第十二章时间序列回归中的序列相关和异方差分析

保证FGLS估计量具有一致性的条件：
Cov(xt-xt-1, ut-ut-1)=0
具体为：Cov(xt, ut)=0；Cov(xt-1+xt+1, ut)=0
OLS估计量和FGLS估计量都是一致的，二者给出 的估计值应该比较接近。
❖ 静态菲利普斯曲线
❖ 高阶序列相关的修正
二阶序列相关：
yt 0 1xt ut
滞后项系数显著。
❖ 序列相关的处理：
考虑如下模型：
yt=+xt+ut
ut=ut-1+vt
合并后得到动态模型：
yt=(1-)+xt-1xt-1+yt-1+vt
应用中通常引入更多的滞后消除序列相关：
yt=0+0xt+1xt-1+1yt-1+vt
该模型是动态完备的。
➢序列相关与OLS估计量的性质
OLS估计量是不一致的！
||<1
Cov(yt-1, ut)= Cov(yt-1, ut-1+ et )= Cov(yt-1, ut-1)
扰动项序列相关说明模型不是动态完备的，相 应的完备模型为：
yt=0+0xt+1xt-1+1yt-1+et
对于包含滞后因变量的情形，解决序列相关的 方法通常就是加入滞后项。
uˆt ˆuˆt1
为什么要假定回归元严格外生？
û取决于估计量 ˆ0, ˆ1,...,ˆk 假定回归元严格外生，用û代替u不影响t统计量的渐近分布。
若Var(et |ut-1)不是常数，可使用异方差-稳健t统计量。
❖ 经典假定条件下的DW检验
DW2(1- ˆ) DW检验和基于 ˆ 的t检验：
将 yt对x1t , x2t, . . ., xkt 回归，得到OLS残差ût； 做如下回归：
ût对x1t , x2t, . . ., xkt, ût-1, ût-2, . . ., ût-q 利用F统计量，检验ût-1, ût-2, . . ., ût-q系数的联合显著性。
若回归元严格外生，可以省略x1t , x2t, . . ., xkt 若存在异方差，使用异方差-稳健的F统计量 LM统计量（Breusch-Godfrey test）：
➢序列相关的检验
❖ 回归元严格外生时AR(1)序列相关的t检验
对于回归模型：
yt = 0 + 1x1t + 2x2t + . . . +kxkt + ut
若ut已知，可直接进行如下回归：
ut=ut-1+ et AR(1)序列相关检验实际上就是检验H0: =0
由于ut已知，需要用OLS残差û代替，即
❖ 相应的回归模型为：
yt=0+0xt+1xt-1+1yt-1+2xt-2+2yt-2+…+ kxt-k+kyt-k+ut
❖ 动态完备模型：模型解释变量包括了足够多的滞后，以至于 y和解释变量其他滞后对解释y没有任何意义。
❖ 若模型动态完备，则扰动项ut必然无序列相关。
❖ 如何设定动态完备模型？
扰动项不存在序列相关；
补齐第一个样本数据：
1- 2 y1 1- 2 0 1 1- 2 x1 1- 2u1
❖ 可行GLS：
将 yt对x1t , x2t, . . ., xkt 回归，得到OLS残差ût； 做如下回归：
ût对ût-1
得到ût-1的系数 ˆ 利用 ˆ 代替 ，进行GLS估计：
1- ˆ 2 y1 1- ˆ 2 0 1 1- ˆ 2 x1 errort
2(
2
/
SSTx2
)
n1 t 1
x x nt j
j 1
t t j
对于经济序列，
n1 t 1
nt j 1
j
xt
x
t
一j 般为正，因此方差公式
2 / SSTx 通常会低估OLS估计量的方差。
❖ 拟合优度
❖ 解释变量包括滞后因变量时的序列相关
考虑模型：
yt = 0 + 1yt-1+ ut ， ut=ut-1+ et
ût对x1t , x2t, . . ., xkt, ût-1 利用t统计量，检验ût-1系数的显著性。
回归元不严格外生时，xjt 可能与ût-1相关，因此 这里包含x1t , x2t, . . ., xkt
若存在异方差，使用异方差-稳健t统计量
❖ 高阶序列相关检验
假定AR(q)序列相关检验 检验步骤：
概念上等同； 满足经典假定时，DW检验精确，但会有不确定域；
基于ˆ 的t检验实施方便，且即使扰动项不服从正态分
布，依然渐近有效；
若存在异方差，可以使用异方差-稳健t统计量。
❖ 回归元不严格外生时AR(1)序列相关的检验
滞后因变量作为解释变量
检验步骤：
将 yt对x1t , x2t, . . ., xkt 回归，得到OLS残差ût； 做如下回归：
第十一章
时间序列回归中的序列相关和异方差
➢动态完备模型和无序列相关
❖ 基于当前信息集（xt, yt-1, xt-1, yt-2, xt-2, …)对yt的期望为： E(yt|xt, yt-1, xt-1, yt-2, xt-2, …)
❖ 若k期之前信息（yt-k+1, xt-k+1, …)对yt的作用完全通过影响（xt, yt-1, xt-1, …, yt-k, xt-k )实现，则有： E(yt|xt, yt-1, xt-1, yt-2, xt-2, …)=E(yt|xt, yt-1, xt-1, …, yt-k, xt-k)
ut 1ut1 2ut2 et
广义差分变换
yt 0 1xt ut
1yt-1 10 11xt-1 1ut-1 2 yt-1 20 21xt-1 2ut-1
yt 1yt-1 2 yt-2 (1 1 - 2 )0 1(xt 1xt-1 2xt-2 ) et， t 3
Var(
n t 1
rt
ut
(E(rt2 ))2
)
➢时间序列模型的同方差假定
❖ 对于动态模型：
yt=0+1zt+2yt-1+3zt-1+ut
❖ 同方差假设要求：
Var(ut|zt, yt-1, zt-1)=Var(yt|zt, yt-1, zt-1)=2
不能存在动态形式的异方
➢回归元严格外生时序列相关的修正
❖ AR(1)序列相关下最优线性无偏估计量—GLS
考虑只有一个解释变量的简单模型：
yt 0 1xt ut
广义差分：
ut ut1 et
yt 0 1xt ut
yt-1 0 1xt-1 ut-1
yt yt-1 (1 )0 1(xt xt-1) et， t 2
➢序列相关-稳健推断
❖ 理论基础：
简单的一元回归模型：
yt = 0 + 1xt + 2x2t + . . . +kxkt + ut 关注1系数，将x1t写作其他自变量的线性函数：
x1t = d0+ d2x2t + . . . +dkxkt + rt 可以证明1OLS估计量的方差为：
Avar(ˆ1)
yt ˆyt-1 (1 ˆ)0 1(xt ˆxt-1) et， t 2
❖ 反倾销与化学物品进口
❖ OLS和FGLS的比较
对于平稳的时间序列，考虑如下模型：
yt = 0 + 1xt+ ut
OLS估计量的一致性：
Cov(xt, ut)=0
FGLS估计量的一致性：
yt–yt-1 = (1-)0 + 1(xt-xt-1)+(ut-ut-1)
1和2的估计：
ût对ût-1和ût-2回归
➢差分和序列相关
❖ 对于模型：
yt = 0 + 1xt+ ut ， ut=ut-1+ et
若=1，即扰动项{ut }服从随机游走：
ut=ut-1+ et
差分变换：
yt = 1xt+ et 若>0，且比较大，即便1，也可以用差分变换，
以消除大部分的序列相关。
❖ 无偏性和一致性
❖ 有效性和统计推断
考虑如下模型：
yt = 0 + 1xt+ ut ， ut=ut-1+ et
估计量的方差：
||<1
ˆ1 SSTx1
x n
t 1 t
(1xt
ut
)
1
SSTx1
n t 1
xt
ut
Var (ˆ1) SSTx2Var (
n t 1
xt ut
)
2
/
SSTx