ) F外 dr＋ f内 dr＝Ek M 外dt L (M 外 dL / dt )
2 2
4
a
at
12
2.4t 14.4t 2.4 3 3 t 14.4 2.4 3 3 2 4t 2 4( ) 3.15 (rad ) 14.4
4
Байду номын сангаас3 3
13
例8 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为
4 105 F 400 t 3
子弹从枪口射出时的速率为300m/s，假设子弹离开 枪口时合力刚好为零，则求（1）子弹走完枪筒全长 所用时间t=?（2）子弹在枪筒中所受力的冲量I＝？ （3）子弹的质量m＝？ 400 3 3 103 (s) 解（1）力为零时所用时间 t 5
（3）三大守恒定律（对一个变化过程中的任意两态)
当 F外＝0 或 F外 f内 ， Pi c
当 A外＋A内非保＝0 时, E EP Ek C ' 当 M 外＝0 ， L C
3
3、基本计算要求 （1）熟练计算四个物理量，特别是加速度a.
(2) 变力积分 A F dr L r mv （3）与点或轴有关的量 M r F I Fdt
(4) 三个守恒定律的综合应用
二、分析举例
4
例1 湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的 定滑轮拉湖中的船向岸边运动，设该人以匀速率v0收绳。 绳不伸长，湖水静止，则小船的运动是: （A）匀 加速（B）匀减速（C）变加速（D）变减速（E）匀速 直线 v
例4 一质点在xoy平面内运动，运动方程为
x 2t
y 19 2t
2
(SI )
求（1）第2秒内质点的平均速度大小；（2）第2秒末瞬 时速度大小。
r r (1) v v r x i y j t t x x2 x1 2 2 2 1 2 m
(2) I Fdt
0 t 3103 0
(3) 由动量定理 I p＝m(v 0) I 0.6 m 2 (g ) v 300
45 10 4 10 (400 t )dt 0.6 ( N s) 3
16
例9 质量为m=0.5kg的质点，在xoy坐标平面内运动， 其运动方程为x=5t, y=0.5t2.从t=2s到t=4s这段时间外力对 质点所作的功。 解法一：功的定义
19
例12 一圆锥摆，质量为m的小球在水平面内以匀速 转动,在小球转动一周的过程中,（1）小球冲量的大小等 于______；(2)小球所受重力的冲量的大小等于_____； (3)小球所受绳子拉力的冲量大小等于______。 解： （1）小球冲量的大小 v 不变，转动一周时，P＝0 ， I P, I 0 (2)小球所受重力的冲量的大小 m 2 2 mg I mg mgdt mg dt mgT mg (3)小球所受绳子拉力的冲量大小 拉力是变力，方向在不断改变，应避开求拉力的冲量。
习题课－质点力学
一、基本内容与要求 1.如何描述运动 (1)用四个物理量 r ( )、r ( )、v ()、a( )
质点作一般曲线运动时，a a a dv e v e t n t n
2
当 a 0 2 v 当 a an en R dv 当 a at et dt
1s内质点沿圆周所走过的路程 1 2 1 s at t 3 1 1.5 m 2 2
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例3 表示切向加速度，下列表达式中哪个正确？
表示位置矢量，S表示路程，a 质点作曲线运动， r t
dv dr ds dv (1) a (2) v (3) v (4) at dt dt dt dt dv d v 解： (1) at dt dt dr d r (2) vr r 沿矢径方向的变化率 dt dt ds (3) v 正确； dt dv (4) a a dt 8
dr v x i y j 2 i (4t ) j dt v2 2 i (4 2) j 2 i 8 j (m/s ) 2 2 v2 2 i (4 2) j 2 8 8.25 (m/s )
（2）求当 at＝1/2 a时 值
2
例6 一质点沿半径为0.1m的圆周运动，其角位移可 用下式表示＝2＋4t3，求（1）当t=2s时的切向加速 度at；（2）当 at＝1/2 a时， ＝？ 解： （1）当t=2s时的切向加速度at
an R (12t ) 0.1 14.4t 1 0 0 at a a cos 60 an cot 60 2 3 4 at (14.4t ) 3 又 at R 2.4t
m2 g 2 m2 g 2 m2 g 2 2m 2 g 2 ( A) ( B) (C ) ( D) 4k 3k 2k k 解 缓慢提起，Ek 0, A合＝A外＋A弹＝Ek＝0
小球刚能脱离地面时，弹力与重力平衡， kx0 mg 小球在伸长x0刚能脱离地面的过程中，弹力作功为 x0 1 2 1 mg 2 m2 g 2 A弹＝ (kx) dx kx0 k ( ) 0 2 2 k 2k m2 g 2 m2 g 2 A外＝－A弹＝ ＝ , 答案应选（C） . 2k 2k
0 vdv 0 (2 6 x
v
x
2
)dx
(m/s )
11
v2 3 3 2x 2x v 2 x x 2
12t 2 24t 0.1 24t 2.4 2 4.8 (m / s 2 ) at R R
x
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v0
v0 v cos v0 v cos
r
h
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v0 h dv d v0 dx 2 2 a ( x h ) dt dt x x 2 x 2 h 2 dt 2 h 2 a 3 v0 (负号表示船向岸运动) x h2 2 x , a 3 v0 船作变加速运动。 x
10
例5 一质点沿x坐标运动，其加速度a与位置坐标x的关 系为 a=2+6x2。如果质点在原点处的速度为零，试求 其在任意位置处的速度。 解：设质点在x处的速度为v，
dv dv dx dv 2 a v 2 6x dt dx dt dx 2 vdv (2 6 x )dx
dt R 质点作匀速直线运动
质点作匀速率圆周运动
质点作变速直线运动
1
（2）如何求四个物理量 －运动学两类基本问题
dr dv 已知 r (t ) v a dt dt d d 已知 (t ) dt dt
v r 2 an r a r t
0
常见解法: v v0 cos 错误原因:把绳缩短的速率 当成绳端即船头的速率。 正确解法:
r
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v
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r x2 h2 dr dx v0 (dr 0, v0 0) v (dx 0, v 0) dt dt dr d x 2 2 收绳 v0 ＝－ x h v dt dt r 5
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（2）以子弹和木块为系统，在子弹射入木块过程中 外力沿斜面方向的分力可忽略不计，沿斜面方向应用 动量守恒定律，设沿斜面向下为正，则有：
已知 a (t ) 和初始 件 v v0 adt r r0 vdt 已知 (t ) 和初始条件 0 dt 0 dt
（3）两个惯性系中变换关系
r r ' r0 , v v ' v0 , a a ' a0
A F dr 1 F ma mj
2
2 F ma a i j 1(m/s ) j x y 2 y2 2 A F dr mj (dxi dyj ) mdy