当雄县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

当雄县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数f （x ）=m （x ﹣）﹣2lnx （m ∈R ），g （x ）=﹣，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＜g （x 0）成立，则实数m 的范围是（ ）
A ．（﹣∞，]
B ．（﹣∞，）
C ．（﹣∞，0]
D ．（﹣∞，0）
2． 设a 是函数
x 的零点，若x 0＞a ，则f （x 0）的值满足（ ）
A ．f （x 0）=0
B ．f （x 0）＜0
C ．f （x 0）＞0
D ．f （x 0）的符号不确定
3． 若1sin(
)34π
α-=
，则cos(2)3π
α+=
A 、78-
B 、14
- C 、14 D 、78
4． 特称命题“∃x ∈R ，使x 2+1＜0”的否定可以写成（ ） A ．若x ∉R ，则x 2+1≥0
B ．∃x ∉R ，x 2+1≥0
C ．∀x ∈R ，x 2+1＜0
D ．∀x ∈R ，x 2+1≥0 5． 已知函数f （x ）=3cos （2x ﹣），则下列结论正确的是（ ）
A ．导函数为
B ．函数f （x ）的图象关于直线对称
C ．函数f （x ）在区间（﹣
，
）上是增函数
D ．函数f （x ）的图象可由函数y=3co s2x 的图象向右平移
个单位长度得到
6． 已知集合2
{320,}A x x x x R =-+=∈，{05,}B x x x N =<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的
个数为
A 、
B 、2
C 、3
D 、4
7． f （）=，则f （2）=（ ）
A ．3
B ．1
C ．2
D ．
8．已知四个函数f（x）=sin（sinx），g（x）=sin（cosx），h（x）=cos（sinx），φ（x）=cos（cosx）在x∈[﹣π，π]上的图象如图，则函数与序号匹配正确的是（）
A．f（x）﹣①，g（x）﹣②，h（x）﹣③，φ（x）﹣④B．f（x）﹣①，φ（x）﹣②，g（x）﹣③，h（x）﹣④
C．g（x）﹣①，h（x）﹣②，f（x）﹣③，φ（x）﹣④D．f（x）﹣①，h（x）﹣②，g（x）﹣③，φ（x）﹣④
9．如果过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是（）
A．B．C．D．
10．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别为（）
A．10 13 B．12.5 12 C．12.5 13 D．10 15
11．下列各组表示同一函数的是（）
A．y=与y=（）2B．y=lgx2与y=2lgx
C．y=1+与y=1+D．y=x2﹣1（x∈R）与y=x2﹣1（x∈N）
12．“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为
cm3．
14．在极坐标系中，O是极点，设点A，B的极坐标分别是（2，），（3，），则O点到直线AB 的距离是．
15．设f（x）是（x2+）6展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，则实数m的取值范围是．
16．设a抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2+ax+a=0有两个不等实数根的概率为．
O A B C的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的
17．如图，正方形''''
周长为．
1111]
18．台风“海马”以25km/h的速度向正北方向移动，观测站位于海上的A点，早上9点观测，台风中心位于其东南方向的B点；早上10点观测，台风中心位于其南偏东75°方向上的C点，这时观测站与台风中心的距离AC等于km．
三、解答题
19．已知，且．
（1）求sinα，cosα的值；
（2）若，求sinβ的值．
20．（本小题满分12分）已知函数1
()ln (42)()f x m x m x m x
=+-+∈R ． （1）当2m >时，求函数()f x 的单调区间； （2）设[],1,3t s ∈，不等式|()()|(ln3)(2)2ln3f t f s a m -<+--对任意的()4,6m ∈恒成立，求实数a 的
取值范围．
【命题意图】本题考查函数单调性与导数的关系、不等式的性质与解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力．
21．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数3212)(-++=x x x f ．
（I ）若R x ∈∃0，使得不等式m x f ≤)(0成立，求实数m 的最小值M ； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若正数,a b 满足3a b M +=，证明：31
3b a
+≥.
22．（本小题满分10分）
已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，将曲线1cos :sin x C y θ
θ=⎧⎨=⎩
，（α为参数），经过伸缩变
换
3
2
x x
y y
'=
⎧
⎨'
=
⎩
后得到曲线
2
C．
（1）求曲线
2
C的参数方程；
（2）若点M的在曲线
2
C上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．
23．已知椭圆G：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
24．（本小题满分12分）在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF均为正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且24
AB BG BH
==．
（1）求证：平面AGH⊥平面EFG；
（2）求二面角D FG E
--的大小的余弦值．
当雄县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】 B
【解析】解：由题意，不等式f （x ）＜g （x ）在[1，e]上有解，
∴mx ＜2lnx ，即＜在[1，e]上有解，
令h （x ）=
，则h ′（x ）=
，
∵1≤x ≤e ，∴h ′（x ）≥0，
∴h （x ）max =h （e ）=，
∴＜h （e ）=，
∴m ＜．
∴m 的取值范围是（﹣∞，）． 故选：B ．
【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
2． 【答案】C
【解析】解：作出y=2x
和y=log
x 的函数图象，如图：
由图象可知当x 0＞a 时，2
＞log x 0，
∴f （x 0）=2﹣log x 0＞0．
故选：C ．
3． 【答案】A
【解析】 选A ，解析：2
227
cos[(2)]cos(2)[12sin ()]33
38
π
ππαπαα--=--=---=-
4． 【答案】D
【解析】解：∵命题“∃x ∈R ，使x 2
+1＜0”是特称命题
∴否定命题为：∀x ∈R ，都有x 2
+1≥0．
故选D ．
5． 【答案】B
【解析】解：对于A ，函数f ′（x ）=﹣3sin （2x ﹣）•2=﹣6sin （2x ﹣
），A 错误；
对于B ，当x=
时，f （
）=3cos （2×
﹣
）=﹣3取得最小值，
所以函数f （x ）的图象关于直线对称，B 正确；
对于C ，当x ∈（﹣
，
）时，2x ﹣
∈（﹣
，
），
函数f （x ）=3cos （2x ﹣）不是单调函数，C 错误；
对于D ，函数y=3co s2x 的图象向右平移个单位长度，
得到函数y=3co s2（x ﹣
）=3co s （2x ﹣
）的图象，
这不是函数f （x ）的图象，D 错误． 故选：B ．
【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
6． 【答案】D
【解析】{|(1)(2)0,}{1,2}A x x x x =--=∈=R ， {}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x ．
∵⊆⊆A C B ，∴C 可以为{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,3,4． 7． 【答案】A
【解析】解：∵f（）=，
∴f（2）=f（）==3．
故选：A．
8．【答案】D
【解析】解：图象①是关于原点对称的，即所对应函数为奇函数，只有f（x）；
图象②④恒在x轴上方，即在[﹣π，π]上函数值恒大于0，符合的函数有h（x）和Φ（x），
又图象②过定点（0，1），其对应函数只能是h（x），
那图象④对应Φ（x），图象③对应函数g（x）．
故选：D．
【点评】本题主要考查学生的识图、用图能力，从函数的性质入手结合特殊值是解这一类选择题的关键，属于基础题．
9．【答案】D
【解析】解：设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），
联立，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0，
∵过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，
∴△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）≥0，
整理，得k2，
解得﹣≤k≤．
∴直线l的斜率k的取值范围是[﹣，]．
故选：D．
【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．10．【答案】C
【解析】解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，
∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5
而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标
第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可
∴中位数是13
故选：C．
【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距
×，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．
11．【答案】C
【解析】解：A．y=|x|，定义域为R，y=（）2
=x，定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不能表示同一函数．B．y=lgx2，的定义域为{x|x≠0}，y=2lgx的定义域为{x|x＞0}，所以两个函数的定义域不同，所以不能表示同一函数．
C．两个函数的定义域都为{x|x≠0}，对应法则相同，能表示同一函数．
D．两个函数的定义域不同，不能表示同一函数．
故选：C．
【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．
12．【答案】B
【解析】解：若方程+=1表示椭圆，
则满足，即，
即1＜m＜3且m≠2，此时1＜m＜3成立，即必要性成立，
当m=2时，满足1＜m＜3，但此时方程+=1等价为为圆，不是椭圆，不满足条件．即充分性不成立
故“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件，
故选：B
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键．
二、填空题
13．【答案】6
【解析】解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO==，
所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．
故答案为：6．
14．【答案】．
【解析】解：根据点A，B的极坐标分别是（2，），（3，），可得A、B的直角坐标分别是（3，
）、（﹣，），
故AB的斜率为﹣，故直线AB的方程为y﹣=﹣（x﹣3），即x+3y﹣12=0，
所以O点到直线AB的距离是=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．15．【答案】[5，+∞）．
【解析】二项式定理．
【专题】概率与统计；二项式定理．
【分析】由题意可得f（x）=x3，再由条件可得m≥x2在区间[，]上恒成立，求得x2在区间[，]上的最大值，可得m的范围．
【解答】解：由题意可得f（x）=x6=x3．
由f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，可得m≥x2
在区间[，]上恒成立，
由于x2在区间[，]上的最大值为5，故m≥5，
即m的范围为[5，+∞），
故答案为：[5，+∞）．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，函数的恒成立问题，属于中档题．
16．【答案】．
【解析】解：∵a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，
∴试验发生包含的事件数6，
∵方程x2+ax+a=0 有两个不等实根，
∴a2﹣4a＞0，
解得a＞4，
∵a是正整数，
∴a=5，6，
即满足条件的事件有2种结果，
∴所求的概率是=，
故答案为：
【点评】本题考查等可能事件的概率，在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数，是解题的关键．
17．【答案】8cm
【解析】
考点：平面图形的直观图．
18．【答案】25
【解析】解：由题意，∠ABC=135°，∠A=75°﹣45°=30°，BC=25km，
由正弦定理可得AC==25km，
故答案为：25．
【点评】本题考查三角形的实际应用，转化思想的应用，利用正弦定理解答本题是关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）将sin +cos
=
两边平方得：（sin
+cos
）2=sin
2
+2sin cos
+cos 2
=1+sin α=，
∴sin α=，
∵α∈（，π），
∴cos α=﹣=﹣
；
（2）∵α∈（，π），β∈（0，），
∴α+β∈（
，
），
∵sin （α+β）=﹣＜0，
∴α+β∈（π，），
∴cos （α+β）=﹣
=﹣，
则sin β=sin=sin （α+β）cos α﹣cos （α+β）sin α=﹣×（﹣）﹣（﹣）×=
+
=
．
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．
20．【答案】
【解析】（1）函数定义域为(0,)+∞
令()0f x '=，得112x =
2分 当4m =时，()0f x '≤
当24m <<时，由()0f x '>，得
所以函数()f x 当4m >时，由()0f x '>，得
5分 ()f x 的单调递增区间为
；当4m >时，函数()f x 2m -2
请
考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分． 21．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查基本不等式、绝对值三角不等式等基础知识，意在考查转化思想和基本运算能力．
22．【答案】（1）
3cos
2sin
x
y
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
（为参数）；（2
【解析】
试题解析：
（1）将曲线
1
cos :
sin x
C
y
α
α=
⎧
⎨
=
⎩
（α为参数），化为
221
x y
+=，由伸缩变换
3
2
x x
y y
'=
⎧
⎨'
=
⎩
化为
1
3
1
2
x x
y y
⎧'
=
⎪⎪
⎨
⎪'
=
⎪⎩
，
代入圆的方程
2
11
1
32
x y
⎛⎫⎛⎫
''
+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，得到
()()
22
2
:1
94
x y
C
''
+=，
可得参数方程为
3cos
2sin
x
y
α
α
=
⎧
⎨
=
⎩
；
考点：坐标系与参数方程．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知得，c=，，
解得a=，又b2
=a2﹣c2=4，
所以椭圆G的方程为．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，
由得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），
则x0==﹣，
y0=x0+m=，
因为AB是等腰△PAB的底边，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k=，
解得m=2．
此时方程①为4x2+12x=0．
解得x1=﹣3，x2=0，
所以y1=﹣1，y2=2，
所以|AB|=3，此时，点P（﹣3，2）．
到直线AB：y=x+2距离d=，
所以△PAB的面积s=|AB|d=．
24．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力，以及转化的思想、方程思想．
∵GH∈平面AGH，∴平面AGH⊥平面EFG．……………………………5分。