1.3.2 勾股定理的应用

1.3.2 勾股定理的应用
班级： 姓名：
〖学习目标〗
1.能正确运用勾股定理及直角三角形的判别方法解决简单的实际问题；
2.学会选择适当的数学模型解决实际问题；
3.通过解决实际问题，体会数学来源于生活，又应用于生活；积累利用数学知识解决日常生活中实际问题的经验和方法。

〖重点难点〗
重点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题。

难点：正确选择勾股定理及直角三角形的判别方法解决实际问题。

〖导学流程〗
浅层加工
一、预习自测
通过上节课的学习，我们已经会用勾股定理解决一些简单的实际问题了。

想一想，生活中还有哪些问题与直角三角形有关？这些实际问题能用勾股定理解决吗？
二、问题发现
对于勾股定理的应用，你有什么困惑或疑问吗？
深度建构
一、问题情境
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺（m 3
11 尺）的正方形。

在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺。

如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面。

请问：这个水池水的深度和这根芦苇的长度各是多少？
二、问题探究
【探究活动一】梯子问题
例1.一架云梯长m 25，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙m 7.
学海拾贝 总结纠错
编号： 年级—20180901(年+月+序号) 编制：徐蕴耀 审核： 上课时间：
（1）这架云梯的顶端距地面有多高？
（2）如果云梯的顶端下滑了m 4，
那么它的底部在水平方向也滑动了m 4吗？
即学即练1.如图，两个滑块A ，B 由一个连杆连接，分别可以在两条互相垂直的滑道上滑动。

开始时，滑块A 距O 点cm 20，滑块B 距O 点cm 15，则当滑块A 向下滑到O 点时，滑块B 滑动了_________.
【探究活动二】折叠问题
例2. 如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，
若5,4==BC AB ，则._______=AE
即学即练2.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边cm BC cm AC 8,6==，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？
【探究活动三】
例3. 如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连接PA 、PB 、PC ，以BP 为边作︒=∠60PBQ ，且BP BQ =，连接CQ.
（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若5:4:3::=PC PB PA ，连接PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由。

即学即练3.如图，在AB C Rt ∆中，︒=∠90C ，点D 是AB 的中点，E 、F 分别在边AC 、BC 上。

如果222EF BF
AE =+，那么DE 和DF 是否一定互相垂直？
三、融合应用
1．如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面；然后将绳子末端拉到距离旗杆6米处，此时绳子末端距离地面2米，则绳子的总长度为_________米。

2. 如图1，长、宽均为3，高为8的长方形容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中CD 的宽度为_________.
3. 如图，一架2.5米长的梯子AB 斜靠在竖直的墙壁OC 上，这时梯子的底端B 到墙壁OC 的距离OB 为0.7米，当梯子的顶端A 沿墙壁下滑到达'A 时，底端沿水平地面向外滑动到'B 。

（1）当m AA 4.0'=时，线段'AA 的长度与线段'BB 的长度相等吗？你是怎样知道的？
（2）是否存在一个点A’，使''BB AA =？若存在，求出点A’的位置；若不存在，说明理由。

自我提升
一、总结反思
1．你学到了什么知识和思想方法？
2．学到了哪些题型及其基本解法？
3．你还有哪些困惑？
二、检测拓展
1. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈等于十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部六尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为（ ）
A. 22)10(6x x -=-
B. 222)10(6x x -=-
C. 22)10(6x x -=+
D. 222)10(6x x -=+
2. 如图，长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是BC 边上一点，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ‘处，已知△CEB ‘为直角三角形，则BE 等于____________.
3. 如图，AB 与CD 相交于点O ，AB=CD ，∠AOC=60°，∠ACD+∠ABD=210°，则线段AB ，AC ，BD 之间有何等量关系？。