材料力学-压杆稳定

L
C
Fcr

2 EI
(0.5l )2
长度系数
一端固定、一端自由 两端铰支
一端固定、一端铰支
Fcr

(
2 EI
2.0 l )2
2 EI
Fcr ( 1.0 l )2
Fcr

(
2 EI
0.7 l )2
两端固定
Fcr

2 EI ( l )2
Fcr

2 EI
( 0.5 l )2
两端铰支
一端固定、一端自由
Fcr
L 2L
Fcr

2 EI
(1.0 l )2
Fcr

2 EI
(2l )2
两端铰支
一端固定、一端铰支
Fcr
l
Fcr 2 Fra bibliotekI(1.0 l )2
C
Fcr

2 EI
(0.7l )2
两端铰支
Fcr

2 EI
(1.0 l )2
两端固定
Fcr
D
粗短杆在轴向压力的作用下
塑性材料的低碳钢短圆柱 被压扁； 铸铁短圆柱 脆断；
2、工程中的某些细长杆在轴向压力的作用下
表现出与强度完全不同的失效形式；
细长竹片受压时
开始轴线为直线，接着必被压弯，发生较大的弯曲变形； 最后被折断；
两端承受压力的细长杆:
当压力超过一定的数值时，压杆会由原来的直线平衡形式, 突然变弯，致使结构丧失承载力；
稳定平衡 当球受到微小干扰，偏离其平 衡位置后，经过几次摆动，它 会重新回到原来的平衡位置。
不稳定平衡
处于凸面的球体，当球受到 微小干扰，它将偏离其平衡 位置，而不再恢复原位；
4、压杆的失稳过程
4.1、压杆的稳定平衡
4.2 压杆的临界平衡
4.3 压杆的屈曲
5、压杆的失稳
压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线形状平衡 （弯曲平衡）
屈曲： 压杆从直线平衡到弯曲平衡的转变过程；
屈曲位移：由于屈曲，压杆产生的侧向位移；
通常，屈曲将使构件失效，并导致相关的结构发生坍塌。 由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性后果。
易拉罐压缩失稳
6临界压力 使中心受压的直杆由直线平衡形式转变为曲线
平衡形式时所受的轴向压力； Fcr
★当F=Fcr时有两种可能的平衡状态：
B G 2m
1m
1m
D
2、横梁AB与拉杆BC的直径相同，D＝40毫米，同为 普通碳钢。弹性模量 Ｅ＝200GPａ，，比例极限 为σP＝200MPａ，屈服极限为σS＝235MPａ，ａ ＝304，ｂ＝1.12，屈服安全系数取ｎs＝1.5，稳定 安全系数取ｎw＝5，L＝2米，均布载荷的集度ｑ ＝2KN/ｍ，校核系统。 q
由于压杆存在初曲率和载荷偏心等不利因素的影响。
nst 值一般比强度安全系数要大些;
越大， nst 值也越大。
在机械、动力、冶金等工业部门，由于载荷情况复杂， 一般都采用安全系数法进行稳定计算。
压杆稳定校核的一般步骤
1、计算工作柔度
l
i
i
I A
μ的四种取值情况
y z
iy
Iy A
A
B
L
L
C
3、钢制矩形截面杆的长度为L＝1.732米，横截面为 60×100，P＝100KN，许用应力为[σ]＝30MPａ， 弹性模量E＝200GPａ，比例极限σP＝80MPａ， 屈服极限σS＝160MPａ，稳定安全系数ｎw＝2， ａ＝304MPａ，ｂ＝1.12MPａ。构件安全吗？
L
100
60
4、AB杆的两端固定，在20OC时杆内无内力。已知： 杆长为L＝400毫米，杆的直径d＝8毫米，材料的弹性 模量为E＝200GPａ，比例极限为σP=200Mpa，线胀 系数α＝1.25×10-51/OC，杆的稳定安全系数为2，当 温度升高到40OC时，校核杆的稳定性。
即：屈曲位移ω =0的直线状态； 屈曲位移为无穷小的无限接近于直线的弯曲状态;
故临界压力可以理解为：
压杆保持直线形态平衡的最大载荷；
或压杆处于微弯状态（丧失稳定）的最小载荷。
非线性稳定理论已经证明：对于细长压杆，临界平衡是稳定的。
压杆的稳定性试验
§９-2 两端铰支细长压杆的临界压力 =Fcr
M FN=Fcr
σs
cr

2E 2
p
2E p
O
令
p
2E p
材料的第一特征柔度
1
压杆发生弹性失稳。 这类压杆又称为大柔度杆。
1
cr

2E 2
中粗杆 1 2
σ
压杆的临界应力超过比例极限，低于屈服极限
p cr s
σp
w(x)
弯矩
M ( x ) Fcrw( x )
挠曲线近似微分方程
w'' M ( x ) EI
令
k 2 Fcr
EI
w'' Fcr w EI
w'' k 2w 0
此方程的通解为 w Asin kx Bcos kx
利用杆的边界条件，
x0 w0
B0
可知压杆的微弯挠曲线为正弦函数：
σs
O
p cr
1
cr s cr a b （直线公式）
a b s
a s
b
令
2

a
s
b
材料的第二特征柔度
1 2
中粗杆
1 2
cr a b
a、b为与材料性能有关的常数。 这类杆又称中柔度杆。
欧拉公式普遍形式
长度系数
l 相当长度
2
1
0.7
0.5
杆端的约束愈强，则µ值愈小，压杆的临界力愈高； 杆端的约束愈弱，则值µ愈大，压杆的临界力愈低。
l
l i
Fcr cr A
例1 ： 图示各杆材料和截面均相同，试问哪一 根杆能承受的压力最大， 哪一根的最小？
工程中的压杆
工程中的压杆
由于构件的失稳往往是突然发生的，因而其危害性 也较大。
历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事故。
如1907年加拿大劳伦斯河上，跨长为548米的奎拜克大 桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。
因此，稳定问题在工程设计中占有重要地位。
3、稳定平衡、临界平衡（随遇平衡）、不稳定平衡
1 2 中柔度杆 直线公式 cr a b
2 小柔度杆 cr s 强度问题
4、确定临界应力 5、稳定条件
稳定性校核
Fcr cr A
Fcr F
nst
确定许可载荷
设计合理截面
注意
在压杆计算中，有时会遇到压杆局部有截面被消弱的情况， 如杆上有孔、切槽等。 由于压杆的临界载荷是从研究整个压杆的弯曲变形来决 定的，局部截面的消弱对整个变形影响较小，故稳定计 算中仍用原有的截面几何量。
狭长截面梁在横向力的作用下：
发生平面弯曲； 但当载荷超过一定数值时梁的平衡 形式将突然变为 弯曲和扭转
受均匀压力的薄圆环：
当压力超过一定数值时，圆环将 不能保持圆对称的平衡形式，而 突然变为非圆对称的平衡形式
失稳或屈曲
上述各种关于平衡形式的突然变化，统称为稳定失效
压杆 承受轴向压力的杆件。
工程中有许多杆件承受轴向压力的作用
w Asin Kx
利用边界条件
xl w0
Asin kl 0 A 0 即压杆没有弯曲变形；
kl n
n 1 ,2,3,.....
Fcr

n2 2 EI
l2
实际工程中有意义的是最小的临界力值，即 n 1
2EI
Fcr l 2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式。
Fcr 与抗弯刚度（ EI ）成正比。
118 26.6 4.42 nst 3
5、结论
AB杆满足稳定性要求
1、圆截面杆BD的直径为ｄ＝35毫米，采用普通碳 钢，弹性模量 Ｅ＝200GPａ，比例极限为σP＝ 200MPａ，屈服极限为σS＝235MPａ，ａ＝304 MPａ，ｂ＝1.12 MPａ，稳定安全系数取ｎw＝3， 载荷G＝30K N，校核BD杆的稳定性。
l
i
i I A
1
D2 d 2 16mm
4
l

1.5 cos30
1.732m
得


11.732103 16
108 P
3、选用公式，计算临界应力
AB为大柔度杆
Fcr


cr
A

2E 2
A
2EI
l2
118kN
4、计算安全系数
n Fcr FN
中柔度压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限， 故属于弹塑性稳定问题。
粗短杆 2
σ
压杆的临界应力超过超过屈服极限后 cr s σp
σs
2
O
这类杆又称为小柔度杆。
）
这类压杆将发生强度失效，而不是失稳。
cr s
2
cr s
压杆的临界应力总图
iz
Iz A
I y , I z 为形心主轴的惯性矩
y

yly
iy
z

zlz
iz
压杆总在工作应力大的纵向面内首先失稳，故工作柔度取较大者；
max y ,z
2、特征柔度
1
2E P
3、临界应力
2

a
s
b
1 大柔度杆 欧拉公式
cr

2E 2
但强度计算是根据危险点的应力进行的，故必须对削弱了 的截面进行强度校核，
a、压杆的稳定取决于整个杆件的弯曲刚度；
b、对于局部削弱的横截面，应进行强度校核。
1、计算工作压力
MC 0
F 2000 FN sin 30 1500 0
2、AB杆的工作柔度
得 FN 26.6kN
P
P
P
a 1.3 a
1.6a
(1)
(2)
(3)
相当长度 (l)1 2a (l)2 1.3a
(l)3 0.7 1.6a 1.12a
l1 l2 l3
Fcr

2EI
l 2
a 1.3 a
1.6a
F
F
F
(1)
(2)
(3)
Fcr1 Fcr2 Fcr3
.
§９-1 压杆稳定的概念 §９-2 两端铰支细长压杆的临界压力 §９-3 其他支座条件下压杆的临界压力 §９-4 压杆的临界应力 §９-5 压杆的稳定校核 §９-6 提高压杆稳定性的措施
§９-1 压杆稳定的概念 1、杆件在轴向拉力的作用下：
塑性材料：工作应力达到屈服极限时出现屈服失效； 脆性材料： 工作应力达到强度极限时断裂；

2E 2
i I A
截面的惯性半径
l
i
工作柔度
又称为压杆的长细比。它全面反映了压杆长度、约束条件、 截面尺寸和形状对临界力的影响。
cr

2E 2
临界应力的欧拉公式
塑性材料在压缩时的应力应变曲线
σ
σp
σs
O
σ
σp
σs
O
细长杆 1
σ
当临界应力小于或等于材料的比例极限时 cr p σp
A
B
5、立柱为实心圆截面，直径为D＝20毫米，材料的 弹性模量为E＝200GPａ，比例极限为σP=200Mpa, 稳定安全系数为nst=2。校核立柱的稳定性。
压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。 因此，对于各个方向约束相同的情形
I 应是截面最小的形心主惯性矩。
Fcr

2EI
l2
适用范围：
1、两端为铰支座的细长杆
2、线弹性，小变形
公式的推导中应用了弹性小挠度微分方程，因 此公式只适用于弹性稳定问题。
3、理想压杆
（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）
σ cr cr s
cr a b
粗短杆
中粗杆
cr

2E 2
小柔度 中柔度
细长杆
强度失效 弹塑性稳 定问题
大柔度 弹性失稳
λ2
λ1
三类不同的压杆
细长杆— 发生弹性屈曲; 中长杆— 发生弹塑性屈曲; 粗短杆— 不发生屈曲，而发生 屈服;
临界应力计算
1 大柔度杆
（1）杆的临界压力最小，最先失稳；
（3）杆的临界压力最大，最稳定。
问题
材料和直径均相同
能不能应用欧拉公 式计算四根压杆的临 界载荷？
四根压杆是不是都会 发生弹性屈曲？
§９-４ 欧拉公式的适用范围 经验公式
临界应力
cr

Fcr A
2 EI ( l )2 A

2 Ei 2 ( l )2
实际使用的压杆
轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀 等因素总是存在的，为非理想受压直杆。
４、Euler解、精确解、实验结果的比较：
F
B
C 精确解
D
E
A F
Fcr
G
A’ Euler解 H 实验结果
δ
O
截面惯性矩 临界力
269103 N 269kN
§９-３其他支座条件下细长压杆的临界压力
欧拉公式
cr

2E 2
2 1 中柔度杆 经验直线公式
cr a b
2 小柔度杆 cr s
临界压力
Fcr cr A
§９-５ 压杆的稳定校核
安全系数法
n

Fcr P

nst
Fcr是压杆的临界载荷 P为压杆的工作载荷，
nst 是稳定安全系数。