北师大版八年级下册数学期中试卷

北师大版八年级下册数学期中试卷
一．选择题（共10小题）
1．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16 B．20C．16 D．以上答案均不对
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）
A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°
3．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB 上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）
A．44°B．66°C．88°D．92°
4．如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）
A．2+2B．2+ C．4 D．3
5．如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=α，∠ABC=β．若α=10°，则β的度数是（）
A．40°B．50°C．60°D．不能确定
6．已知不等式组的解集是x≥1，则a的取值范围是（）
A．a＜1 B．a≤1 C．a≥1 D．a＞1
7．当0＜x＜1时，x2、x、的大小顺序是（）
A．x2 B．＜x＜x2C．＜x D．x＜x2＜8．在关于x、y的方程组中，未知数满足x≥0，y＞0，那么m的取值范围在数轴上应表示为（）
A．B． C．
D．
9．如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD 的长为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（）A．﹣15 B．15 C．2 D．﹣8
二．填空题（共10小题）
11．分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）= ．
12．如图，△ABC中，BC=5cm，将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置时，A′B′恰好经过AC的中点O，则△ABC平移的距离为cm．
13．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，则AE的长是．14．不等式组有3个整数解，则m的取值范围是．15．若关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是．
16．若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）
2016= ．
17．如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为．
18．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为．
19．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O，下列判断正确的有．（填序号）．
①AC⊥BD；②AC、BD互相平分；③AC平分∠BCD；④∠ABC=∠ADC=90°；⑤筝形ABCD的面积为．
20．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于E，则PD+PE= ．三．解答题（共10小题）
21．解不等式组，并写出它的所有整数解．
22．分解因式
（1）x3﹣6x2+9x；（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．
23．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣1），B（﹣3，3），C（﹣4，1）
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）画出△ABC绕点A按逆时针旋转90°后的△AB2C2，并写出点C的对应点C2的坐标．
24．倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．（1）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B两种型号健身器材各购买多少套？
（2）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？
25．某水果商行计划购进A、B两种水果共200箱，这两种水果的进价、售价如下表所示：
进价（元/箱）售价（元/箱）
价格
类型
A 60 70
B 40 55
（1）若该商行进贷款为1万元，则两种水果各购进多少箱？（2）若商行规定A种水果进货箱数不低于B 种水果进货箱数的，应怎样进货才能使这批水果售完后商行获利最多？此时利润为多少？
26．如图，已知直线y1=﹣x+1与x轴交于点A，与直线y2=﹣x交于点B．
（1）求△AOB的面积；
（2）求y1＞y2时x的取值范围．
27．如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．
28．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
29．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．（1）求BC的长；
（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．
30．如图，△ABC与△AED中，∠E=∠C，DE=BC，EA=CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．（1）求证：GA平分∠DGB；
（2）若S四边形DGBA=6，AF=，求FG的长．
北师大版八年级下册数学期中试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2016•安顺）已知实数x，y满足，则以x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意得
，
解得，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8=20．
故选B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要
注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．
2．（2016•枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D 的度数为（）
A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°
【分析】先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∠1=∠3+∠D，则2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性质得到∠D=∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．
【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠ACE=∠A+∠ABC，
即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，
∴2∠1=2∠3+∠A，
∵∠1=∠3+∠D，
∴∠D=∠A=×30°=15°．
故选A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析．
3．（2016•泰安）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）
A．44°B．66°C．88°D．92°
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠MKN=44°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵PA=PB，
∴∠A=∠B，
在△AMK和△BKN中，
，
∴△AMK≌△BKN，
∴∠AMK=∠BKN，
∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，
∴∠A=∠MKN=44°，
∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，
故选：D．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．
4．（2016•雅安）如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）
A．2+2B．2+ C．4 D．3
【分析】过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，得到AB=AC=2，根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，即可得到结论．
【解答】解：过A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴AB=AC=2，
∵DE垂直平分AB，
∴BE=AE，
∴AE+CE=BC=2，
∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．
5．（2016•庄河市自主招生）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=α，∠ABC=β．若α=10°，则β的度数是（）
A．40°B．50°C．60°D．不能确定
【分析】根据AB=AD，可得出∠B=∠ADB，再由∠ADB=α+∠C，可得出∠C=β﹣10°，再根据三角形的内角和定理得出β即可．【解答】解：∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵α=10°，∠ADB=α+∠C，
∴∠C=β﹣10°，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
即β+β﹣10°=90°，
解得β=50°，
故选B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，是基础知识要熟练掌握．
6．（2016•来宾）已知不等式组的解集是x≥1，则a的取值范围是（）
A．a＜1 B．a≤1 C．a≥1 D．a＞1
【分析】利用不等式组取解集的方法判断确定出a的范围即可．【解答】解：∵等式组的解集是x≥1，
∴a＜1，
故选A
【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
7．（2016•大庆）当0＜x＜1时，x2、x、的大小顺序是（）A．x2 B．＜x＜x2C．＜x D．x＜x2＜
【分析】先在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，再在不等式0＜x＜1的两边都除以x，根据所得结果进行判断即可．
【解答】解：当0＜x＜1时，
在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，可得0＜x2＜x，
在不等式0＜x＜1的两边都除以x，可得0＜1＜，
又∵x＜1，
∴x2、x、的大小顺序是：x2＜x＜．
故选A
【点评】本题主要考查了不等式，解决问题的关键是掌握不等式的基本性质．不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞．
8．（2016•绵阳）在关于x、y的方程组中，未知数满足x≥0，y＞0，那么m的取值范围在数轴上应表示为（）A．B． C．
D．
【分析】把m看做已知数表示出方程组的解，根据x≥0，y＞0求出m的范围，表示在数轴上即可．
【解答】解：，
①×2﹣②得：3x=3m+6，即x=m+2，
把x=m+2代入②得：y=3﹣m，
由x≥0，y＞0，得到，
解得：﹣2≤m＜3，
表示在数轴上，如图所示：
，
故选C
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2016•朝阳）如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】只要证明△BAC∽△BDA，推出=，求出BD即可解决问题．
【解答】解：∵AF∥BC，
∴∠FAD=∠ADB，
∵∠BAC=∠FAD，
∴∠BAC=∠ADB，
∵∠B=∠B，
∴△BAC∽△BDA，
∴=，
∴=，
∴BD=9，
∴CD=BD﹣BC=9﹣4=5，
故选B．
【点评】本题考查平行线的性质、旋转变换、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，属于中考常考题型．
10．（2016•赵县模拟）若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（）
A．﹣15 B．15 C．2 D．﹣8
【分析】直接将原式提取公因式ab，进而分解因式得出答案．【解答】解：∵ab=﹣3，a﹣2b=5，
a2b﹣2ab2=ab（a﹣2b）=﹣3×5=﹣15．
故选：A．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2016•南京）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）= （b+c）（2a﹣3）．
【分析】直接提取公因式b+c即可．
【解答】解：原式=（b+c）（2a﹣3），
故答案为：（b+c）（2a﹣3）．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．
12．（2016•泰州）如图，△ABC中，BC=5cm，将△ABC沿BC 方向平移至△A′B′C′的对应位置时，A′B′恰好经过AC的中点O，则△ABC平移的距离为 2.5 cm．
【分析】根据平移的性质：对应线段平行，以及三角形中位线定理可得B′是BC的中点，求出BB′即为所求．
【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置，∴A′B′∥AB，
∵O是AC的中点，
∴B′是BC的中点，
∴BB′=5÷2=2.5（cm）．
故△ABC平移的距离为2.5cm．
故答案为：2.5．
【点评】考查了平移的性质，平移的基本性质：
①平移不改变图形的形状和大小；
②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
13．（2016•巴彦淖尔）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，则AE的长是+．
【分析】如图，连接AD，由题意得：CA=CD，∠ACD=60°，得到△ACD为等边三角形根据AC=AD，CE=ED，得出AE垂直平分DC，于是求出EO=DC=，OA=AC•sin60°=，最终得到答案AE=EO+OA=+．
【解答】解：如图，连接AD，
由题意得：CA=CD，∠ACD=60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴AD=CA，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°；
∵∠ABC=90°，AB=BC=2，
∴AC=AD=2，
∵AC=AD，CE=ED，
∴AE垂直平分DC，
∴EO=DC=，OA=CA•sin60°=，
∴AE=EO+OA=+，
故答案为+．
【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．
14．（2016•龙东地区）不等式组有3个整数解，则m的取值范围是2＜m≤3 ．
【分析】首先确定不等式组的整数解，然后根据只有这三个整数解即可确定．
【解答】解：不等式的整数解是0，1，2．则m的取值范围是2＜m≤3．
故答案是：2＜m≤3．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
15．（2016•如皋市校级二模）若关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是a＜1 ．
【分析】不等式组中两不等式分别求出解集，由不等式组有解确定出a的范围即可．
【解答】解：不等式整理得：，
由不等式有解，得到a＜1，
则a的范围是a＜1，
故答案为：a＜1
【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
16．（2016•枣阳市模拟）若不等式组的解集是﹣1＜x ＜1，则（a+b）2016= 1 ．
【分析】解出不等式组的解集，与已知解集﹣1＜x＜1比较，可以求出a、b的值，然后相加求出2016次方，可得最终答案．【解答】解：由不等式x﹣a＞2得x＞a+2，由不等式b﹣2x＞0得x＜b，
∵﹣1＜x＜1，
∴a+2=﹣1，b=1
∴a=﹣3，b=2，
∴（a+b）2016=（﹣1）2016=1．
故答案为1．
【点评】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得零一个未知数．
17．（2016•长沙）如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为13 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，
故答案为：13．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
18．（2016•通辽）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为69°或21°．
【分析】分两种情况讨论：①若∠A＜90°；②若∠A＞90°；先求出顶角∠BAC，再利用三角形内角和定理即可求出底角的度数．【解答】解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠ABD=48°，
∴∠A=90°﹣48°=42°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣42°）=69°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，
∴∠BAC=180°﹣42°=138°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣138°）=21°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．
故答案为：69°或21°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义；注意分类讨论方法的运用，避免漏解．
19．（2016•南京一模）两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O，下列判断正确的有①③⑤．（填序号）．①AC⊥BD；②AC、BD互相平分；③AC平分∠BCD；④∠ABC=∠ADC=90°；⑤筝形ABCD的面积为．
【分析】根据题意AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O可以证明△ABC≌△ADC、△ABO≌△ADO，可得AC、BD互相垂直，AC平分∠BAD、∠BCD．
【解答】解：∵在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠BAO=∠DAO，∠BCO=∠DCO，即AC平分∠BCD．故③正确；
∵AC平分∠BAD、∠BCD，△ABD与△BCD均为等腰三角形，∴AC、BD互相垂直，但不平分．故①正确，②错误；
当AC2≠AB2+BC2时，∠ABC≠90°．同理∠ADC≠90°．故④错误；
∵AC、BD互相垂直，
∴筝形ABCD的面积为：AC•BO+AC•OD=AC•BD．
故⑤正确；
综上所述，正确的说法是①③⑤．
故答案是：①③⑤．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．再运用全等三角形的性质可得相应的结论．
20．（2016•龙岩模拟）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P 是BC上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于E，则PD+PE= ．
【分析】作AF⊥BC于F，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF=CF=BC=4，然后根据勾股定理求得AF=3，连接AP，由图可得：S ABC=S ABP+S ACP，代入数值，解答出即可．
【解答】解：作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，
∴BF=CF=BC=4，
∴AF==3．
连接AP，
由图可得，S ABC=S ABP+S ACP，
∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，AB=AC=5，
∵S△APB+S△APC=S△ABC，
∴×5×PD+×5×PE=×8×3，
∴PD+PE=．
故答案为．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．
三．解答题（共10小题）
21．（2016•南通）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集，从而可以求得它的所有整数解．
【解答】解：
由①，得x＜2，
由②，得x＞﹣4，
故原不等式组的解集是﹣4＜x＜2，
∴这个不等式组的所有整数解是x=﹣3，﹣2，﹣1，0，1．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
22．（2016•邹平县一模）分解因式
（1）x3﹣6x2+9x；
（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．
【分析】（1）原式提取x，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式=x（x2﹣6x+9）=x（x﹣3）2；
（2）原式=a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）=（x﹣y）（a2﹣4）=（x ﹣y）（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
23．（2016•钦州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣1），B（﹣3，3），C（﹣4，1）（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）画出△ABC绕点A按逆时针旋转90°后的△AB2C2，并写出点C的对应点C2的坐标．
【分析】（1）补充成网格结构，然后找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，再顺次连接即可；再根据平面直角坐标系写出点B1的坐标；
（2）根据旋转的性质画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB2C2，写出点C2的坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为△ABC关于y轴对称的图形；
则B1的坐标是（3，3）；
（2）△ABC绕点A按逆时针旋转90°后的△AB2C2是：
则点C的对应点C2的坐标是（1，2）．
【点评】本题考查的是轴对称和旋转变换的知识，作旋转图形时，先确定旋转中心、旋转方向和旋转角，旋转前后的两个图形是全等的．
24．（2016•沈阳）倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．
（1）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B两种型号健身器材各购买多少套？
（2）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？
【分析】（1）设购买A种型号健身器材x套，B型器材健身器材y套，根据：“A，B两种型号的健身器材共50套、共支出20000元”列方程组求解可得；
（2）设购买A型号健身器材m套，根据：A型器材总费用+B 型器材总费用≤18000，列不等式求解可得．
【解答】解：（1）设购买A种型号健身器材x套，B型器材健身器材y套，
根据题意，得：，
解得：，
答：购买A种型号健身器材20套，B型器材健身器材30套．
（2）设购买A型号健身器材m套，
根据题意，得：310m+460（50﹣m）≤18000，
解得：m≥33，
∵m为整数，
∴m的最小值为34，
答：A种型号健身器材至少要购买34套．
【点评】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式的应用，审清题意得到相等关系或不等关系是解题的关键．
25．（2016•钦州）某水果商行计划购进A、B两种水果共200箱，这两种水果的进价、售价如下表所示：
进价（元/箱）售价（元/箱）
价格
类型
A 60 70
B 40 55
（1）若该商行进贷款为1万元，则两种水果各购进多少箱？（2）若商行规定A种水果进货箱数不低于B种水果进货箱数的，应怎样进货才能使这批水果售完后商行获利最多？此时利润为多少？
【分析】（1）根据题意可以得到相应的方程，从而可以得到两种水果各购进多少箱；
（2）根据题意可以得到利润与甲种水果的关系式和水果A与B 的不等式，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）设A种水果进货x箱，则B种水果进货（200﹣x）箱，
60x+40（200﹣x）=10000，
解得，x=100，
200﹣x=100，
即A种水果进货100箱，B种水果进货100箱；
（2）设A种水果进货x箱，则B种水果进货（200﹣x）箱，售完这批水果的利润为w，
则w=（70﹣60）x+（55﹣40）（200﹣x）=﹣5x+3000，∵﹣5＜0，
∴w随着x的增大而减小，
∵x≥，
解得，x≥50，
当x=50时，w取得最大值，此时w=2750，
即进货A种水果50箱，B种水果150箱时，获取利润最大，此时利润为2750元．
【点评】本题考查一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式．
26．（2016•曲靖）如图，已知直线y1=﹣x+1与x轴交于点A，与直线y2=﹣x交于点B．
（1）求△AOB的面积；
（2）求y1＞y2时x的取值范围．
【分析】（1）由函数的解析式可求出点A和点B的坐标，进而可求出△AOB的面积；
（2）结合函数图象即可求出y1＞y2时x的取值范围．
【解答】解：
（1）由y1=﹣x+1，
可知当y=0时，x=2，
∴点A的坐标是（2，0），
∴AO=2，
∵y1=﹣x+1与直线y2=﹣x交于点B，
∴B点的坐标是（﹣1，1.5），
∴△AOB的面积=×2×1.5=1.5；
（2）由（1）可知交点B的坐标是（﹣1，1.5），
由函数图象可知y1＞y2时x＞﹣1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式、数形结合的数学思想，即学生利用图象解决问题的方法，这也是一元一次不等式与一次函数知识的具体应用．
27．（2016•海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC 于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明
AE=CF．
【分析】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明△AEH≌△CFG即可．
【解答】解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，
∵∠1=∠2，AD⊥BC，
∴EH=ED（角平分线的性质）
∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，
∴四边形EFGD是矩形，
∴ED=FG，
∴EH=FG，
∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠C，
又∵∠AHE=∠FGC=90°，
∴△AEH≌△CFG（AAS）
∴AE=CF．
【点评】本题考查了角平分线的性质；综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点．
28．（2016春•吉州区期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=CM，BN=CN，然后求出△CMN的周长=AB；（2）根据三角形的内角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根据等边对等角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB=15cm；
（2）∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，（2）整体思想的利用是解题的关键．
29．（2016秋•太仓市期中）在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．
【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，
AE=CE，再根据AD+DE+AE=BD+DE+CE即可得出结论；（2）先根据线段垂直平分线的性质得出OA=OC=OB，再由∵△OBC的周长为16cm求出OC的长，进而得出结论．
【解答】解：（1）∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴AD=BD，AE=CE，
∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，
∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，
∴BC=6cm；
（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，
∴OA=OC=OB，
∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC=16，
∴OC+OB=16﹣6=10，
∴OC=5，
∴OA=OC=OB=5．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
30．（2016秋•哈尔滨校级月考）如图，△ABC与△AED中，∠E=∠C，DE=BC，EA=CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB 的延长线于点G，连接AG．
（1）求证：GA平分∠DGB；
（2）若S四边形DGBA=6，AF=，求FG的长．
【分析】（1）先过点A作AH⊥BC于H，判定△ABC≌△AED，得出AF=AH，再判定Rt△AFG≌Rt△AHG，即可得出∠AGF=∠AGH；
（2）先判定Rt△ADF≌Rt△ABH，得出S四边形DGBA=S四边形AFGH=6，再根据Rt△AFG≌Rt△AHG，求得Rt△AFG的面积=3，进而得到FG的长．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC与△AED中，∠E=∠C，DE=BC，EA=CA，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴S△ABC=S△AED，
又∵AF⊥DE，
即×DE×AF=×BC×AH，
∴AF=AH，
又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AG=AG，
∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），
∴∠AGF=∠AGH，
即GA平分∠DGB；
（2）∵△ABC≌△AED，
∴AD=AB，
又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AF=AH，
∴Rt△ADF≌Rt△ABH（HL），
∴S四边形DGBA=S四边形AFGH=6，
∵Rt△AFG≌Rt△AHG，
∴Rt△AFG的面积=3，
∵AF=，
∴×FG×=3，
解得FG=4．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等．。