【精选】苏科版八年级数学上册 分式解答题单元综合测试(Word版 含答案)

一、八年级数学分式解答题压轴题（难）
1．已知：方程﹣=﹣的解是x=，方程﹣=﹣的解是x=，试猜想：
（1）方程+=+的解；
（2）方程﹣=﹣的解（a、b、c、d表示不同的数）．
【答案】（1）x=4；（2）x=．
【解析】
通过解题目中已知的两个方程的过程可以归纳出方程的解与方程中的常数之间的关系，利用这个关系可得出两个方程的解．
解：解方程﹣=﹣，先左右两边分别通分可得：
，
化简可得：，
整理可得：2x=15﹣8，
解得：x=，
这里的7即为（﹣3）×（﹣5）﹣（﹣2）×（﹣4），
这里的2即为[﹣2+（﹣4）]﹣[﹣3+（﹣5）]；
解方程﹣=﹣，先左右两边分别为通分可得：
，
化简可得：，
解得：x=，
这里的11即为（﹣7）×（﹣5）﹣（﹣4）×（﹣6），
这里的2即为[﹣4+（﹣6）]﹣[﹣7+（﹣5）]；
所以可总结出规律：方程解的分子为右边两个分中的常数项的积减去左边两个分母中的常数项的积，解的分母为左边两个分母中的常数项的差减去右边两个分母中常数项的差．（1）先把方程分为两边差的形式：方程﹣=﹣，
由所总结的规律可知方程解的分子为：（﹣1）×（﹣6）﹣（﹣7）×（﹣2）=﹣8，
分母为[﹣7+（﹣2）]﹣[﹣6+（﹣1）]=﹣2，
所以方程的解为x ==4；
（2）由所总结的规律可知方程解的分子为：cd ﹣ab ，分母为（a +b ）﹣（c +d ）， 所以方程的解为x =
．
2．如图，小刚家、王老师家、学校在同一条路上，小刚家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米.由于小刚的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车送小刚上学.已知王老师骑自行车的速度是步行的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？
【答案】王老师的步行速度是5km /h ，则王老师骑自行车的速度是15km /h . 【解析】 【分析】
王老师接小刚上学走的路程÷骑车的速度-平时上班走的路程÷步行的速度=20
60
小时． 【详解】
设王老师的步行速度是km /h x ，则王老师骑自行车是3km /h x ， 由题意可得：
330.50.520
360
x x ++-=，解得：5x =， 经检验，5x =是原方程的根， ∴315x =
答：王老师的步行速度是5km /h ，则王老师骑自行车的速度是15km /h . 【点睛】
本题考查列分式方程解应用题.重点在于准确地找出相等关系，需注意①王老师骑自行车接小刚所走路程是（3+3+0.5）千米；②注意单位要统一.
3．甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山，今年1月甲参加了两次登山活动． （1）1月1日甲与乙同时开始攀登一座900米高的山，甲的平均攀登速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早15分钟到达顶峰．求甲的平均攀登速度是每分钟多少米？
（2）1月6日甲与丙去攀登另一座h 米高的山，甲保持第（1）问中的速度不变，比丙晚出发0.5小时，结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含h 的代数式表示）
【答案】（1）甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）360
h h
+倍. 【解析】 【分析】
（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲的平均攀登速度；
（2）根据（1）中甲的速度可以表示出丙的速度，再用甲的速度比丙的平均攀登速度即可解答本题． 【详解】
（1）设乙的速度为x 米/分钟，
900900
151.2x x +＝， 解得，x=10，
经检验，x=10是原分式方程的解， ∴1.2x=12，
即甲的平均攀登速度是12米/分钟； （2）设丙的平均攀登速度是y 米/分，
12
h
+0.5×60＝h y ，
化简，得 y=
12360
h
h +，
∴甲的平均攀登速度是丙的：12360
12360
h h h h ++＝
倍，
即甲的平均攀登速度是丙的
360
h h
+倍．
4．一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a b c ++，abc ，22a b +，
含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是+a b 和ab ，像22a b +，(2)(2)a b ++等对称式都可以用+a b 和ab 表示，例如：222()2a b a b ab +=+-． 请根据以上材料解决下列问题： （1）式子①22a b ，②22a b -，③11
a b
+中，属于对称式的是__________（填序号）．
（2）已知2
()()x a x b x mx n ++=++． ①
若m =-
n =
，求对称式b a
a b
+的值．
②若4n =-，直接写出对称式442
211
a b a b
+++的最小值． 【答案】（1）①③．（2）
①2．②17
2
【解析】
试题分析：（1）由对称式的定义对三个式子一一进行判断可得属于对称式的是
①、③；（2）①将等号左边的式子展开， 由等号两边一次项系数和常数项对应相等可得a +b =m ，ab =n ，已知m 、n 的值，所以a +b 、ab 的值即求得，因为
b a +a b =22a b ab +=()22a b ab ab
+-，所以将a +b 、ab 的值整体代入化简后的式子计算出结果即可；②421a a ++42
1
b b += a 2+21a +b 2+21b =（a +b ）2
－2ab ()2
222a b ab a b +-+=m 2+8+2816m +=
21716m +172，因为1716m 2≥0，所以1716m 2+172≥172，所以421a a ++42
1
b b +的最小值是172． 试题解析：
（1）∵a 2b 2=b 2a 2，∴a 2b 2是对称式， ∵a 2-b 2≠b 2－a 2，∴a 2－b 2不是对称式，
∵
1a +1b =1b +1a ，∴1a +1
b 是对称式， ∴①、③是对称式；
（2）①∵（x +a ）（x +b ）=x 2+（a +b ）x +ab =x 2+mx +n ， ∴a +b =m ，ab =n ， ∵m =－
n
， ∴
b a +a b =2
2
a b ab +=()2
2a b ab ab +-
2
2
-
－2； ②421a a ++42
1
b b
+， =a 2+
21a +b 2+21b
， =（a +b ）2
－2ab +
()2
22
2a b ab
a b
+-，
=m 2
+8+2816
m +，
=
21716m +172
，
∵1716
m 2
≥0， ∴
1716m 2+172≥172
， ∴421a a ++42
1
b b
+的最小值是172． 点睛：本题关键在于理解对称式的定义，并利用分式的性质将分式变形求解.
5．有甲、乙两名采购员去同一家公司分别购买两次饲料，两次购买的饲料价格分别为m 元/千克和n 元/千克，且m≠n ，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少千克的饲料。

（1）甲、乙两次购买饲料的平均单价各是多少？（用字母m 、n 表示） （2）谁的购买方式比较合算? 【答案】（1）2
m n +元/千克；2mn
m n +元/千克；（2）乙的购货方式合算．
【解析】 【分析】
（1）表示出甲乙两人的总千克数与总钱数，用总钱数除以总千克数，即可表示出甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价；
（2）由表示出的甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价相减，通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后根据完全平方式大于等于0，判断其差的正负，即可得到乙的购货方式合算． 【详解】
（1）根据题意列得：甲采购员两次购买饲料的平均单价为
800()16002
m n m n
++=元/千克；
乙采购员两次购买饲料的平均单价为16002800800mn
m n m n
=
++元/千克；
（2）22
2()4()22()2()
m n mn m n mn m n m n m n m n ++---==+++， ∵（m-n ）2≥0，2（m+n ）＞0，
∴
202m n mn m n +-+，即22m n mn
m n
++， 则乙的购货方式合算． 【点睛】
此题考查了分式的混合运算的应用，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
6．为了迎接运动会，某校八年级学生开展了“短跑比赛”。

甲、乙两人同时从A 地出发，沿同一条道路去B 地，途中都使用两种不同的速度1v 与()212v v v ＜。

甲前一半的路程使用速度1v ，另一半的路程使用速度2v ；乙前一半的时间用速度1v ，另一半的时间用速度2v 。

（1）甲、乙二人从A 地到达B 地的平均速度分别为v v 甲乙、；则
=v 甲___________,=v 乙____________
(2)通过计算说明甲、乙谁先到达B 地？为什么？
【答案】（1）
1212
1222
v v v v v v ++；；（2）乙先到达B 地． 【解析】 【分析】
（1）设AB 两地的路程为s ，乙从A 地到B 地的总时间为a ．
先算出前一半的路程所用的时间，后一半的路程所用的时间相加，速度=路程÷时间求出V
甲
； 先算出前一半的时间所行的路程，后一半的时间所行的路程相加，速度=路程÷时间求出V
乙
；
（2）看甲、乙两人谁先到达B 地，因为路程一定，比较V 甲，V 乙的大小即可． 【详解】
（1）设AB 两地的路程为s ，乙从A 地到B 地的总时间为a ．
v 甲=12
12
12
21122v v s
v v s s v v =
++，v 乙=1212222
v a v a v v a +
+=．
（2）v 乙﹣v 甲=12
2v v +－1212
2v v v v +=21212()2()v v v v -+ ∵0＜v 1＜v 2，∴v 乙﹣v 甲＞0，乙先到B 地． 【点睛】
本题重点考查了列代数式和分式的混合运算，是一道难度中等的题目．
7．阅读后解决问题：
在“15.3分式方程”一课的学习中，老师提出这样的一个问题：如果关于x 的分式方程
3
111a x x
+=--的解为正数，那么a 的取值范围是什么？ 经过交流后，形成下面两种不同的答案：
小明说：解这个关于x 的分式方程，得到方程的解为x=a ﹣2． 因为解是正数，可得a ﹣2＞0，所以a ＞2．
小强说：本题还要必须a≠3，所以a 取值范围是a ＞2且a≠3． （1）小明与小强谁说的对，为什么？
（2）关于x 的方程
11
222mx x x
-+=--有整数解，求整数m 的值． 【答案】（1）小强的说法对，理由见解析；（2）m=3，4，0． 【解析】 【分析】
(1)先根据解分式方程的步骤和解法解分式方程可得x =a ﹣2,根据分式方程有解和解是正数可得:x ＞0且x ≠1, 即a ﹣2＞0, a ﹣2≠1,即可求解,
(2) 先根据解分式方程的步骤和解法解分式方程可得（m ﹣2）x =﹣2, 当m ≠2时, 解得:x =﹣2
2
m -,根据分式方程有整数解可得: m ﹣2=±1,m ﹣2=±2,继而求m 的值. 【详解】
解:（1）小强的说法对,理由如下:
解这个关于x 的分式方程,得到方程的解为x =a ﹣2, 因为解是正数,可得a ﹣2＞0,即a ＞2, 同时a ﹣2≠1,即a ≠3, 则a 的范围是a ＞2且a≠3, （2）去分母得：mx ﹣1﹣1=2x ﹣4, 整理得:（m ﹣2）x =﹣2, 当m ≠2时,解得: x =﹣
2
2
m -,
由方程有整数解,得到m ﹣2=±1,m ﹣2=±2, 解得:m =3,4,0. 【点睛】
本题主要考查分式方程解是正数和解是整数问题,解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的解法.
8．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．甲工程队施工一天，需付工程款1万元；乙工程队施工一天，需付工程款0.6万元．根据甲、乙工程队的投标书测算，可有三种施工方案：
（A ）甲队单独完成这项工程，刚好如期完成； （B ）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用4天；
（C ）若甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工． 为了节省工程款，同时又能如期完工，你认为应选择哪一种方案？并说明理由． 【答案】为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C 方案． 【解析】
试题分析：设完成工程规定工期为x 天，根据等量关系：甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工，列方程，求解即可得到甲、乙工程队单独完成所需的天数，然后求出每种方案所需的工程款，比较即可得出结论．
试题解析：解：设完成工程规定工期为x 天，依题意得：
1133()144
x x
x x -+
+=++ 解得：x =12．
经检验，x =12符合原方程和题意，∴x +4=16．
∴甲工程队单独完成需12天，乙工程队单独完成需16天． ∵B 方案不能按时完成，∴要舍弃．
A 方案的工程款为12×1=12（万元），C 方案的工程款为3×1＋12×0.6=10.2（万元）， ∴应选C 方案．
答：为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C 方案．
9．某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶).如果二人都做匀速运动,且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍.又已知男孩走了27级到达顶部,女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级).
(1)扶梯在外面的部分有多少级.
(2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯,台阶级数与扶梯级数相等,这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯,到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离).则男孩第一次追上女孩时,他走了多少台阶? 【答案】(1)楼梯有54级(2) 198级 【解析】 【试题分析】
(1)设女孩速度为x 级/分,电梯速度为y 级/分,楼梯(扶梯)为s 级,则男孩速度为2x 级/分, 根据时间相等列方程，有：
2727,
21818.s x y s x
y -⎧=⎪⎪
⎨
-⎪=⎪⎩ ①两式相除,得327418s s -=-,解方程得54s =即可. 因此楼梯有54级.
(2)设男孩第一次追上女孩时,走过扶梯m 次,走过楼梯n 次,则这时女孩走过扶梯()1m -次,走过楼梯()1n -次.
将54s = 代入方程组①,得2y x =,即男孩乘扶梯上楼的速度为4x 级/分,女孩乘扶梯上楼的速度为3x 级/分.于是有
()()5415415454.
423m n m n x x x x
--+=+ 从而114231m n m n --+=+,即616n m +=. 无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时,,m n 中必有一个为正整数，且01m n ≤-≤，经试验知只有1
3,26
m n ==符合要求.
这时，男孩第一次追上女孩所走过的级数是：132********
⨯+⨯=(级). 【试题解析】
(1)设女孩速度为x 级/分,电梯速度为y 级/分,楼梯(扶梯)为s 级,则男孩速度为2x 级/分,依题意有
2727,21818.s x y s x
y -⎧=⎪⎪
⎨
-⎪=⎪⎩ ① 把方程组①中的两式相除,得327
418
s s -=-,解得54s =. 因此楼梯有54级.
(2)设男孩第一次追上女孩时,走过扶梯m 次,走过楼梯n 次,则这时女孩走过扶梯()1m -次,走过楼梯()1n -次.
将54s = 代入方程组①,得2y x =,即男孩乘扶梯上楼的速度为4x 级/分,女孩乘扶梯上楼的速度为3x 级/分.于是有
()()5415415454.423m n m n x x x x
--+=+ 从而
11
4231
m n m n --+=+,即616n m +=. 无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时,,m n 中必有一个为正整数，且
01m n ≤-≤，经试验知只有1
3,26
m n ==符合要求.
这时，男孩第一次追上女孩所走过的级数是：132********
⨯+⨯=(级).
10．某公司开发的960件新产品必须加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工48件产品的时间与乙工厂单独加工72件产品的时间相等，而且乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，在加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导.
(1)甲、乙两个工厂每天各能加工多少件产品？
(2)该公司要选择既省时又省钱的工厂加工产品，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，有望加工这批产品？ 【答案】
(1)甲工厂每天加工16件产品，则乙工厂每天加工24件；(2)乙工厂向公司报加工费用每天最多为1225元时，有望加工这批产品. 【解析】 【分析】
(1)此题的等量关系为：乙工厂每天加工产品的件数=甲工厂每天加工产品的件数+8；甲工厂单独加工48件产品的时间=乙工厂单独加工72件产品的时间，设未知数，列方程求出方程的解即可；(2)先分别求出甲乙两工厂单独加工这批新产品所需时间，再求出甲工厂所需费用，然后根据乙工厂所需费用要小于甲工厂所需费用，设未知数，列不等式，再求出不等式的最大整数解即可.
【详解】
(1)设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工(x+8)件产品，
根据题意得：4872
8
x x
=
+
，
解得：x=16，
检验：x(x+8)=16(16+8)≠0，
∴x=16是原方程的解，
∴x+8=16+8=24，
答：甲工厂每天加工16件产品，则乙工厂每天加工24件.
(2)解：甲工厂单独加工这批新产品所需时间为：960÷16=60，
所需费用为：60×800+50×60=51000，
乙工厂单独加工这批新产品所需时间为：960÷24=40，
解：设乙工厂向公司报加工费用每天最多为y元时，有望加工这批产品
则：40y+40×50≤51000
解之y≤1225
∴y的最大整数解为：y=1225
答：乙工厂向公司报加工费用每天最多为1225元时，有望加工这批产品.
【点睛】
本题考查分式方程的应用，涉及到的公式：工作总量=工作效率×工作时间；分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．。